Faculty of Informatics Masaryk University Brno Cvičení k předmětu IB005 Formální jazyky a automaty poslední modifikace February 21, 2024 Tato sbírka byla vytvořena z příkladů ke cvičení z předmětu Formální jazyky a automaty I, které byly původně připraveny Ivanou Černou. Na opravě chyb a doplnění příkladů se podíleli Jiří Barnat, Vojtěch Řehák, Jan Strejček a mnoho dalších studentů a cvičících. Formální jazyky, regulární gramatiky 1.1 Jsou dány jazyky L1; L2 nad abecedou {x,y,z}, kde Lx = {xy, y,yx}, L2 = {y, z}. Vypočítejte: a) Li U L2 b) Lx n L2 c) Li ■ L2, L2 ■ L1 d) L°, L|, Li L2, L+ e) co — L'2 1.2 Vypočítejte: a) 0*, 0+, {£}+ b) 0U{e}, 0n{£}, 0nL, {e}nL c) 0 ■ {e}, 0 ■ L, {£} • {e}, {e} ■ L 1.3 Jsou dané jazyky L\, L2 C {a, 6, c, d}*, kde Li = {a, aa, ba}, L2 = {ba, abc, a, e}. a) Vypočítejte L\ U L2. b) Vypočítejte L\ n L2. c) Vypočítejte Li • L2. d) Rozhodněte, zda platí L\ ■ L2 = L2 • L\. e) Najděte slovo w G Li • L2 n L2 ■ Li. f) Rozhodněte, zda platí Li C L\ ■ L2. Pokud ano, platí tvrzení pro libovolnou dvojici jazyků L\, L2? Pro pokročilé: platí e € L2 <^^> Li C L\ ■ L2? g) Rozhodněte, zda platí • aabaabc G L\ • baaabc € L2 • ababc 6 L2 h) Popište co — L2 (komplement jazyka L2). 1.4 Buď L libovolný jazyk, rozhodněte zda platí: a) pro Vi G N platí V = {wi w G L} b) pro Vi G N platí w € U \w\ = i c) najděte jazyk, pro který oba výše uvedené vztahy platí 1.5 Porovnejte (slovně popište) jazyky a rozhodněte zda L\ = L4 • Li = {x,y,z}* • L2 = {.vy z}* . l3 = {xy ■ {Vy ■ {z}* . L4 = ({.r}* • {y}* ■ {z}*)* . L5 = ({x,y}*U{z}*)* 1 • Le = {x, y, z}* ■ {x} ■ {x, y, z}* 1.6 Porovnejte (slovně popište) jazyky a rozhodněte zda L\ = L3 • Li = {x, y, z}* • L2 = {x, y, z}+ . L3 = {x}* ■ {y}* ■ {z}* . U = {x}* ■ {y}2 ■ {z}* . L5 = ({x}* ■ {y}* ■ {z}*)* • L6 = {x, y, z}* ■ {x} ■ {x, y, z}* 1.7 Pomocí jazyků L\ = {a}, Ľž = {b} nad abecedou {a, b} a množinových operací sjednocení (U), průniku (n), konkatenace (•), iterace (*,+) a doplnku (co— ) vyjádřete jazyk, obsahující všechna slova, která a b c d e f g 1.8 Pro a b c d e f obsahují alespoň 2 znaky a mají sudou délku začínají znakem a a končí znakem b začínají a končí stejným znakem obsahují podslovo aba splňují b) a c) nesplňují b) libovolné jazyky L\, L2, L3 dokažte, zda platí, nebo neplatí: Li C Li ■ L2 (Li U L2) • L3 = (Li • L3) U (L2 • L3) (Li n L2) • L3 = (Li • L3) n (L2 • L3) pro Vi e N platí L\ ■ L\ = (Li • L2)J L\ UL?2 = (L1UL2)* L1- L1= L1 (LiUL2)* = (ií ■L2-(L1)*y- 1.9 Jaký jazyk generuje gramatika G a jakého je typu? a) G = ({S, A, B, C},{a, b, c, d},P, S), kde P = { S ■> aSb cAd cA - ■> ŕiB Ca, Bd - ■> 5& A Cad - -> ab e } b) G = ({S, A},{b, c, a},P, S), kde P = {S ^ bS \ cS \ aA, A ^ aA \ bA \ cA a \ b \ c } 1.10 Jaký jazyk generuje následující gramatika? Diskutujte vhodné označení neterminálu ( aA bB A - ■> aS bC, B - ■> aC* bS, C - ■> aB b A } 1.11 Navrhněte regulární gramatiky pro následující jazyky: a) L = {a, b, c, d}* 2 b) L = {a, b, c d}1 {a, b, c, d}*;i = 2,10,100 c) L = {w w G {a, b}*, \w\ > 3} d) L = {w w e {«,&}*, H = 3fc, k > 0} e) L = {w w G {a, b, c}*, w obsahuje podslovo abb} f) L = {w ■ wR w e {a, b}*} g) L = {w w G {a, b, c}*, první 3 znaky w = poslední 3 znaky w} h) L = {w w G {a, b, c}*, w neobsahuje podslovo abb} i) L = {w w e {a, b, c}*, #a(w) = 2k, #b(w) = 31+1, k, l > 0} j) L = {w w G {0,1,..., 9}*, w je zápis přir. čísla dělitelného 5} k) L = {w w G {0,1,..., 9}*, w je zápis přir. čísla dělitelného 3} 1) L = {w w G {0,1,..., 9}*, w je zápis přir. čísla dělitelného 25} 3 Deterministické konečné automaty, pumping lemma 2.1 Je dán následující konečný automat: A = ({qo, q\, q2, 93}, {«, b}, ô, qo, {qa}) S(q0,a) = q1 ô(q0,b) = q2 ô(q1,á) = q3 S(q1,b) = q1 <%2,a) = 92 S(q2,b) = q2 S(q3,a) = qi S(q3,b) = q2 a) Uveďte jinou formu zápisu automatu. b) Popište jazyk akceptovaný konečným automatem A. c) Diskutujte variantu konečného automatu, kde F = {q$, q2}; <5(t/3, a) = qo 2.2 Konstruujte deterministické FA, které rozpoznávají následující množiny a) {a, b, c}5 • {a, b, c}* b) {w w e {«}*; \w\ = 2k nebo \w\ = 71; k,l>0} c) {w w e {a,b}*; #a(w) = 3k;k > 0} d) {w w G {a, b}*; w obsahuje podslovo abbab} e) {w w G {a, b}*; w obsahuje podslovo ababb} f) {w w G {a, b}*; w neobsahuje podslovo abbab} g) {a, b}* ■ ({c, d} U ({d} ■ {a, b}* ■ {c})) • {a, b}+ h) ({a} U {b} ■ {a} ■ {b}* ■ {a} ■ {b})* 2.3 Konstruujte deterministické FA pro následující jazyk nad abecedou {a, b, c, d} a) L = {a, b}* ■ {c} • {aa, b}* ■ {d}+ b) L = {w I w G {a, b, c}*, w neobsahuje podslovo babb} c) L = {a, b}* ■ ({cd}+ ■ {d} ■ {a, b}* ■ {c}) • {a, b}+ 2.4 Pomocí množin {a}, {b}, {c}, {d} a množinových operací sjednocení (U), průniku (n), konkatenace (•), iterace (*,+) a doplnku (co—) vyjádřete jazyk akceptovaný automatem: 6 4 2.5 Co akceptuje následující automat? (#a(w) = je špatná odpověď) 2.6 Pomocí věty o vkládání dokažte, že jazyk L není regulární: a) L = {cřb> \j>i>l} b) L = {w | w e {a, b}*; #a(w) = #6(w)} c) L = {w ■ wR | w G {a, b}*} d) L = {an | n = 2J; i > 0} e) L = {ďb> \ i,j > 0} f) L = {a™&(™!)2 n > 0} g) L = {cia:ibk j < k; i, j, k e N} 2.7 O každém z následujících jazyků nad abecedou T, = {a, b, c} rozhodnete, zda je regulární, a vaše tvrzení dokažte. a) {uv u, v G {a, b}*, \u\ < \v\} b) {ucv u, v G {a, b}*, |«| < \v\} 2.8 Pro pokročilé: Zkonstruujte konečný automat A rozpoznávající jazyk L = {a}* •{&}. Dokažte, že automat rozpoznává zadaný jazyk, tedy že L(A) = L. 2.9 Konstruujte deterministické FA pro všechny regulární jazyky příkladu 1.11. 5 Minimalizace DFA, nedeterministické FA, (Myhillova-)Nerodova věta 3.1 Pro následující konečné automaty zadané tabulkou: • ověřte, že všechny stavy jsou dosažitelné • zkonstruujte minimální automat • minimální automat zapište v kanonickém tvaru a) a b -> 1 2 3 2 5 2 3 3 5 <- 4 12 2 <- 5 7 8 6 4 9 7 12 11 8 4 6 9 10 8 <- 10 3 2 <- 11 12 6 12 3 10 b) a b o 1 3 2 2 6 4 3 3 5 <- 4 4 2 5 10 8 6 6 7 <- 7 7 5 <- 8 8 2 <- 9 11 2 10 10 9 <- 11 11 5 3.2 Odstraňte nedosažitelné stavy z DFA zadaného tabulkou vlevo a minimalizujte ho a převeďte do kanonického tvaru. Poté ověřte, zdaje výsledný automat ekvivalentní s automatem zadaným tabulkou vpravo. a) a & -> 1 5 2 2 2 8 3 2 7 <- 4 9 4 5 2 1 6 2 5 <- 7 8 6 8 2 4 9 8 9 a b -> 1 4 2 2 2 5 3 3 6 4 4 2 <- 5 5 3 <- 6 6 2 6 b) a b 1 3 1 -> 2 9 4 3 - 1 <- 4 9 4 5 8 5 6 5 4 <- 7 6 9 8 11 - 9 7 9 10 12 3 11 8 1 12 - 10 a b 1 2 1 <- 2 3 1 3 4 5 4 4 4 -> 5 1 5 3.3 Overte, zda DFA z príkladu 3.1 a) je ekvivalentní s následujícím DFA zadaným tabulkou a & 1 1 3 -> 2 4 1 <- 3 4 1 4 3 4 3.4 Navrhnete nedeterministické konečné automaty pro následující jazyky: a) L = {w G {a, b, c, eř}* | w obsahuje podslovo abbc nebo &&a nebo aba} b) L = {w G {a, 6, c}* | w obsahuje podslovo abbc nebo acbca nebo bcabb} c) L = {w G {a, 6, c, eí}* | w končí řetězcem aaaa} d) L = {w G {0,1}* | w má čtvrtý symbol od konce 1} e) L = {w G {0,1}* | w končí řetězcem 01011} f) L=(({0}*-{l})U({0}+-{l}*-{0})*)* g) L=(({0}-{0}-{0}*)U({l}.{l}.{l}*))* 3.5 K daným nedeterministickým FA zkonstrujte deterministické FA. a) a b c a b c -> 1 {2,3} {3,4} {1} -> 1 {1,2} {1} 0 <- 2 {3} {4} {2} <- 2 0 {3} {1} 3 {1,2,3} {1} {3,4} 3 0 0 {1,4} 4 {1} {1} {3,4} 4 {5} 0 0 5 0 {6} 0 6 {7} 0 0 <- 7 0 0 0 3.6 Popište jazyk akceptovaný automatem: 3.7 Kolik různých jazyků rozhodují automaty s jedním nebo se dvěma stavy nad abecedou {x} nebo {a 3.8 Dokažte, že neexistuje (totální deterministický) automat se 4 stavy, který akceptuje jazyk: a) L = {w e {a, b}* | \w\ > 4} 7 b) L = {w e {a, b}* | \w\ = 5fc, k e N0} 3.9 Najděte a formálne popište alespoň dvě relace ~ C {a, b}* x {a, b}* splňující podmínky Nerodovy věty pro j azyk L = {w | w G {a, b}*, w obsahuje podslovo abb}. Určete indexy těchto relací. 3.10 Pomocí Nerodovy věty a posléze pomocí Myhillovy-Nerodovy věty dokažte, že není regulární: a) L = {an | n = 2\ i > 0} b) L = {anbm n < m < 2n, n, m > 0} c) L = {wwR | w G {a, b}+} d) L = {aiV\iŕJ; i,j>0} 3.11 Pomocí MN věty dokažte, že je regulárni: • L = {w e {a, b}* | #a(w) = 3fc, k > 0} 3.12 Každý jazyk jednoznačně určuje relaci ~£ předpisem u ~£ v právě když pro každé w platí uw Gítt vw G L. Určete index této relace pro jazyky: a) L = {a}* ■ {b}* ■ {c}* b) L = {anbncn n > 0} 3.13 Necht T, = {a, b}. Uvažte následující relace na množině T,*: a) u ~ v <^^> #a(w) mod 4 = #a(v) mod 4 b) u ~ « <^^> #a(w) mod 4 = #a(v) mod 4 nebo m i « končí na stejné písmeno c) m ~ v <^^> #a(w) mod 4 = #a(v) mod 4 a m i « končí na stejné písmeno (Prázdné slovo končí na stejné písmeno jako prázdné slovo, ale žádné neprázdné slovo na stejné písmeno nekončí.) U každé relace určete, zda je to ekvivalence. Pokud ano, určete její index a zda je pravou kongruencí. Pokud ano, nalezněte jazyk L takový, že ~£ = ~. Nakonec nalezněte jazyk Ľ, který je sjednocením některých tříd rozkladu T,*/ ~, ale přitom ~£/ ^ ~. 