Algebra II – jaro 2016 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N, •), kde • je binární operace definovaná
předpisem
a • b =



a + 2, pokud je a liché a b sudé,
a − 2, pokud je parita a a b stejná a a ≥ 3,
a, jinak.
2. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina
({ R ⊆ R | R nemá největší prvek }, ⊆)
je svaz.
3. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆), kde L je množina všech
dědičných podmnožin B uspořádané množiny (N, ≤) × (N, ≤) takových, že buď
B = N × N, nebo B má právě jeden maximální prvek, je úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (N0, |) je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis ϕ ∼ ψ ⇐⇒ ∀r ∈ R: |ϕ(r)| = |ψ(r)| definuje
kongruenci ∼ algebry (RR
, +, ⊙), kde + a ⊙ jsou binární operace definované pro
ϕ, ψ: R → R a r ∈ R předpisy (ϕ + ψ)(r) = ϕ(r) + ψ(r) a (ϕ ⊙ ψ)(r) = ϕ(|ψ(r)|).
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z unárních operačních symbolů f,
g a h. Rozhodněte, která z následujících identit je splněna v algebře A s nosnou
množinou P(N × N), s operacemi fA
a gA
definovanými pro libovolnou binární
relaci ρ ⊆ N × N předpisy fA
(ρ) = ρ ∪ (ρ ◦ ρ−1
) ∪ (ρ−1
◦ ρ), gA
(ρ) = ρ ∪ ρ−1
a
s hA
(ρ) definovaným jako tranzitivní obal relace ρ.
a) h(f(f(x))) = h(g(x)),
b) f(g(x)) = g(f(x)).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
algeber (A, κ, µ) se dvěma unárními operacemi κ a µ, které splňují podmínku
∀a ∈ A: κ(a) = a nebo µ(a) = a.