Algebra II – jaro 2017 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (Z, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =



a − b pokud a · b > 0,
1 pokud a · b < 0,
a jinak.
2. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou třídy izomorfismu
konečných svazů, přičemž třída svazu K je menší nebo rovna třídě svazu L právě
tehdy, když K je izomorfní podsvazu L. Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina
je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou největší prvek ,
nejmenší prvek ⊥ a všechny dvojice (A, B), kde B ⊆ A ⊆ N, na nichž je uspořádání
dáno předpisem
(A, B) ≤ (C, D) ⇐⇒ A ⊆ C a B ⊇ D.
Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina
({ ρ ⊆ N × N | ∀a ∈ N ∃b ∈ N: (a, b) ∈ ρ } ∪ {∅}, ⊆)
je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis
ϕ ∼ ψ ⇐⇒ ∀M ⊆ R: |ϕ(M)| = |ψ(M)|
definuje kongruenci ∼ algebry (RR
, κ, λ, µ, ν), kde κ, λ, µ a ν jsou unární operace
definované pro ϕ: R → R a r ∈ R předpisy κ(ϕ)(r) = ϕ(r2
), λ(ϕ)(r) = ϕ(r3
),
µ(ϕ)(r) = (ϕ(r))2
a ν(ϕ)(r) = (ϕ(r))3
.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z unárních operačních symbolů f
a g. Rozhodněte, která z následujících identit je splněna v algebře A s nosnou
množinou P(N × N) a s operacemi definovanými pro libovolnou relaci ρ ⊆ N × N
předpisy fA
(ρ) = ρ−1
a
gA
(ρ) = { (a, b) ∈ ρ | ∃c ∈ N: (c, a) ∈ ρ }.
a) f(g(f(g(x)))) = g(f(g(f(x)))),
b) g(f(g(g(x)))) = g(g(f(g(x)))).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
průsekových polosvazů, v nichž žádné dva nesrovnatelné prvky nemají supremum.