MB141,19.6.2023, zkouška, skupina Y
Příklad. 1A. [2 body] Rozhodněte, zda soustava lineárních rovnic
x   +4y   -2z   +3w   = 0 2x  +7y    —z  +4w  = —3 —x   —2y   —Az    +w   = 6
má řešení. Případné řešení nehledejte, ale odpověď náležitě zdůvodněte. Řešení. Soustavu přepíšeme do maticového schématu a upravíme na schodový tvar:
-2 3 -1 4 -4 2
Hodnost (počet nenulových řádků) základní i rozšířené matice je stejný (3), soustava tedy má řešení. □
Příklad. 1B. [2 body] Najděte matici M zobrazení / : IR3 —> IR3 (ve standardní bázi), které je kolmou projekcí (promítáním) na rovinu p : y = 0.
Řešení. Normálovým vektorem roviny p je, n = (0,1,0). Ten se při projekci anuluje: f(n) = 0. V rovině p leží mimo jiné další dva vektory standardní báze u = (1,0,0) a v = (0,0,1) a ty projekce ponechává na místě: f{u) = u, f (v) = v. Protože známe obrazy všech vektorů standardní báze, jejich prostým poskládáním do sloupců dostáváme ihned matici M:
M
\o 0 l)
□
Příklad. 1C. [2 body] Určete vzdálenost bodu A = [11,5, 3] od roviny p : B + su + tv, B =
[2, 2,3], u = (0,1, -2),v = (1, -3, 2) v prostoru IR3.
Řešení. Vzdálenost se realizuje kolmicí na rovinu p, tj. ve směru jejího normálového vektoru n. Ten je řešením soustavy rovnic (n, u) = 0, (n, v) = 0, tedy např. n = (4, 2,1). Úlohu lze dopočítat mnoha způsoby, např. tak, že do směru vektoru n promítneme vektor A — B = (9, 3, 0). Je-li P pata kolmice z B, platí A - B = (A - P) + (P - B), přičemž A — P = kn a P — B _L n. Po aplikaci skalárního součinu s n dostaneme (A — B,n) = k(n,n), odkud 42 = 21 k ak = 2. Hledaná vzdálenost je tedy ||fcn|| = 2 • V42 + 22 + 1 = 2 • y/21. □ Příklad. 2A. [2 body] Najděte inverzi prvku x = 35 modulo 96.
Řešení. Modul lze rozložit 96 = 25-3. Platí 35 = 3 (mod 32) a zřejmě 3-11 = 1 (mod 32). Dále 35 = -1 (mod 3) a-l-(-l) = 1. Platí tak x-1 = 32a + ll a32a+ll = -1 (mod 3), odkud a = 0 (mod 3), a celkem tedy x^1 = 11 (mod 96).
Alternativní postup: Inverzi určíme jako koeficient a v Bezoutově rovnosti 35a + 966 = 1 s využitím Eukleidova algoritmu. □
Příklad. 2B. [5 bodů] Nechť n = 29 je modul a g = 8.
a) Dokažte, že g je primitivní kořen.
b) Bob zná Alicin veřejný klíč ga = 27, zvolí si b = 9 a chce poslat zprávu M = 13 protokolem ElGamal. Určete jeho veřejný klíč gb a zašifrovanou zprávu gabM.
i
2
Řešení, a) Stačí zkontrolovat, že gm nenabývá hodnoty 1 pro maximální dělitele m čísla 4>{n). Protože platí 0(29) = 28 = 22 • 7, jsou těmito ,,kritickými" exponenty 22 = 4 a 2-7 = 14. Dostáváme 84 = 642 = 62 = 7 ^ 1 (mod 29) a 814 = 67 = 6 - 73 = 6 - 7-(-9) = -117 =-1^1 (mod 29).
b) S využitím výpočtů z části (a) dostáváme: gb = 89 = 8 • (84)2 = 8 • 72 = 8 • (-9) = 15 ( mod 29), gab = 279 = (-2)9 = (-8)3 = -8 • 6 = 10 (mod 29) a 10 • 13 = 14 (mod 29). □
Příklad. 3A. [2 body] Určete vlastní čísla matice
/O  1 0N A =    1  0 0
V°  0 2,
Řešení. Hledáme kořeny charakteristického polynomu, tj. determinantu
-A    1 0 \A-\E\=   1    -A 0 0     0    2 - A
Determinant lze rozvinout např. podle třetího řádku, a následně snadno dopočítat: \A —
\E\ = (2-A)(A2- 1) = (2-A)(A- 1)(A + 1). Kořeny tedy jsou 2,1,-1. □
Příklad. 3B. [5 bodů] Starý dub prochází každý rok některou ze tří růstových fází: buďto sílí v kořenech, nebo ve větvích, nebo plodí žaludy. Po roce, ve kterém dub neplodí, s pravděpodobností 1/2 následuje rok, ve kterém dub sílí ve větvích, a s pravděpodobností 1/4 následuje rok, ve kterém dub sílí v kořenech. Po roce, ve kterém dub plodí, následuje s pravděpodobností 3/4 rok, ve kterém dub sílí ve kořenech, a dub určitě zvovu neplodí.
a) Určete matici Markovova procesu M v pořadí stavů „kořeny", „větve", „žaludy".
b) Určete pravděpodobnost, že v daném roce dub plodí.
Řešení, a) Pro „nežaludové" roky dopočítáme doplňkovou pravděpodobnost 1/4 pro situaci, že dub bude v následujícím roce plodit. Podobně určíme, že po „žaludovém" roce následuje s pravděpodobností 1/4 „kořenový" rok. Poskládáním pravděpodobnostních rozdělení do sloupců dostaneme matici
M =
b) Nejprve určíme stacionární vektor v jako vlastní vektor matice M pro vlastní číslo 1, tj. řešení homogenní soustavy (M — E)v = 0. Řešením je např. vektor v = (7,9,4), po normalizaci dostáváme pravděpodobnostní vektor ^v. Pravděpodobnost žaludového roku je tedy ^ = \.
Alternativní postup: Bylo možné využít i faktu, že nežaludové roky vedou ke stejnému vývoji, sloučit je do jednoho stavu a počítat pouze dvoustavový proces. □