IV124 Komplexní sítě
Eva Výtvarová, Jan Fousek, Eva Hladká
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita
24. dubna 2017
Modely nákazy: epidemie
Minule: komplexní šíření
• rozšíření „přehlasováním"
• sociologické aplikace
Dnes: jednoduché šíření
• stochastický model
• aplikace v biologických a technických sítích
2of 18
Poznámka ke stochastickým modelům
Jednoduché deterministické modely lze komplikovat (přidávat pravidla)
• rozšiřuje se repertoár možných chování
• stále náročnější analýza
• v jistý moment je jednodušší velké množství reálných dějů shrnout do jedné náhodné veličiny
3of 18
Větvící se procesy
Nejprostší model:
• do populace p přichází pacient 0 a potká k osob
• pravděpodobnost přenosu při setkání je p
• v každé další vlně zůstává k i p stejné
• výsledkem je strom kontaktů mezi potenciálně nakaženými a podstrom skutečné nákazy
4of 18
(a) The contact network for a branching process
(b) With high contagion probability, the infection spreads widely
6 6006 6 06 b 66066 b bb b 6bb66 06 66
(c) With low contagion probability, the infection is likely to die out quickly
f1^asley and Kleinberg 2010
Větvící se procesy
Možné výsledky:
• nákaza se po chvíli zastaví (zanikne)
• rozsáhlá epidemie
Reprodukční číslo fi0:
• očekávaný počet nově nakažených jedním jedincem
• popisuje životaschopnost a agresivitu nákazy
• zde Rq = pk
6of 18
Větvící se procesy
Vývoj v závislosti na fi0:
• R0 < 1: rychlý konec šíření
• R0 > 1: agresivní epidemie
• R0 ~ 1: rozsah nákazy se může výrazně lišit mezi běhy; i malé změny v mechanismu šíření rozhodují o vypuknutí epidemie
Doposud jsme ignorovali:
• konečnost populace
• topologii kontaktní sítě
7of 18
SIR model
Tři sousledné stavy uzlu:
1. Susceptible: náchylný k nákaze od sousedů
2. Infectious: nemocný uzel šířící nákazu po ti kroků
3. Removed: imunní/mrtvý uzel
V každém kroku uzly ve stavu / rozšíří nemoc do všech svých sousedů s pravěpodobností p.
8 of 18
Klasické epidemiologické modely
Předpokládají možnost členem populace, formi diferenciálních rovnic:
dS
dt dl
kontaktu s libovolným ilovány pomocí
psi
ÄT
psi
SIRvs. sítě2
proportion infectious, / (%)
proportion infectious, / (%)
I-1-1-1-
proportion infectious, / (%)
proportion infectious, J {%)
proportion infectious, I (%) — — — — — t-j
c4-
_l_I_I_I_I_I_I_I_L_
SIR model: rozšíření
Dynamika je jednoduchá (větvící se proces na síti)
Možná rozšíření:
• ohodnocený graf - nehomogenní pravděpodobnost rozšíření p
• nehomogenní lt
• rozdělení / na více podrobných - infekční inkubace, méně infekční období se symptomy,
12 of 18
SIS model
Umožníme opětovnou nákazu
1. Susceptible: náchylný k nákaze od sousedů
2. Infectious: nemocný uzel šířící nákazu po ti kroků
3. Susceptible
Narozdíl od SIR modelu umožňuje velmi dlouhé běhy na konečné síti.
13 of 18
SIRS model
Ve výskytu reálných chorob pozorujeme výrazné oscilace, ty ani v SIS nedostaneme.
Přidáme časově omezenou imunitu
1. Susceptible: náchylný k nákaze od sousedů
2. Infectious: nemocný uzel šířící nákazu po ti kroků
3. Recovery: uzdravený a uzel imunní po kroků
4. Susceptible
14 of 18
Globální vs. lokální oscilace
SIRS vykazuje na obecné síti oscilace na lokální úrovni.
Oscilace na globální úrovni
• vyžadují homofilní (lokální) vazby a daleko dosahující zkratky
• odpovídá charakteristice malých světů
• konkrétní dynamika je úzce svázaná s topologií sítě
15 of 18
SIRS a malé světy
Model sítě Watts-Strogatz (připomenutí):
• kruh s lokálními vazbami; s pravděpodobností c přepojeny hrany do náhodného cíle
SIRS dynamika
• globální oscilace (synchronizace) závisí na počtu „zkratek" - slabých vazeb
• malé c - lokální infekce, velké c - globální oscilace
16 of 18
SIRS a malé světy
0.4
0.2
0.0 0.4
a 0.2
c = 0.01
c -0.2
5600
17o^iperman et al. 2001
Dema
18 of 18