Algebra II – jaro 2016 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N, ∗, µ), kde ∗ je binární operace
definovaná předpisem a∗b = a+b−1 pro a, b ∈ N a µ je unární operace definovaná
předpisem
µ(a) =



4 pro a sudé, a = 4,
5 pro a = 4,
a + 2 pro a liché.
2. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ≤), kde
L = { (P, Q) | P, Q ⊆ N, |P| = |Q| }
a (P, Q) ≤ (R, S) platí právě tehdy, když P ⊆ R a Q ⊆ S, je svaz.
3. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ≤), kde L je množina všech
spojitých funkcí ϕ: 0, 1 → 0, 1 a ϕ ≤ ψ platí právě tehdy, když pro všechna
0 ≤ r ≤ 1 je splněno ϕ(r) ≤ ψ(r), je úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆), kde prvky L jsou právě
otevřené intervaly (tedy množiny (r, s) pro r, s ∈ R, r < s), prázdná množina a
celá množina R, je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis ϕ ∼ ψ ⇐⇒ ker ϕ = ker ψ definuje kongruenci
∼ algebry (RR
, id, κ, ◦), kde id je konstanta, κ je unární operace definovaná
pro ϕ: R → R a r ∈ R předpisem κ(ϕ)(r) = eϕ(r)
a ◦ je operace skládání zobrazení.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z unárních operačních symbolů f a
g a binárního operačního symbolu h. Rozhodněte, která z následujících identit je
splněna v algebře A s nosnou množinou P({0, 1}∗
) a s operacemi definovanými pro
libovolné jazyky L, M ⊆ {0, 1}∗
předpisy fA
(L) = { vu | u, v ∈ {0, 1}∗
, uv ∈ L },
gA
(L) = { uu | u ∈ L } a hA
(L, M) = L · M.
a) f(g(x)) = g(f(x)),
b) f(h(x, y)) = h(f(x), f(y)).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
monounárních algeber, které buď mají nejvýše jeden prvek, nebo jsou izomorfní
nějaké své vlastní podalgebře.