Algebra II – jaro 2020 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (A, ∗), kde A je množina všech neprázdných
konečných množin celých čísel a ∗ je binární operace na A definovaná
předpisem
M ∗ N =



(M − 1) ∪ N, pokud max M < max N,
M − 1, pokud max M = max N,
M \ {max N}, pokud max M > max N,
kde M − 1 = { m − 1 | m ∈ M }.
2. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou všechny posloupnosti
nezáporných celých čísel (ai)i∈N, které mají jen konečně mnoho nenulových
složek a součet těchto složek je sudé číslo, přičemž (ai)i∈N ≤ (bi)i∈N platí právě
tehdy, když pro všechna i ∈ N platí ai ≤ bi. Rozhodněte, zda tato uspořádaná
množina je svaz.
3. (5 bodů) Na množině všech podmnožin množiny N × N je definována relace
ekvivalence předpisem
A ∼ B ⇐⇒ symetrický rozdíl A a B je konečný.
Uvažujme uspořádanou množinu (P(N × N)/∼, ≤) s uspořádáním daným předpi-
sem
[A]∼ ≤ [B]∼ ⇐⇒ množina A \ B je konečná,
pro libovolné podmnožiny A, B ⊆ N × N. Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina
je úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda dědičné podmnožiny uspořádané množiny (R, ≤) tvoří
vzhledem k uspořádání inkluzí algebraický svaz.
5. (10 bodů) Nechť A = {a, b, c, d} je čtyřpísmenná abeceda. Definujme zobrazení
N : A∗
→ Z × Z a I : A∗
→ P(Z × Z) předpisy
N(u) = (|u|a − |u|b, |u|c − |u|d),
I(v) = { N(u) | u je prefixem v }.
Dále uvažujme homomorfismus f : (A∗
, ·) → (A∗
, ·) zadaný na generátorech předpisy
f(a) = c, f(b) = b, f(c) = a a f(d) = d. Rozhodněte, zda relace ∼ definovaná
předpisem
v ∼ w ⇐⇒ I(v) = I(w) & N(v) = N(w)
je kongruencí algebry a) (A∗
, ·), b) (A∗
, f).
(Notace |u|a označuje počet výskytů písmene a ve slově u. Prefixem slova v je
libovolné slovo u ∈ A∗
takové, že v = uw pro nějaké slovo w.)
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z unárního operačního symbolu f
a binárního operačního symbolu •. Rozhodněte, která z následujících identit je
splněna v algebře A, jejíž nosnou množinou A je množina všech parciálních injektivních
zobrazení z N do N a operace fA
a •A
jsou pro všechna ρ, σ ∈ A definovány
předpisy fA
(ρ) = ρ−1
a ρ •A
σ = ρ ◦ σ.
a) f(x) • (x • y) • f(y) = y • (f(y) • f(x)) • x ,
b) f(x) • (x • y) • f(y) = f(x) • (y • f(y)) • x .
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů (L, ≤), které jsou izomorfní svému duálu (L, ≥).