Algebra II – jaro 2022 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =



a + 2, pokud a je sudé, nebo a je liché a b sudé splňující b < a,
a − 2, pokud a i b jsou lichá a a = 1,
b, jinak.
2. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou všechny podmnožiny uspořádané
množiny (N, |), které mají konečně mnoho minimálních prvků. Rozhodněte,
zda uspořádaná množina (L, ⊆) je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou největší prvek ,
nejmenší prvek ⊥ a všechny posloupnosti reálných čísel (ai)∞
i=1 takové, že pro
všechna i ∈ N existuje j > i splňující ai ≥ aj, přičemž (ai)∞
i=1 ≤ (bi)∞
i=1 platí
právě tehdy, když pro všechna i ∈ N je splněno ai ≤ bi. Rozhodněte, zda tato
uspořádaná množina je úplný svaz.
4. (5 bodů) Na množině { (A, B) ∈ P(N) × P(N) | A ⊆ B } uvažujme uspořádání
dané předpisem
(A, B) ≤ (C, D) ⇐⇒ A ⊆ C & B ⊇ D.
Rozhodněte, zda přidáním největšího prvku k této uspořádané množině vznikne
algebraický svaz.
5. (10 bodů) Uvažujme algebru A = (RR
, ·), kde · je obvyklé násobení funkcí,
tj. (f · g)(r) = f(r) · g(r). Pro každý z následujících předpisů rozhodněte, zda
definuje kongruenci algebry A:
f ∼ g ⇐⇒ ker(f) = ker(g),
f ≈ g ⇐⇒ ∀r ∈ R: |f(r)| = |g(r)|.
6. (10 bodů) Pro každou z identit x · y · x · y = x · y · y · x, x · y · x · y = x · x · y · y
rozhodněte, zda je splněna v pologrupě ({a, b}+
, ·)/ (abb, ab), (aba, aab) cong.
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
ohraničených svazů (L, ∨, ∧, 0, 1) takových, že každý jejich prvek, který není srovnatelný
se všemi prvky, má komplement.