Manuál k předmětu Algebra II jaro 2017 (verze 1.2) Motto: Ten, komu teorie grup a okruhů připadají málo abstraktní, bude ve svém živlu. Jakékoli připomínky a bug reporty jsou vítány. Nezbytné minimum znalostí Kdo dobře neovládá následující pojmy, nebude tušit, o čem se mluví: • zobrazení, injekce, surjekce, bijekce • kartézský součin • uspořádaná množina, Hasseův diagram, nejmenší a největší prvek • relace ekvivalence, rozklad množiny podle relace ekvivalence • množina podmnožin, libovolně velká sjednocení a průniky Předchozí znalosti důležité k porozumění Komu většina z následujících pojmů nic neříká, zapsal si tento předmět omylem: • vektorový prostor, lineární zobrazení, vektorový podprostor • pologrupa, monoid, grupa, okruh • podpologrupa, podmonoid, podgrupa, podokruh • homomorfismy pologrup, monoidů, grup a okruhů • normální podgrupa, ideál • faktorová grupa, faktorový okruh • generování podpologrupy, podmonoidu, podgrupy, podokruhu a ideálu • predikátová logika prvního řádu Doporučená literatura Většinu probírané látky pokrývají následující pasáže z knihy Stanley N. Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra Chapter I, Chapter II (§1–3, §5 do 5.7, §6, §7 mimo 7.3–7.7 a 7.10, §8–9, §10 do 10.12, §11 do 11.9, §14 do 14.19), Chapter IV (§1). Kniha je volně ke stažení na adrese https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html V učebních materiálech je k dispozici kopie příprav vyučujícího k přednášce; při použití tohoto materiálu je třeba si být vědom, že se nejedná o text určený pro studenty, ale o souhrn informací, které jsou vysvětlovány na přednášce. Písemná část zkoušky • Maximální doba na řešení je 2,5 hodiny. • Všechny odpovědi je třeba precizně zdůvodnit. • Pro přístup k ústní části je třeba získat alespoň 30 bodů ze 60 možných. 1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber dané algebry. 2. (3 × 5 bodů) Rozhodněte, zda se jedná o (a) svaz, (b) úplný svaz, (c) algebraický svaz. 3. (10 bodů) Rozhodněte, zda daný předpis definuje homomorfismus/kongruenci. 4. (2 × 5 bodů) Rozhodněte, která z daných identit je splněna v dané algebře. 5. (3 × 5 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená daná třída algeber. Ústní část zkoušky Na ústní části zkoušky si vylosujete jednu z následujících otázek a dostanete dostatek času na přípravu: 1. Svazy – základní pojmy a konstrukce. 2. Distributivní a modulární svazy, Booleovy algebry. 3. Úplné svazy, uzávěrové operátory, Galoisovy korespondence, algebraické svazy. 4. Algebry – základní pojmy a konstrukce. 5. Přímé a podpřímé součiny algeber. 6. Variety algeber a rovnostní logika. Orientační požadavky k ústní zkoušce: E: umět definovat základní pojmy a formulovat hlavní tvrzení; těmto pojmům a tvrzením rozumět. C: navíc znát vedlejší tvrzení a umět formulovat jednoduché argumenty, které byly předvedeny během semestru. A: navíc umět dokázat hlavní tvrzení.