\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z MB141, jaro 2022}
\end{center}
\bigskip

{\bf Pokyny pro cvičící.} Příklady 1 a 2 jsou z minulého cvičení. Dále se pokuste vyřešit příklady 3A (stačí 3 úkoly ze 4),  4A, 5A, 6A a 7A. 
Další úlohy dělejte v pořadí 8A (stačí výpočet vlastních čísel), 9A a 10A (v něm jsou vlastní čísla komplexní. Reálné vlastní vektory neexistují, komplexní vlastní vektory nepočítáme).

\medskip
%příklad 1A
\begin{zad}{\bf 1A.\ }
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů $P$ a $Q$ v $\R^4$, jestliže
\begin{align*}
P&=[(4,0,-2,6), (2,1,-2,3),(3,1,-2,4)],\\
Q&=[(1,-1,0,2),(2,2,-1,3),(0,1,1,0)].
\end{align*} 
\end{zad}

\begin{res} Průnik má dimenzi 2 a bázi např. $(1,-1,0,2), (-2,-1,2,-3)$.
\end{res}

\medskip
%příklad 1B
\begin{zad}{\bf 1B.\ }
Najděte bázi a dimenze součtu a průniku podprostorů $U$ a $V$ v $\R^4$, jestliže
\begin{align*}
U&=[(1,1,-1,-1), (2,3,2,-2)],\\
V&=[(2,0,1,1),(4,4,7,-1),(0,1,1,0)].
\end{align*} 
\end{zad}

\medskip
%příklad 2A
\begin{zad}{\bf 2A.\ }
Najděte báze a dimenze  podprostorů 
$$P=\{f\in\R_4[x]|\ f(1)=0, \ f(2)=0\}\quad\text{a}\quad Q=\{g\in \R_4[x]|\ g(x)=g(-x)\}$$
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
\end{zad}

\begin{res} $\dim P=3$, $\dim Q=3$, $\dim P\cap Q=1$, $\dim P+Q=5$, tedy $P+Q=\R_4[x]$.
Více na
http://www.math.muni.cz/$\sim$xfrancirekp/vyuka/seste$\_$cviceni/osme$\_$cviceni.pdf
\end{res}

\medskip
%příklad 2B
\begin{zad}{\bf 2B.\ }
Najděte báze a dimenze  podprostorů 
$$P=\{f\in\R_5[x]|\ f(1)=0, \ f(-1)=0\}\quad\text{a}\quad Q=\{g\in \R_5[x]|\ g(-x)=-g(x)\}$$
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
\end{zad}
 
 \medskip
%příklad 3A
\begin{zad}{\bf 3A.\ } Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou li\-neár\-ní. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\varphi:\R^2\to \R,\ \varphi(x_1,x_2)=2x_1+x_1x_2$,
\item[(b)] $\varphi:\R^2\to\R^3,\ \varphi (x_1,x_2)=(2x_1-3x_2, 5x_2, x_1-x_2)$,
\item[(c)] $\varphi:\R_3[x]\to\R^2,\ \varphi(p)=(p(1),p(2)^2)$,
\item[(d)] $\varphi:\R_3[x]\to\R^2,\ \varphi(p)=(p(1), p(2))$.
\end{enumerate}
\end{zad}

%příklad 3B
\begin{zad}{\bf 3B.\ } 
 Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou li\-neár\-ní. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\varphi:\R^2\to\operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R),\ \varphi (x_1,x_2)=\begin{pmatrix} 2x_1&4x_2+1\\
 x_2-x_1& 4x_1
 \end{pmatrix}$,
\item[(b)] $\varphi:\R^2\to \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R),\ \varphi (x_1,x_2)=\begin{pmatrix} 2x_1&4x_2\\
 x_2-x_1& 4x_1
 \end{pmatrix}$,
\item[(c)] $\varphi:\R_3[x]\to\R,\ \varphi(p)=p(1)^3+p(2)$,
\item[(d)] $\varphi:\R_3[x]\to\R,\ \varphi(p)=p(3)+2 p(1)$.
\end{enumerate}
\end{zad}


\medskip
%příklad 4A
\begin{zad}{\bf 4A.\ } 
Ve vektorovém prostoru $\R^3$ uvažujme bázi $u_1=(1,0,1)$, $u_2=(0,1,1)$, $u_3=(1,1,1)$.
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je lineární zobrazení, o němž víme, že
$$\varphi(u_1)=u_1,\ \varphi(u_2)=u_3,\ \varphi(u_3)=u_2.$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 3$ tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo
$\varphi(x)=Ax$.
\end{zad}

\medskip
%příklad 4B
\begin{zad}{\bf 4B.\ }
Ve vektorovém prostoru $\R^2$ uvažujme bázi $u_1=(2,1)$, $u_2=(1,2)$.
Nechť $\varphi:\R^2\to \R^3$ je lineární zobrazení, o němž víme, že
$$\varphi(u_1)=(4,10,16),\ \varphi(u_2)=(5,11,17).$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 2$ tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo
$\varphi(x)=Ax$.
\end{zad}


\medskip
%příklad 5A
\begin{zad}{\bf 5A.\ }
Nechť $\varphi$ je zobrazení $\R^3$ do sebe, které je symetrií podle roviny
$x_1-x_3=0$. Najděte matici $B$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je $\varphi(x)=Bx$. 
\end{zad}

\medskip
%příklad 5B
\begin{zad}{\bf 5B.\ } 
Nechť $\varphi$ je lineární zobrazení $\R^3$ do sebe, které je symetrií podle přímky procházející počátkem se směrovým vektorem $u_1=(1,-2,1)$. Najděte matici $B$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je $\varphi(x)=Bx$. (Podobný příklad byl řešen ve slajdech k 5. přednášce.)
\end{zad}

\medskip
%příklad 6A
\begin{zad}{\bf 6A.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení $\varphi:\R^2\to\R^2$
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
2&1\\3&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.$$
 \end{zad}
 
 \medskip
%příklad 7A
\begin{zad}{\bf 7A.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
$$B=\begin{pmatrix}
0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 7B
\begin{zad}{\bf 7B.\ }
Najděte vlastní čísla a báze vlastních podprostorů lineárního zobrazení $\varphi:\R^3\to\R^3$
zadaného  maticí
$$C=\begin{pmatrix}
5&6&2\\0&-1&-8\\1&0&-2\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 8A
\begin{zad}{\bf 8A.\ }
Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
$$D=\begin{pmatrix}
1&1&2&1\\1&-2&1&-4\\0&-1&-1&-1\\ -1&0&-1&2\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 8B
\begin{zad}{\bf 8B.\ } 
Najděte vlastní čísla a báze vlastních podprostorů lineárního zobrazení $\varphi:\R^4\to\R^4$
zadaného maticí 
$$D=\begin{pmatrix}
10&-9&0&0\\4&-2&0&0\\0&0&-2&-7\\ 0&0&1&2\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 9A
\begin{zad}{\bf 9A.\ }
Zjistěte, zda v $\R^3$ existuje báze tvořená vlastními vektory matice
$$C=\begin{pmatrix}
0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}.$$
Pokud ano, najděte ji.
\end{zad}



\medskip
%příklad 10A
\begin{zad}{\bf 10A.\ }
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení $\varphi:\R^2\to\R^2$
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
-2&-1\\5&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.$$
\end{zad}


\end{document}

