8. cvičení z MB141 - afinní geometrie, jaro 2022
Bylo by dobré vyřešit všechny příklady. Počítejte postupně. Příklad 3 řešte dosazením parametrického vyjádření jedné roviny do rovnic druhé roviny. (V souboru s řešením a videu v ISu je v tomto příkladu druhá rovina zadána soustavou rovnic.)
Příklad. 1. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v A4, který obsahuje body
A = [5,2,1,0],   B= [4,1,0,0],   C = [-3,1,0,1].
Příklad. 2. Najděte průnik a spojení afinním podprostoru M. a J\í v A5.
M : [2,3,4,3,6] + a(l,l, 1,-1,1) + 6(0,0,1,0,1)
ÄÍ: [2,2,4,4,6] + c(l, 0,0, 0,1) + d(0, 0,1, 0,0) + e(2,1,1,-1,1).
Příklad. 3. V A4 určete vzájemnou polohu rovin
7T : 3xi + x2 + 2rr3 = 5, 5xľ — x2 + 2rr4 = 3, p : [-3, 0, 0, -2] + a(3,1, 2, 0) + 6(5, -1, 0, 2).
Příklad. 4. V A4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3,-1,0,0] + S(-l,l,l,0)+í(2,l,0,1) a přímek p, q ar, které mají parametrická vyjádření
a) p
b) q
c) r
[7,4,2,3]+a(5,-2,-3,1) [1,2,3,4]+6(1,5,3,2), [l,2,3,4]+c(l,l,l,l).
Příklad. 5. Osa dvou mimoběžných přímek pagv afinním prostoru *4.3 je přímka, která obě přímky protíná a je na ně kolmá. Najděte osu mimoběžek
p: [1,2,3] +a(l, 2,-1),    q : [2,-3,4] + 6(2,-1,-2)
a body P E p a Q E g, ve kterých tyto přímky protíná.
Další úlohy na domácí procvičování
Příklad. 1. Najděte parametrický a obecný popis roviny v IR4, která prochází body A =
[1, 0,1, 0], B = [0,1, 0,2] aC= [1,2,3,4].
Příklad. 2. V prostoru IR4 jsou dány tři body A = [1,2,3,6], B = [2,3,1,6] a C = [0,1,2,6], které generují afinní podprostor M.. Dále J\í je afinní podprostor zadaný implicitně
x±+ x3  = 7 x2 + x3 — x^  =  2 . Určete afinní podprostory M. fl J\í a M. U J\í (včetně dimenzí).
Příklad. 3. Nechť v prostoru IR4 je podprostor M. zadaný implicitně
xi + x2 + x?, = 5 X2 — 2x% + X4 = 0 x\ + 3^3 — X4  =  5 .
Určete vzájemnou polohu podprostoru M. a přímky p dané takto:
a) p: [4,0,3, -2] + í - (1,-1,1,-1),
b) p: [1,1,1,1] +í- (1,1,0,1),
c) p: [1,1,1,1]+t-(1,-1,0,1).
Příklad. 4. Určete příčku mimoběžek
p: [l,2,0]+a-(l,-l,l) g:   [0,9,-2] +b-(1,0,0),
takovou, že přímka jí určená prochází bodem [7, 9, —5].
Příklad. 5. Určete příčku mimoběžek
p:   [3,0,3] +t-(0,1,2)
g:   [0,-1,-2] + S. (1,2,3),
která je rovnoběžná s vektorem v = (1, —2,1).