8 Regulární gramatiky a výrazy <(=4> FA, čS-kroky, Kleeneho věta 4.1 Zkonstruujte ekvivalentní konečný automat k následující gramatice: G = ({S, A, C, B},{a, b, c},P, S), kde P= { s - aA bC a e, A - bB aA b c, B - aB bC aC cA C - -> a b aA bB } 4.2 Zkonstruujte ekvivalentní konečný automat k následující gramatice: G = ({S, X, Y, Z},{a, b, c},P, S), kde P= { s - aX bY x - bX bS, Y - bS cZ, Z - aS b 4.3 Zkonstruujte ekvivalentní regulárni gramatiku k automatu: 4.4 Zkonstruujte ekvivalentní regulárni gramatiku k automatu: a d 4.5 K danému automatu s e-kroky zkonstruujte ekvivalentní automat bez e-kroků. c d 4.6 K danému automatu s e-kroky zkonstruujte ekvivalentní automat bez e-kroků. a 9 4.7 K danému automatu s e-kroky zkonstruujte ekvivalentní automat bez e-kroků. a b c e -> 1 {1,2} 0 0 {2} 2 {5} {3,5} 0 0 3 0 {6} 0 0 4 0 {4} 0 {1,5} 5 {5} 0 {3} {6} <- 6 0 0 {3,6} {2} 4.8 K danému regulárnímu výrazu zkonstruujte ekvivalentní FA a) (ab)* (aa + bb)(a + ab)* b) ((a + b(a + c))* + (b + c))* c) (((a + b)* + c)* + d)* 4.9 K danému FA zkonstruujte ekvivalentní regulárni výraz 4.10 K danému FA zkonstruujte ekvivalentní regulárni výraz c 4.11 Pomocí regulárních výrazů popište násl. jazyky: a) L = {w G {a, b}* \ w končí na ab} b) L = {w e {a, b}* | = 2k,k> 0} c) L = {w G {a, b}* | w začíná a končí stejným symbolem } d) L = {w e {a, b}* | H =2k,k> 0} 4.12 Ukažte, jaký je vztah mezi třídou regulárních jazyků 1Z a nejmenší třídou a) Mi, která obsahuje všechny konečné jazyky a je uzavřená vzhledem k sjednocení, zřetězení a průniku (U, - , fl). b) M'2, která obsahuje všechny konečné jazyky a je uzavřená vzhledem k sjednocení, průniku a komplementu (U, n, co— ). c) m3, která obsahuje všechny konečné jazyky a je uzavřená vzhledem k sjednocení, průniku a mocnině (U, fl,"). 10 Uzáverové vlastnosti 1Z 5.1 Rozhodněte, zda platí: jsou-li jazyky Li, L2, L3,... regulární, pak i jazyk O i=l je regulárni jazyk. 5.2 Najděte takovou posloupnost regulárních jazyků L\, L2, L3,... aby jazyk 00 O i=l nebyl regulární. 5.3 Necht L\, L2 jsou neregulární jazyky nad abecedou {a, b}. Dokažte nebo vyvratte, zdaje či není regulární: a) Li n L2 b) Li U L2 c) Li \ L2 d) Li • L2 e) Lí f) co—Li 5.4 Necht Li je regulární a L\ n L2 je neregulární jazyk. Platí, že jazyk L2 je nutně neregulární? 5.5 Platí následující implikace? a) L\ je regulární, L2 je neregulární => L\ n L2 je neregulární b) Li je regulární, L2 je neregulární =^> L\ n L2 je regulární c) L\ je regulární, L2 je neregulární => L\ \ L2 je neregulární d) Li je regulární, L2 je neregulární => L\ \ L2 je regulární e) Li je regulární, L2 je neregulární =^> L2 \ L\ je neregulární f) L\ je regulární, L2 je neregulární => L2 \ Li je regulární 5.6 Def: operace 0 rozšířeného sjednocení dvou jazyků takto: Li 0 L2 = {« • v I m, « e (Li U L2)} Dokažte, že jestliže jsou jazyky Li a L2 regulární, pak i jazyk L\ 0 L2 je regulární. Dále najděte dva takové neregulární jazyky L\ a L2, aby jazyk L\ 0 L2 byl regulární. 5.7 Necht L C S* je regulární jazyk. Dokažte, že jazyky LŘ jsou regulární: a) = {« I existuje íigS' takové, že w.v G L} b) L* = {w I existují x,y, z E E* takové, že y G L a w = xyz} 11 5.8 Dokažte, že pro libovolný jazyk L a libovolný konečný jazyk K platí: a) L je regulární <^^> L \ K je regulární b) L je regulární <^^> L U K je regulární 5.9 Def: Homomorfismus h : T,* —> A* je daný předpisem: h(e) = e h(u.v) = h(u).h(v) pro všechny u, v € T,* Def: Necht L je jazyk, pak h(L) = {w \ w = h(u), kde agL} Def: Inverzní Homomorfismus: h-^y) ={iGE* | h(x)=y} h-^L) = {x e £* e L} Příklad /i(a) = 01 h(b) = 011, pak • h(abb) = 01011011 • ^-1(0101011) = {aab} ft-^OOlO) = 0 pokud navíc h(c) = e pak /i—1 (01011) = L(c*ac*bc*) Ukažte, že 1Z je uzavřena na h, h 1. 5.10 Necht je dána abeceda {a, b, c} a homomorfismus /i; h(a) = ac, h(b) = cb, h(c) = ca. Určete: • h(aabc), h(cbaa) • h 1(cccaaccb), h 1(accba) • h(L),L = {anbncn n > 0} 5.11 Necht je dána abeceda {a, b, c} a homomorfismus h; h(a) = aa, h(b) = ba, h(c) = a. Určete: • h~x (aabaaabaa) . h(L), L = {we {a*, b*} | #a(w) = #b(w)} • h-^L), L={w e {a*} | \w\ = 2k,ke N} 5.12 Dokažte nebo vyvratte • h{Lx ■ L2) = ft(Li) • h(L2) • h(L1UL2) = h(L1)Uh(L2) . ft((L! • L2)R) = h(L?) • h(L*) • /i(L1nL2) = /i(L1)n/i(L2) • h(h(L)) = h(L) • h^ihiĽ)) = L . ft-^Li -L2) = h~1(L1) -ft-^La) • ft-^Li U L2) = ft-^Li) U /i"1^) • ft-^Li n L2) = /i"1^) n /i"1^) 12 Bezkontextové gramatiky 6.1 Co generují tyto gramatiky? a) G = {{S, B, A},{a, b},P, S), kde P = { S —> aB I bA e, A aS bAA, B bS aBB } b) G = ({S, A},{a, b},P, S), kde P = { S —> aAS | a, A &a | 5&a } 6.2 Pro následující gramatiku G = {{S, A, B},{a, b},P, S), kde P = { S -> AaB | BaA, A ^ AB a, B ^ BB b } a) najděte derivační strom s výsledkem bbbbaa b) je tento strom určený jednoznačně? c) kolik různých nejlevějších odvození má slovo bbbbaa d) je gramatika jednoznačná? e) je jazyk L(G) jednoznačný? 