Algebra II – jaro 2022 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =



a − 2, pokud 2 | a − b a a ≥ 3,
a − 3, pokud 2 a − b a a ≥ 4,
b, jinak.
2. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou právě množiny racionálních
čísel A ⊆ Q, které splňují podmínku
∀q ∈ Q: q ∈ A ⇐⇒ (∃ r, s ∈ A: q = r + s).
Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆) je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou největší prvek ,
nejmenší prvek ⊥ a všechny posloupnosti celých čísel (ai)∞
i=1 takové, že pro všechna
i ∈ N existuje j > i splňující ai ≥ aj, přičemž (ai)∞
i=1 ≤ (bi)∞
i=1 platí právě tehdy,
když pro všechna i ∈ N je splněno ai ≤ bi. Rozhodněte, zda tato uspořádaná
množina je úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda množina všech množin reálných čísel, které nemají
nejmenší prvek, tvoří vzhledem k uspořádání obrácenou inkluzí ⊇ algebraický
svaz.
5. (10 bodů) Uvažujme abecedu Σ = {a, b, c, d, e}. Pro libovolné slovo w ∈ Σ∗
značí
alph(w) množinu všech písmen, která se v něm vyskytují. Zaveďme dvě označení:
PSalph(w) = { (alph(u), alph(v)) | w = uv, u, v ∈ Σ∗
}
Falph(w) = { alph(u) | w = tuv, t, u, v ∈ Σ∗
}
Pro každý z následujících předpisů rozhodněte, zda definuje kongruenci volného
monoidu (Σ∗
, ·):
w ∼ w ⇐⇒ PSalph(w) = PSalph(w )
w ≈ w ⇐⇒ Falph(w) = Falph(w )
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z unárních operačních symbolů f a g
a binárního operačního symbolu •. Pro každou z následujících identit rozhodněte,
zda je splněna v algebře
A = (P(N × N), fA
, gA
, •A
),
jejíž operace jsou pro libovolné relace ρ a σ definovány předpisy fA
(ρ) = ρ−1
,
gA
(ρ) = { (a, b) ∈ ρ | ∀c ∈ N: (a, c) ∈ ρ =⇒ c ≥ b } a ρ •A
σ = ρ ◦ σ (ρ po σ).
a) f(g(f(g(x)))) = g(f(g(f(x))))
b) g(g(x) • x) = g(x • x)
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů (L, ∨, ∧) takových, že každý jejich prvek, který není srovnatelný se všemi
prvky, je nesrovnatelný s nekonečně mnoha.