Algebra II – jaro 2017 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (Z, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =



a − 1 pokud a · b < 0,
a + 1 pokud a · b > 0,
a jinak.
2. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina
({ L ⊆ {a, b}+
| ∀u, v ∈ L: uv ∈ L nebo vu ∈ L }, ⊆)
je svaz.
3. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina
({ L ⊆ {a, b}+
| ∀u, v ∈ {a, b}+
: uv ∈ L =⇒ (u ∈ L nebo v ∈ L) }, ⊆)
je úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina
({ ρ ⊆ N × N | ρ = N × N nebo ρ je relace uspořádání na N }, ⊆)
je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis
M ∼ N ⇐⇒ sup M = sup N
(kde supremum může nabývat libovolné hodnoty z R ∪ {−∞, ∞}) definuje kongruenci
∼ algebry (P(R), ∪, ∩, +), kde M + N = { r + s | r ∈ M, s ∈ N }.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z binárních operačních symbolů f
a g. Rozhodněte, která z následujících identit je splněna v algebře A s nosnou
množinou P(N × N) a s operacemi definovanými pro libovolné relace ρ, σ ⊆ N × N
předpisy fA
(ρ, σ) = ρ ◦ σ−1
a gA
(ρ, σ) = ρ ∩ σ.
a) g(f(f(x, x), f(x, x)), f(x, x)) = f(x, x),
b) g(f(x, f(x, f(x, x))), f(x, x)) = f(x, x).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů, jejichž jedinými kongruencemi jsou diagonála a univerzální relace.