6.3 Jaké mají charakteristické vlastnosti derivační stromy pro regulární gramatiky? 6.4 Obsahuje množina jednoznačných CFL všechny regulární jazyky? 6.5 Odpovězte zda pro G = ({S},{a},P, S), kde P = { 5 —> SSS I a } a) je gramatika jednoznačná? b) je jazyk L(G) jednoznačný? 6.6 Navrhněte jednoznačnou gramatiku generující jazyk L = {wwR \ w € {a, b}*} U {ak k > 1}. 6.7 Navrhněte gramatiku pro jazyk L = {axVck i,j, k > 1,2 = j nebo j ^ k}, je gramatika jednoznačná? Lze sestrojit jednoznačnou gramatiku pro tento jazyk? 6.8 Najděte ekvivalentní redukovanou gramatiku k této gramatice: ({S, A, B, C, E,F,D},{a, b, c},P, S), kde {S aA bB, A -> aAB aa AC | B -> bBA bb CB | BF, C -> DE, D —> cc DD, E FE, F -> £c£ } 13 6.9 Najděte bezkontextovou gramatiku, na níž lze ukázat, že opačné pořadí aplikace odstranění nenormovaných neterminálů a odstranění nedosažitelných symbolu vede k neredukované gramatice. 6.10 Je jazyk generovaný gramatikou G bezkontextový? G = ({S, T},{x, y},P, S), kde P = { S -> xT, T -> Sx, xTx —> y } 6.11 Navrhněte bezkontextové gramatiky pro jazyky: a) L = {wwR | w G {a, b, c}*} b) L = {w | w G {a, b, c}*, w = wR} c) L = {a3n+2b2n n > 2} d) L = [anbnbm+1 c1™"1 n > 0,m > 1} e) L = {ři"ř>"3n, m > 0} f) L = {uxv \u,x,v e {a, b, c}*,uv = (uv)R, x = canb2nc, n > 0} g) L = {w | w G {a, b}*, #a{w) > #6(w)} h) L = {w | w G {a, b}*, #0(u>) = 2 * #b(iu)} 14 Normální formy CFG, pumping lemma pro CFL 7.1 Odstraňte e-pravidla: G = ({S, A, B, C, D},{b, c, a},P, S), kde P = { S - ABC, A - ■> AbA 1 BC, B - bB b cBbAa 1 e C - cD c Ab e D - ~^ S S S b } 7.2 Odstraňte e-pravidla: G = {{S, A, B, C, D},{b, c},P, S), kde P={ S - ■> ABC, A - ■> Ab B C, B - ■> bB & \ Ab j e. C - ■> cD c Ac e. D - ■> 55D 1 cSAc } Odstraňte e-pravidla: G = ({S,X,Y,Z},{l,0},P,S) , kde P={S - -> IX Yl X - -> orzí SIX y, Y - -> 1 1 *1 \ ^ Z - e } 7.4 Význam konstrukce množin JVe na příkladu G = ({A,B,C},{a,b,c},P,A), kde P = { A —> BC | a | e, B -> aB ACC | b, C ^ cC \ AA | c } 7.5 Odstraňte jednoduchá pravidla. Diskuse o významu Na- X,Y,A,D,B,C},{b,a},P,S), kde {S X 1 A -> 65 D, D —> 6a, B -> 5a a, X -> aAS c, C -> a£> s, Y SBb } 7.6 Převeďte do Chomského normálni formy G = ({S, A, B},{a, b},P, S), kde P = { S -> SaS&S | aAa | bBb, A —> aA | flfla | B | B ^ Bb bb b } 15 7.7 Převeďte do Chomského normální formy G = {{S, H, L},{0,1},P, S), kde P = { S -> OBI I 1L0 | e, H ^ HH \ OHI LH | e, L ^ LL \ ILQ \ HL \ e} 7.8 Navrhněte gramatiku v CNF: a) L = {u'ií'ň | u' G {a,ŕ>}*} b) L = {a2i63V' | i > l,j > 0} 7.9 Necht G je gramatika v CNF. Necht w € L(G), [w\ = n. Jaká je minimální a maximální délka odvození slova w v G? 7.10 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({S, A, B},{a, b},P, S), kde P={ S ^ Aa Bb \ aaA | SaA \ SbB, A -> AAb | a& | SBb, B -> Bbb | BBB | bAb } 7.11 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({S,A,B},{í,0},P,S), kde P={ S ^ Al | 0 1B, A BSO | 10 | 5B0, B —> 0B | B1B | 50 } 7.12 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({5,X,y},{c,(i,6,a},B,5), kde p = { 5 -> Xc \ Yd | yŕ>, X vY6 | a, y -> 5a5 | la } 7.13 Odstraňte levou rekurzi a transformujte do GNF G = ({S,T},{t,s},P,S), kde P = { 5 —> TTí | Tí \ TS \ s, T 5sT | TsT | í } 7.14 Transformujte do Greibachové NF. Výslednou gramatiku převeďte do 3GNF. G = ({A, B, G, Ľ},{a, 6},P, ,4), kde P = { A - B G, B - GB> AB, C - D - CO } 7.15 Dokažte, že následující jazyky nejsou bezkontextové a) L = {wcw | w € {a, b}*} b) L = {anbncn | n > 1} c) L = {an6mcn(im | íi, íř! > 1} 16 Zásobníkové automaty, C-Y-K 8.1 Daný PDA A = ({q0, quq2, q3, q4}, {a, b, c, d}, {Z, A}, S, q0, Z, {q4}) ô(q0,a,Z) = {(q0,AZ)} ô(q0, a, A) = {(q0, AA)} ô(q0,b, A) ={(gi,e)} ô(qi,b,A) ={(gi,e)} ô(qi,e, A) = {(q2,A), (q3, A)} ô(q2, c, A) = {(q2,e)} S(q3, d, A) = {(q3,e)} S(q2, e, Z) = {(q4, Z)} S(q3,e,Z) = {(q4,Z)} a) Načrtněte stavový diagram PDA A. b) Naznačte 4 různé výpočty na vstupu aab2c (stačí na obrázku). c) Popište jazyk L (A). 8.2 Je daný PDA A = ({q0,q1,q2,q3,q4},{a,b,c,d},{X,Y,Z},S,q0,Z,{q2,q4}), kde ô(q0, a, Z) = {(q0,X)} ô(q0, a, X) = {(q0, XX), (quYX)} S(qi,a,Y) = {(qi,YY)} S(Ql,b,Y) ={(q2,e)} S(q2, b, Y) = {(q2,e)} S(q2, c, X) = {(q3, e)} S(q3, c, X) = {(q3,e)} S(q3, d, X) = {(q4, e)} a) Popište jazyk akceptovaný automatem, pokud F = {q2}. b) Popište jazyk akceptovaný automatem s původním F, t j. F = {q2, q4}. 