\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}




\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z MB141 -- opakování ze střední školy}
\end{center}
\bigskip
{\bf Pokyny pro cvičící}: Začněte příklady 1, 2, 3. Příklad 3 je časově náročný. Doporučuji si ho připravit předem. Naproti tomu příklady 4 až 7 nezaberou mnoho času. Neočekávám, že byste stihli udělat všechno.
 
\bigskip 
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
V rovině jsou dány body $A=[-3+\sqrt 3, -1+2\sqrt 3]$, $B=[3,-4]$, vektor $\vec{v}=(6,3)$
a přímka $p:\ y-2x+7=0$. 
\begin{enumerate}
\item[a)] Určete parametrický a obecný popis přímky procházející  body $A$ a $B$.
\item[b)] Určete přímku $r$, která je rovnoběžná s přímkou $p$ a prochází bodem $A$.
\item[c)] Určete přímku $q$ určenou bodem $B$ a vektorem $\vec v$.
\item[d)] Spočítejte průsečík přímek $q$ a $r$ (pokud existuje).
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res} 
http://www.math.muni.cz/~xfrancirekp/vyuka/seste$\_$cviceni/seste$\_$cviceni.pdf
\end{res}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Napište předpis pro zobrazení roviny do roviny, které je geometricky popsáno níže. Zobrazení $f$ bodu o souřadnicích $[x,y]$ přiřadí bod o souřadnicích $[f_1(x,y), f_2(x,y)]$.
\begin{enumerate}
\item[a)] posunutí o vektor $\vect{(2,3)}$, 
\item[b)] stejnolehlost se středem $P=[0,0]$ a koeficientem $3$,
\item[c)] stejnolehlost se středem $S=[2,5]$ a koeficientem $-\frac12$,
\item[d)] reflexe podle podle osy $x$,
\item[e)] reflexe podle přímky $x-y=0$,
\item[f)] reflexe podle přímky $x-y+3=0$.
\end{enumerate}
\end{zad}



\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
15 sekund před koncem utkání vyslal Jágr z bodu $[0,0]$ puk na prázdnou branku ve (správném) směru $(1,3)$ rychlostí $10$ ms$^{-1}$ (předpokládáme, že puk nezpomaluje). O~půl sekundy později protihráč v bodě $[20,10]$ hodil hokejku délky $\sqrt 2$ m  ve směru $(-1,1)$ také rychlostí $10$ ms$^{-1}$. (Poznámka: v tomto čase  je v bodě $[20,10]$ konec hokejky, kterou chápeme jen jako úsečku položenou ve směru hodu.) Zamezí hozená hokejka pohybu puku do prázdné branky? 
\end{zad}

\begin{navod} Napište parametrické (parametr je čas) rovnice přímek, které popisují dráhu puku a hokejky. Spočtěte čas, za který bude puk v průsečíku těchto přímek. Ten je $t=\frac34\sqrt{10}$ a průsečík přímek je bod $[15/2, 45/2]$.
Rukojeť hokejky bude v tomto čase v bodě s $x$-ovou souřadnicí $20-\frac{15}{2}\sqrt 5+\frac{5}{2}\sqrt 2$. Jaká bude $x$-ová souřadnice špičky hokejky.  Porovnejte tyto souřadnice s $x$-ovou souřadnicí puku, která je $15/2$ a udělejte závěr.
\end{navod}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } Jak poznáme, že je celé číslo dělitelné 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Svá tvrzení zdůvodněte.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } Ukažte, že součin pěti po sobě jdoucích čísel je dělitelný 120.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Nejdříve pro $n=2,3$ a potom pro další $n\in\N$ si připomeňte 
\begin{enumerate}
\item[a)]  vzorec pro součet $n$-tých mocnin dvou čísel,
\item[b)]  vzorec pro rozdíl $n$-tých mocnin dvou čísel,
\item[c)] vzorec pro $n$-tou mocninu součtu, tzv. binomický vzorec.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } Za pomoci předchozího příkladu, ukažte, že pro každé $n\in\N$
\begin{enumerate}
\item[a)]  číslo $3$ dělí číslo $4^n-1$,
\item[b)] číslo $5$ dělí číslo $n^5-n$
\item[c)] číslo $5$ dělí číslo $3^{3n+1}+2^{n+1}$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\end{document}


