3. cvičení z MB 141 - soustavy lineárních rovnic a násobení matic
Pokyny pro cvičící: Spočítejte příklady nejprve příklady s označením A. Teprve pak řešte zbývající příklady s označením B.
Příklad. 1A. Řešte soustavu rovnic							
xl + 2x2 ^	" ^3	+	3x4 +	2x5	=	-2	
2^i +   x2 ^	" ^3	+	x4 +	3x5	=	1	
xi ^	" ^3	—	x4 +	2x5	=	0	
xi + 2x2 ^	- 2x3	+	2x4 +	3x5	=	0	
Řešení. Nemá řešení.							
Příklad. 2A. Řešte soustavu rovnic							
Xi   +   2x2 ^	" ^3	—	x4 +	x5	=	0	
2xi   +    x2 ^	- 2x3	—	2x4 +	2x5	=	0	
2xi ^	- x3	—	x4 +	2x5	=	-1	
xi +   x2 ^	- 2x3	—	2x4 +	x5	=	1	
Řešení. Řešení je							
[xi,x2,x3,x4,x5] = [-1	-t,0,	l + s	,s,t] = [-	-1,-	-í,0,	l + s	■A =
= [-1,	0,1,0,	0] +	S(0,0,1,1,0)		+ *(-	-1,0,	,0,0,1
Příklad. 3A. Řešte soustavu rovnic							
2xi   -    x2 +		x3	— x4	=	1		
2xi   — x2			— 3x4	=	2		
3xi	—	x3	+ x4	=	-3		
2xi   +  2x2 —		2x3	+ 5x4	=	-6		
Řešení. Jediné řešení [0, 2,5/3,—4/3].							
Příklad. 3B. Řešte soustavu rovnic							
2xi   —    3x2 +	17x3	—	29x4 -		36x5	=	22
2xi   —    3x2 +	18x3	—	27x4 ^	33x5		=	21
12xi   -   18x3 +	102x3	—	174x4 -	- 216x5		=	132
2xi   —    3x2 +	21x3	—	24x4 -		30x5	=	20
2xi   —    3x2 +	24x3	—	21x4 -		27x5	=	19
□
□
□
Návod. Velkých koeficientů není třeba se bát, řešení vyjde "hezky". Příklad. 4A. Zjistěte, zda jde matice násobit, a pokud ano, vynásobte je
2     8 \       / 2
3 5 6 -2   1 0
-1 -5 9 11
9
5 6 7 1  0 5
□
2  8  3  21 5)
/2\
-1 9
-6
V37
/2\
-1
9
-6
V37
2  8  3  21 5)
Příklad. 4B. Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce
cos a — sin a sin a    cos a
r cos /3 r sin /3
Na základě toho ukažte, že zobrazení F
cos a ■ x — sin a ■ y sin a ■ x + cos a • y
A:
x _ / cos a — sin a \ x y J     Isina    cos a J \y
je otočení kolem počátku v rovině o úhel a. Příklad. 5A. Matice A a B tvaru n x n jsou dány předpisem:
1, tf i > j,       5  = íl,   if i < j,
2, ifi < J, iJ'     \3, ifi>j.
Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin.
Návod. Pro obecné n spočtěte (A ■ B)^ zvlášť pro i < j a pro i > j.
Příklad. 5B. Označme op(A) výsledek elementární řádkové úpravy matice A tvaru k x n. Pro jednotlivé druhy úprav dokažte, že platí
op(A) = op(£fc) • A,
kde je jednotková matice tvaru k x k. Říká se tomu, že řádkové úpravy lze realizovat násobením matice zleva.
□