8.3 Konstruujte PDA (akceptující koncovým stavem nebo prázdným zásobníkem) pro jazyky: a) L = {alV \ i, i > 0} b) L = {w | w G {a, b}*; w = wR} c) L = {a3nb2n n > 1} d) L = {aan+'2b'2n-1 n > 1} e) L = {w | w e {a, b, c}*; #a(w) = #6(w)} f) L = {w | w e {a, b, c}*;#a(w) ± #b(w)} g) L = {akb> \ \ 1} i) L = {cŕVc? \ i, j > 1} U {akbkcm k,m > 1} j) L = {aklbak2b... bakr r > 1, k{ > 1 (i = 1,..., r; existuje p, s : p ^ s, kp = ks)} 8.4 Daný PDA A = ({t/o, 9i}, {a, b}, {Z, A}, ô, qo, Z, {qi}) akceptující koncovým stavem transformujte na ekvivalentní automat akceptující prázdným zásobníkem. Určete L(A). ô(q0,a,Z) = {(q0,AZ)} S(q0,a,A) = {(q0, AA)} 6(q0,b,A) ={(qi,e)} 17 8.5 Daný PDA A = ({q}, {(,)}, {Z, L, P}, 6, q, Z, 0) akceptující prázdným zásobníkem transformujte na ekvivalentní automat akceptující koncovým stavem. Určete L(A). S(q,(,Z) = {(q,L)} 5(q,(,L) ={(q,LL)} S(q,),L)={(q,e)} 8.6 Pro danou G navrhněte (rozšířený) PDA, který provádí syntaktickou analýzu: a) shora dolů, b) zdola nahoru. V obou případech proveďte analýzu slova ababbb. G = ({S, A, B},{a, b},P, 5), kde P = { S -> abAS | 66, A AbB aB \ a, B —> 655 aB \ e } 8.7 Rozšířený zásobníkový automat, který vznikl metodou syntaktické analýzy zdola nahoru z gramatiky z příkladu 8.6 převeďte na standardní zásobníkový automat. 8.8 Daný PDA A = ({qo, qi, q-i}, {«, 6, c}, {A, B, C}, S, t/o, A, 0) akceptující prázdným zásobníkem transformujte na ekvivalentní bezkontextovou gramatiku. 6(q(ha,A) = {(qi,B)} ô(qu c, A) = {(q2, e)} S(q2, e, B) = {(q2, e)} 5(q0,b,A) ={(Ql,AB)} S(qi,a,B) = {(q0,ABC)} 6(q2,e,C) = {(q0,A)} 8.9 Daný PDA A = ({qo,qi},{a,b},{Z,X},S,0,Z,$) akceptující prázdným zásobníkem transformujte na ekvivalentní bezkontextovou gramatiku. S(q0,a,Z) = {(q0,AA)} S(q0,a,A) = {(q0,AAA)} 6(q0, 6, A) = {{qu e)} S(qi,b,A) = {(qi,s)} 8.10 Pomocí algoritmu C-Y-K rozhodněte, zda následující gramatika generuje slovo kolaloka. G = ({S, A, B, D, C},{fc, o, a, !},P, 5), kde P {5 A B C D AB k 0 a 1 DB, AB, BD AC DC 5C 5,4. AC } 18 Uzáverové vlastnosti CFL 9.1 O každé z následujících implikací rozhodněte, zda je pravdivá a) Li, L'2 bezkontextové => L\ U L2 je kontextový b) L\ bezkontextový A L\ n L2 není bezkontextový => L2 není bezkontextový c) L\ regulární A L2 bezkontextový => co—{L\ n L2) bezkontextový d) L\ konečný A L2 bezkontextový => co—{L\ n L2) bezkontextový 9.2 Jsou dané jazyky L = {wwR | w G {a, b}*} R = L((a + b)*a + e) Navrhněte PDA pro jazyk L n R. Jazyky L, R jsou akceptovány zásobníkovým a konečným automatem s těmito přechodovými funkcemi a koncovými stavy. a) Má tato gramatika vlastnost sebevložení? b) Má jazyk generovaný gramatikou vlastnost sebevložení? c) Je j azyk generovaný gramatikou regulární? d) Jaký je vztah mezi vlastností sebevložení a regularitou? 9.4 Je dán bezkontextový jazyk L, L C {a, b}* Zkonstruujeme nový jazyk L\ takto: a) L\ = {x | 3y e {a, b}*; xy e L} b) L\ = {x I 3y G {a, b}*; yx e L} Dokažte, že L\ je taky bezkontextový. SL(q0,x,Z) SL(qo,x,y) SL(q0,e,x) 5L{qi,x,x) 5L{qi,e,Z) Fl = {q2} {(q0,xZ)} {(Qo,xy)} {(12, Z)} \/x e {a, b} Vx, y G {a, b} \/x e {a, b, Z} \/x e {a, b} Sn(Po,a) =p0 Sn(Po,b) =pi ÔR.(pi,b) =pi Sn(pi,a) =p0 F r = {po} 9.3 Je dána bezkontextová gramatika G = ({S},{a, b},P, S), kde P = { S —> aS | Sb | a} 19 Konstrukce Turingových strojů 10.1 Navrhněte determinstický jednopáskový Turingův stroj rozhodující jazyk L = {anbmďlďn \ m,n > 1} 10.2 Navrhněte deterministický jednopáskový TM se vstupní abecedou {0,1} a takový, že výpočty na slovech tvaru 0*1* jsou akceptující a výpočty na ostatních slovech jsou nekonečné. 10.3 Navrhněte 3-páskový (vstupní + 2 pracovní pásky) TM pro jazyk L = {w € {a, b}* | #a(w) = #&(w)} 10.4 Navrhněte TM (determ. nebo nedeterm.) pro jazyk: a) L = {aib1ck | k = ij,i,j € N} b) L = {ww w e {a, b}*} c) L = {ap | p není prvočíslo } d) L = {anw w G {0,1}*, u' je binární zápis čísla n} 20 Vztah TM a gramatik typu O, uzáverové vlastnosti 11.1 Objsaněte rozdíl mezi pojmy TM akceptuje a TM rozhoduje. 11.2 Je daný DTM T (resp. jeho část). Podle algoritmu ze skript navrhněte k němu ekvivalentní gramatiku: ô(q, d>) = (q, d>, R) 6(q, a) = (p, A, R) ô(p, b) = (q, a, L) 6(q, u) = (p, A, R) S(p, u) = (q, a, L) 5{q, b) = {qaccept, A, R) Kde d> je levá koncová značka, u označuje prázdné políčko, stavy jsou {p, q, qaCcePt}, Q je počáteční stav, vstupní abeceda je {a, b} a pásková abeceda odpovídá množině {[>, u, A, a, b}. 11.3 O každé z následujících implikací rozhodněte, zda je pravdivá. a) R je regulární, L je rekurzivně spočetný => R n L je regulární b) L je rekurzivní => co-L je rekurzivní c) L je rekurzivní => L* je rekurzivní d) L je kontextový => co-L je rekurzivní e) L není rekurzivní =>co—L není rekurzivní f) L není rekurzivní a R je rekurzivní => L \ R není rekurzivní g) L není rekurzivní, R je rekurzivní & RCL=>L^R není rekurzivní 11.4 Navrhněte gramatiky pro následující jazyky: • {w | w e {a, b, c}*, #a(w) = #6(w) = #c(w)} • {ww I w G {a, b, c}*} • {anbncn n > 0} • {an | n je mocnina 2} 11.5 Ukažte, že jazyk L = {w \ w je kód dvojice (A, v) takové, že TM A zastaví svůj výpočet nad slovem v} je jazyk typu 0 dle Chomského hierarchie. 