Algebra II – jaro 2018 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (Z, ⊗), kde ⊗ je binární operace
definovaná pro a, b ∈ Z předpisem
a ⊗ b =



a − 1, pokud a > b ≥ 0,
b + 1, pokud 0 > a > b, nebo 0 > b > a,
0, jinak.
2. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou největší prvek ,
nejmenší prvek ⊥ a všechna surjektivní zobrazení ϕ: N → N, na nichž je uspořádání
dáno předpisem
ϕ ≤ ψ ⇐⇒ ∀ n ∈ N: ϕ(n) ≤ ψ(n).
Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (L, ≤), jejímiž prvky jsou největší prvek
, nejmenší prvek ⊥ a všechny konečné posloupnosti přirozených čísel (ai)n
i=1,
kde n, a1, . . . , an ∈ N, na nichž je uspořádání dáno následovně: pro (ai)n
i=1 a (bi)m
i=1
z L platí (ai)n
i=1 ≤ (bi)m
i=1 právě tehdy, když existují přirozená čísla i1, . . . in−1
splňující 1 ≤ i1 < · · · < in−1 < m taková, že
a1 = b1 + · · · + bi1 ,
a2 = bi1+1 + · · · + bi2 ,
...
an = bin−1+1 + · · · + bm.
Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je úplný svaz.
4. (5 bodů) Na množině P(N) × P(N) uvažujme uspořádání dané předpisem
(A, B) ≤ (C, D) ⇐⇒ A ⊆ C & B ⊇ D.
Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Pro libovolný jazyk L ⊆ {a, b}∗
nad dvoupísmennou abecedou {a, b}
definujme množinu
ps(L) = { (u, w) ∈ {a, b}∗
× {a, b}∗
| ∃ v ∈ {a, b}∗
: uvw ∈ L }.
Rozhodněte, zda relace ∼ definovaná předpisem
K ∼ L ⇐⇒ ps(K) = ps(L),
pro K, L ⊆ {a, b}∗
, je kongruencí algebry (P({a, b}∗
), ∪, ·, -∗
) všech jazyků nad
{a, b} se standardními racionálními operacemi.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z nulárního operačního symbolu 1
a ternárního operačního symbolu f. Rozhodněte, která z následujících identit je
splněna v algebře A, jejíž nosnou množinou je R × R a operace jsou definovány
předpisy 1A
= (0, 1) a
fA
(a, b), (c, d), (g, h) = a + c − g, 2c−g
(b − a) − 2−g
(c − d − g + h) + a + c − g
pro libovolná a, b, c, d, g, h ∈ R.
a) f f(x, y, z), z, y = x,
b) f 1, f(1, x, 1), x = 1.
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
monounárních algeber A takových, že každý homomorfismus ϕ: A → A je surjek-
tivní.