\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\M{\mathcal M}
\def\N{\mathcal N}

\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  8. cvičení z MB141 -- afinní geometrie, jaro 2022}
\end{center}
\bigskip
Bylo by dobré vyřešit všechny příklady. Počítejte postupně. Příklad 3 řešte dosazením parametrického vyjádření jedné roviny do rovnic druhé roviny. (V souboru s řešením a videu v~ISu je v tomto příkladu druhá rovina zadána soustavou rovnic.)   

\medskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru
v $\mathcal A_4$, který obsahuje body
$$A=[5,2,1,0],\quad B=[4,1,0,0],\quad C=[-3,1,0,1].$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } Najděte průnik a spojení afinním podprostorů $\mathcal M$ 
a $\mathcal N$ v $\mathcal A_5$:
\begin{align*}
\mathcal M:&\ [2,3,4,3,6]+a(1,1,1,-1,1)+b(0,0,1,0,1)\\ 
\mathcal N:&\ [2,2,4,4,6]+c(1,0,0,0,1)+d(0,0,1,0,0)+e(2,1,1,-1,1).
\end{align*}
\end{zad}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } V $\mathcal A_4$ určete vzájemnou polohu rovin
\begin{align*}
\pi:&\ 3x_1+x_2+2x_3=5,\quad 5x_1-x_2+2x_4=3,\\ 
\rho:&\  [-3,0,0,-2]+a(3,1,2,0)+b(5,-1,0,2). 
\end{align*}
 \end{zad}

\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
V $\mathcal A_4$ určete vzájemnou polohu roviny
$$ \rho:\  [3,-1,0,0]+s(-1,1,1,0)+t(2,1,0,1)$$
a přímek $p$, $q$ a $r$, které mají parametrická vyjádření
\begin{enumerate}
\item[a)] $p: [7,4,2,3]+a(5,-2,-3,1),$
\item[b)] $q: [1,2,3,4]+b(1,5,3,2),$
\item[c)] $r: [1,2,3,4]+c(1,1,1,1).$
\end{enumerate} 
 \end{zad}


\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Osa dvou mimoběžných přímek $p$ a $q$ v afinním prostoru $\mathcal A_3$ je přímka,
která obě přímky protíná a je na ně kolmá. Najděte osu mimoběžek
$$p:\ [1,2,3]+a(1,2,-1),\quad q:\ [2,-3,4]+b(2,-1,-2)$$
a body $P\in p$ a $Q\in q$, ve kterých tyto přímky protíná. 
\end{zad}

\bigskip
\centerline{\bf Další úlohy na domácí procvičování}
\medskip
\begin{zad}{\bf 1.}
 Najděte parametrický a obecný popis roviny v $\mathbb R^4$, která 
prochází body $A=[1,0,1,0]$, $B=[0,1,0,2]$ a $C=[1,2,3,4]$.
\end{zad}

\medskip
\begin{zad}{\bf 2.} 
 V prostoru $\mathbb R^4$ jsou dány tři body $A=[1,2,3,6]$, $B=[2,3,1,6]$ a $C=[0,1,2,6]$, které
generují afinní podprostor $\M$.  Dále $\N$ je afinní podprostor zadaný implicitně
$$\begin{array}{rrl}
x_1 +x_3  & = & 7\\
x_2+x_3-x_4             & = & 2\ . 
\end{array}$$
Určete afinní podprostory $\M\cap \N$ a $\M\sqcup \N$ (včetně dimenzí).
\end{zad}

\medskip
\begin{zad}{\bf 3.} 
Nechť v prostoru $\mathbb R^4$ je podprostor $\M$ zadaný implicitně
$$\begin{array}{rrl}
x_1 +x_2+x_3  & = & 5\\
x_2-2x_3+x_4  & = & 0\\ 
x_1 +3x_3-x_4  & = & 5\ . 
\end{array}$$
Určete vzájemnou polohu podprostoru $\M$ a přímky $p$ dané takto:
\begin{itemize}
 \item[a)] $p : [4,0,3,-2]+t\cdot (1,-1,1,-1)$,
 \item[b)] $p : [1,1,1,1]+t\cdot (1,1,0,1)$,
 \item[c)]$p : [1,1,1,1]+t\cdot (1,-1,0,1)$.
\end{itemize}
\end{zad}

\medskip
\begin{zad}{\bf 4.} 
 Určete příčku mimoběžek
$$\begin{array}{rl}
p: & [1,2,0]+a\cdot (1,-1,1)\\
q: & [0,9,-2]+b\cdot (1,0,0)\ ,
\end{array}$$
takovou, že přímka jí určená prochází bodem $[7,9,-5]$.
\end{zad}

\medskip
\begin{zad}{\bf 5.} 
Určete příčku mimoběžek
$$\begin{array}{rl}
p: & [3,0,3]+t\cdot (0,1,2)\\
q: & [0,-1,-2]+s\cdot (1,2,3)\ ,
\end{array}$$
která je rovnoběžná s vektorem $v=(1,-2,1)$.
\end{zad}





\end{document}