11.6 Existuje jazyk, který není ani jazykem typu 0 dle Chomského hierarchie? 21 Redukce 12.1 Rozhodněte, zda platí následující implikace. Své rozhodnutí zdůvodněte. a) A co—A A je regulární c) A je rekurzivně spočetná a co—A A je rekurzivní d) A je rekurzivně spočetná a A A je rekurzivní e) A B je rekurzivní f) A je rekurzivně spočetná => A L je regulární b) L n LR není regulární => L není regulární • Příklad 5.6. • Příklad 4.12 a). Proč b) nevyjde stejně? 24 7. cvičení: Regulární výrazy, převody formalismů pro popis regulárních jazyků • Pro zopakování: regulární výrazy, převod regulárního výrazu na automat a naopak. • Příklad 4.8 (2 odrážky). • Příklad 4.9. • Příklad 4.10. • Příklad 4.11. • Příklad 4.2. • Příklad 4.4. 8. cvičení: Bezkontextové gramatiky, derivační stromy, jednoznačnost, redukované gramatiky • Pro zopakování: bezkontextová gramatika, derivační strom, jednoznačnost gramatiky, redukovaná gramatika, nedosažitelné a nenormované symboly. • Příklad 6.11 a). • Příklad 6.1. • Příklad 6.2. • Příklad 6.3. • Příklad 6.5. • Příklad 6.6. • Příklad 6.7. • Příklad 6.8. • Případně další odrážky z příkladu 6.11. 9. cvičení: Transformace bezkontextových gramatik • Pro zopakování: odstranění e-pravidel a jednoduchých pravidel. Chomského a Greibachové normální forma a transformace gramatik do těchto normálních forem. Levá rekurze a její odstranění. • Příklad 7.2. • Příklad 7.5. • Příklad 7.6. • Příklad 7.8 a), případně b). • Příklad 7.13, jen odstranění levé rekurze. • Příklad 7.12, včetně transformace do GNF. • Příklad 7.14. 25 10. cvičení: Pumping lemma pro bezkontextové jazyky, zásobníkové automaty, nedeterministická syntaktická analýza • Pro zopakovaní: Pumping lemma pro CFL, zásobníkový automat, nedeterministická syntaktická analýza shora i zdola. • Príklad 7.15. • Príklad 8.1 a) c). • Príklad 8.3, aspoň dvě odrážky včetně c). Na konci případně další odrážky. • Příklad 8.6. 11. cvičení: Uzáverové vlastnosti bezkontextových jazyků, konstrukce Turingových strojů • Pro zopakování: uzáverové vlastnosti bezkontextových jazyků, Turingův stroj. • Příklad 9.1. • Příklad 9.2. • Příklad 9.3. • Příklad 9.4. • Příklad 10.1. • Příklad 10.2. • Příklad 10.3. • Příklad 10.4. 12. cvičení: Vztah Turingových strojů a gramatik typu 0, uzáverové vlastnosti • Pro zopakování: Turingův stroj, rekurzivní a rekurzivně spočetné jazyky, kontextové gramatiky a gramatiky typu 0. • Příklad 11.1. • Příklad 11.2. • Příkald 11.3. • Příklad 11.4. • Příklad 11.5. • Příklad 11.6. 26 Řešení některých příkladů Formální jazyky, regulární gramatiky 1.1 a) {xy,y,yx,z} b) {y} c) {xyy,xyz,yy,yz,yxy,yxz}, {yxy,yy,yyx,zxy,zy,zyx) d) {£}> {V,*}, {yy,yz,zy,zz}, {yyy,yyz,yzy,yzz,zyy,zyz,zzy,zzz}, {e, y, z, yy, yz, zy, zz, yyy, yyz, yzy, yzz, zyy, zyz, zzy, zzz,...} tj. libovolné slovo z písmenek y a z včetně e, {y, z, yy, yz, zy, zz, yyy, yyz, yzy, yzz, zyy, zyz, zzy, zzz,...} tj. libovolné slovo z písmenek y a z kromě e e) {x, y, z}* n. {y, z} tj. libovolné slovo složené z písmenek x, y a z včetně e, kromě slov y a z 1.2 a) {e}, 0, {e}, {e} b) {e}, 0, 0, {e} pokud e G L jinak 0 c) 0, 0, {e}, L 1.3 a) {a, aa, ba, abc, e} b) {a, ba} c) {aba, aabc, aa, a, aaba, aaabc, aaa, baba, baabc, baa, ba} d) ne, protipříklad aabc G Li ■ L2 \ L2 ■ L\ e) jedno slovo z množiny {a, aa, ba, aba, aaa, baba, baa} f) ano, protože e G L2; ne, protipříklad L\ = {a},L2 = {b}; pro pokročilé: implikace lí=^v platí, implikace "^=" platí pouze v upravené podobě e G L2 <= (L\ C L\ ■ L2 A L\ ^ 0) g) ano, ano, ne h) všechna slova nad danou abecedou, kromě slov z jazyka L2, formálně: {a, b, c, d}* \ L2 1.4 a) Neplatí. Protipříklad: L = {aa,bb}, i = 2, U = {aaaa, aabb,bbaa,bbbb}, {w1 w G L} = {aaaa,bbbb} b) Neplatí. Protipříklad: L = {aa}, L2 = {aaaa}, ale \aaaa\ ^ 2 c) L = {a} 1.5 L\ = L4 = L5 D L2, Li = L4 = L5 2 ^3, ii = í4 = í5 2 ^6, neporovnatelné: L2, L3, Li - všechna slova nad {x, y, z} L2 - všechna slova nad {x, y, z} tvaru xyzxyzxyz ... xyz L3 - všechna slova nad {x, y, z}, ve kterých jsou všechna x před všemi y a z a všechna y před všemi z L4 - všechna slova nad {x, y, z}; protože {x, y, z} C {x}* ■ {y}* ■ {z}* L5 - všechna slova nad {x, y, z}; protože {x, y, z} C {x, y}* U {z}* Lq - všechna slova nad {x, y, z}, která obsahují