Algebra II – jaro 2024 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (Z, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =



nsd(a, b), pokud 0 ≤ a < b,
−b, pokud b < 0,
a + b, jinak.
2. (5 bodů) Nechť M je množina neprázdných konečných svazů taková, že z každé
třídy izomorfismu obsahuje právě jeden svaz. Pro libovolné svazy K, L ∈ M položíme
K L, jestliže existují prvky a a b ve svazu L takové, že a ≤ b a svaz K je
izomorfní intervalu a, b ve svazu L. Rozhodněte, zda uspořádaná množina (M, )
je svaz.
3. (5 bodů) Na množině L všech nekonečných posloupností (ai)i≥1, kde a1 = 0 a
ai ∈ Z pro i ≥ 2, je definováno uspořádání , kde (ai)i≥1 (bi)i≥1 platí právě
tehdy, když je posloupnost (bi − ai)i≥1 neklesající, tj. pro všechna i ∈ N platí
bi − ai ≤ bi+1 − ai+1. Rozhodněte, zda přidáním největšího a nejmenšího prvku
k uspořádané množině (L, ) získáme úplný svaz.
4. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu (P(N) × P(N), ≤), kde
(A, B) ≤ (C, D) ⇐⇒ ∃E ⊆ N: A = C ∩ E & B = D ∩ E.
Rozhodněte, zda přidáním největšího prvku k této uspořádané množině získáme
algebraický svaz.
5. (10 bodů) Na množině M všech neprázdných konečných množin kladných celých
čísel uvažujme relaci ekvivalence ∼, kde A ∼ B platí právě tehdy, když
nsd(A) = nsd(B). Pro každou z algeber (M, f, +) a (M, ∪, ) rozhodněte, zda ∼ je
její kongruencí, přičemž pro všechna A, B ∈ M je definováno f(A) = { a2
| a ∈ A },
A + B = { a + b | a ∈ A, b ∈ B } a A B = { nsn(a, b) | a ∈ A, b ∈ B }.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z binárních operačních symbolů •
a a unárních operačních symbolů f, p a s. Pro každou z následujících identit
rozhodněte, zda je splněna v algebře
A = (P({a, b}+
), •A
, A
, fA
, pA
, sA
),
jejíž operace jsou pro libovolné jazyky neprázdných slov K, L ⊆ {a, b}+
definovány
předpisy
K •A
L = { uv | u ∈ K, v ∈ L }, K A
L = K ∪ L,
fA
(L) = { w ∈ {a, b}+
| ∀t ∈ L ∃ u, v ∈ {a, b}∗
: uwv = t },
pA
(L) = { w ∈ {a, b}+
| ∀t ∈ L ∃ v ∈ {a, b}∗
: wv = t },
sA
(L) = { w ∈ {a, b}+
| ∀t ∈ L ∃ u ∈ {a, b}∗
: uw = t }.
a) f(x • y) = (f(x) f(y)) (s(x) • p(y)) b) f2
(x) = f4
(x)
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů L, v nichž pro všechny prvky a, b, c ∈ L splňující a < b < c existuje prvek
d ∈ L \ {b} splňující a < d < c.