alespoň jeden výskyt x 1.6 L\ = L5 D L2 D Lq, L\ = L5 D L3 D L4, L2 D L4, neporovnatelné: L2 a L3, L@ a L3, L@ a L4 L\ - všechna slova nad {x, y, z} L2 - všechna slova nad {x, y, z}, kromě e L3 - všechna slova nad {x, y, z}, ve kterých jsou všechna x před všemi y a z a všechna y před všemi z L4 - ty slova z L3, která mají právě 2 výskyty y L5 - všechna slova nad {x, y, z}; protože {x, y, z} C {x}* ■ {y}* ■ {z}* Lq - všechna slova nad {x, y, z}, která obsahují alespoň jeden výskyt x 1.7 a) (Li U L2)* ■ Li • (Lx U L2)* ■ Lx ■ (Lx U L2)* b) (Lx • Lx U Lx ■ L2 U L2 ■ Lx U L2 ■ L2)* c) L\ ■ (Li U L2)* ■ L2 d) L\ U L2 U Li • (Li U L2)* ■ L\ U L2 ■ (L\ U L2)* ■ L2 a pokud naznáme, že e také začíná a končí stejným znakem, je třeba k řešení přidat U (L\ n L2) e) (L\ U L2)* ■ L\ ■ L2-Li-(Li U L2)* f) (Li-Li ULi-L2 UL2-Li UL2-L2)* n Li-(Li UL2)*-L2 g) ((Li-Li \JLX-L2 \JL2-LX UL2-L2)*)C 1.8 a) ne, Li = {a} a L2 = {&} b) ano, nutno dokázat obě inkluze C a D c) ne, Li = {a}, L2 = {ob} a L3 = {b, e} d) ne, L\ = {a} a L2 = {b} e) ne, L\ = {o} a L2 = {b} f) ano, nutno dokázat obě inkluze C a D g) ne, L\ = {a} a L2 = {b} 1.9 a) {anbn \ n G No}, typu 0 b) {b, c}* ■ {a} ■ {a, b, c}+, typu 3 (regulární) 1.10 {w G {a, b}* I #a(w) = 2fc, #t(w) = 2j;j,k G No}, dolní indexy u navržených neterminálů představují zbytek po dělení počtu 'a' (resp. 'b') dvěma Deterministické konečné automaty, pumping lemma 27 28 a,b b d 2.4 L={a}.{by.{a}.({c}.{d}yi){b} 2.5 L = {w e {a, b}* | = #b(w) Aw = u.v => |#0(m) - #6(m)| < 3} 2.6 U příkladu e) je třeba volit slovo anbn]+n. 2.7 Příklad a) je regulární, b) není, jako slovo lze zvolit například ancbn^ a,b,c,d c 1.1 lf Není regulární. b,c l.llh C 29 l.lli l.llj Minimalizace DFA, nedeterministické FA, (Myhillova-)Nerodova věta 3.1 a) 3.2 a) a & -> 1 2 3 2 4 2 3 3 4 <- 4 3 2 a & -> 1 2 3 2 3 1 3 3 4 4 3 5 <- 5 6 5 6 4 6 b) b) a & o 1 2 3 2 2 3 3 3 4 <- 4 4 3 a & -> 1 2 3 2 4 2 <- 3 2 3 <- 4 5 2 5 6 3 6 6 6 Výsledné automaty v obou případech nejsou ekvivalentní automatům uvedeným v zadání vpravo. 3.3 Není. 3.4 a) a.b.c.d a.b.c.d a a a a 30 d) e) 1 0,1 0,1 0,1 0,1 3.5 a) 0 10 11 a b c [1] [23] [34] [1] <- [23] [123] [14] [234] [34] [123] [1] [34] <- [123] [123] [134] [1234] [14] [123] [134] [134] |~£,| > 5. b) Analogicky jako v a). 3.10 a) Důkaz sporem. Předpokládejme, že L je regulární. Pak prefixová ekvivalence ~£ má konečný index, označme jej n. Pak ovšem ze slov a, a2, a4,..., a2 nutně musí některá dvě slova padnout do stejné třídy rozkladu, označme je ak,al (BUNO k 7^ l). Po přiřetězení slova ak dostáváme slovo akak G L a slovo alak £ L. Tím je dosažen spor s ak ~£ a1 a proto L není regulární. musí být alespoň dvě ekvivalentní. Necht a ~£ a (BÚNO b) Analogicky. Ze slov a, a ,..., k < l). Ovšem ak.bk e L, al.bk L. c) Analogicky. Ze slov abb,a2bb,... ,an+1bb musí být alespoň dvě ekvivalentní. Necht akbb ~£ albb (BÚNO k ^ V). Ovšem akbb.ak e L, albb.ak £ L. d) Analogicky. Ze slov e, a, a2,..., an musí být alespoň dvě ekvivalentní. Necht ak ~£ a1 (BÚNO k < l). Ovšem ak.bk g L, al.bk G L. 3.11 Definujeme binární relaci ~ takto: u ~ v ~ je ekvivalence, ~ je pravá kongruence, |' 3.12 a) 4 b) nemá konečný index ■ #0(«) = #„(«) (mod 3) 3, tedy má konečný index, L {w I #a(w) mod 3 = 0} 31 3.13 a) ~ je ekvivalence i pravá kongruence, index je 4. L může být libovolný jazyk, jehož minimální automat odpovídá přímo relaci ~. Takových jazyků je 12, což je vidět po nakreslení automatu (bez akceptujících stavů) podle ~ a zvážení, pro které označení koncových stavů je automat minimální. Jazyky Ľ jsou právě ty, které lze popsat stejným automatem, ale s takovou množinou koncových stavů, při které automat není minimální. Např. Ľ = {a, b}*. b) ~ není ekvivalence (není tranzitivní). c) ~ je ekvivalence i pravá kongruence, index je 9. Lze podle ní sestavit tento automat: a Ob lb 2b 3b O O O O 6 6 6 6 Je vidět, že automat nebude při žádném označení koncových stavů minimální: stavy e, Oa, 0& mají stejné přechody a vždy budou alespoň dva z nich označeny jako akceptující nebo neakceptující a tudíž ty dva stavy budou jazykově ekvivalentní. Naopak Ľ může být jakýkoliv jazyk rozpoznávaný uvedeným automatem s libovolným označením koncových stavů. Takových jazyků Ľ je tedy celkem 29. Regulární gramatiky a výrazy FA, s-kroky, Kleeneho věta 4.1 a b c o Š {Ä q f} {č} 0 Ä {Á} {B,qf} B {B,C} {C} {A q f] Č {A q/} {B,qf} 0 <-qf 0 0 0 4.2 a b c {Y} {qf} ~x 0 {S, X} 0 Y 0 {S} (ž} ~Ž {Š} {qf} {qf} <-9f 0 0 0 4.5 a b c d o 0 {0,1,2,3,4} 0 0 {3,4} 1 {0,1,2,3,4} 0 0 {3,4} <- 2 {3,4} 0 0 0 3 0 {3,4} {2} 0 4 0 {3,4} {2} 0 32 a b c -> 1 {1,2,5,6} {2,3,5,6} 0 2 {2,5,6} {2,3,5,6} 0 3 0 {2,6} 0 4 {1,2,5,6} {1,2,3,4,5,6} {2,3,6} 5 {2,5,6} {2,3,5,6} {2,3,6} <- 6 {2,5,6} {2,3,5,6} {2,3,6} 4.11 a) (a + b)*ab b) b*(ab* ab*)* c) a(a + b)*a + b(a + b)*b + a + b (pokud e také začíná a končí stejným symbolem, přičteme ještě e) d) ((a + 6)(a + &))* 4.12 a) Mi je třída všech konečných jazyků. b) Necht T,i je nějaká abeceda. Pak C(Ti) definujeme jako množinu všech slov, kde se každé písmeno z abecedy vyskytuje aspoň jednou, tj. C(T') = {w € S* | Va € Si : #a(w) > 0}. Pak M'2 je třída všech jazyků L takových, že pro všechny T\, které jsou podmnožinou abecedy jazyka L, platí: L n C(Ľi) je konečný nebo C(Ti) \ L je konečný. Poměrně snadno se ukáže, že M2 všechny takové jazyky musí obsahovat a že je tato třída zároveň uzavřená na sjednocení, průnik a komplement. c) M3 je třída všech konečných jazyků. Uzáverové vlastnosti 7Z 5.1 Neplatí. Jazyky Li = {erb1} pro každé i > 0 jsou konečné a tudíž regulární, ale IJi^i Li = {anbn n > 0} není regulární. 5.2 Li = {a, b}* n. {erb1} pro každé i > 0. Pak H Si Li = {a, b}* \ {anbn \ n > 0}, což není regulární jazyk, protože {anbn n > 0} není regulární jazyk a regulární jazyky jsou uzavřené na doplněk. 5.3 Neregulární jazyky jsou uzavřené na komplement. U všech ostatních operací lze najít jazyky takové, že výsledkem je neregulární jazyk, i takové, že výsledek je regulární. Necht R = {anbn n > 0} je jazyk nad T, = {a, b}. R jistě není regulární. operace regulární výsledek neregulární výsledek lx nL2 R n co-R = 0 RDR = R Lx UL2 RUco-R = T,* RUR = R Li \ L2 R^R = 9 R n. co-R = R Lx-L2 (R u {e}) • co-R = T,* R-R L\ (co-R)* = T* R* 5.4 Platí. 5.5 Ani jedna implikace neplatí. 5.6 Stačí zvolit L\ jako libovolný neregulární jazyk a L2 jako doplněk L\. Bezkontextové gramatiky 6.1 a) L = {w G {a, b}* \ #a(w) = #&(w)} b) Jazyk se nedá moc rozumně popsat. 6.4 Ano, každý regulární jazyk je jednoznačný CFL. 6.7 Nelze. Průnik podmínek (slova s nejednoznačným odvozením) nelze popsat bezkontextovou gramatikou (nelze formulovat podmínky disjunktně tak, aby šly popsat pomocí pravidel bezkontextových gramatik). Normální formy CFG, pumping lemma pro CFL 7.9 Minimální i maximální délka odvození je 2n — 1. Zásobníkové automaty, C-Y-K 33 8.1 b) Ve skriptech je pro PDA definován pojem krok výpočtu, ale nikoliv pojem výpočet. Lze si představit hned několik definic, které kromě zjevných požadavků (začínáme v iniciální konfiguraci pro daný vstup a každé dvě po sobě jdoucí konfigurace jsou v relaci krok výpočtu) splňují i tyto: (i) Musí se přečíst celý vstup; V tom případě by v příkladu existoval jen 1 výpočet, (ii) Výpočet musí pokračovat "dokud to lze". V tomto případě existují 4 výpočty, (iii) Stačí přečíst libovolnou část vstupu. V tom případě je výpočtů hodně, c) L(A) = {az+J&zcJ, az+J&zeP \i,j> 0} 8.2 a) {á1 V i > j > 0} 1 8 7 6 8.10 C-Y-K tabulka: 5 3 2 1 k o 1 a 1 o k a Uzáverové vlastnosti CFL 9.3 a) ano b) ne c) ano d) třída bezkontextových jazyků bez vlastnosti sebevložení se rovná třídě regulárních j azyků Konstrukce Turingových strojů 10.2 Návod: TM bude donekonečna číst vstupní pásku a posouvat se vpravo, nebo bude ve dvou krocích opakovaně posunovat hlavu vlevo a vpravo. Vztah TM a gramatik typu 0, uzáverové vlastnosti 11.3 a) Neplatí. Stačí vzít libovolný neregulární rekurzivně spočetný L nad abecedou T, a R = T,*, b) Platí (viz. skripta), c) Platí (viz. skripta), d) Platí, e) Platí, f) Neplatí. Stačí vzít ROL. g) Platí. Plyne z uzavřenosti rekurzivních jazyků na sjednocení. 11.4 a) G = ({S, A, B, C}, {a, b, c}, P, S), kde množina pravidel P obsahuje následující pravidla. S -> ABCS \ e AB -> BA AC -> C A BC -> CB A^a BA^ AB CA^AC CB ^ BC B 6 C ->c Lze snadno upravit na kontextovou gramatiku. b) G = ({S', S, A, B, C, K}, {a, b, c}, P, S'), kde množina pravidel P obsahuje následující pravidla. S' - -+ SK Aa - > aA Ba - > aB Ca - > aC s - >aSA | bSB | cSC \ e Ab- > b A Bb- > bB Cb- > bC K - -> e Ac- > cA Bc - >■ cB Cc- > cC AK - -+ aK BK - bK CK - -+ cK c) Kontextová gramatika: G = ({S', S, B, fi}, {a, b, c}, P, S'), kde P obsahuje následující pravidla. S' -> S | e abc, S —> aBSc | ŕific, Ba aB, Bm^íĚb\ bb 11.6 L = {w | w je kód dvojice (A, v) takové, že TM A nezastaví svůj výpočet nad slovem v} Redukce 34 S,A,B,C,D 2 S,A,B,C,D B 3 S,A B S,D 4 S,A,B - D - 5 S,A,B,C,D B - - S,B 6 S,A B - - C B 7 S,A B D - S - C,D 8 A B D C D B A C 12.1 a) Platí (přímo z definičního vztahu), b) Neplatí. A = {ww \ w € {a, &}*}, B = {0}, f (x) = 0 pokud x je tvaru ww, f(x) = 1 jinak, c) Platí, d) Platí (připomeňme, že A