Lineární modely MB141, bonus
David Krum
15.5.2024
□ ť5P
Komentáře ke zkoušce
► Zkouška je písemná, opravení zpravidla proběhne týž den a zveřejnění do druhého dne, reklamace emailem do týdne.
► Témata zkoušky respektují členění předmětu - 4 okruhy, 4 odpovědní listy.
► Každý okruh je hodnocen 5 body, celkem tak bude možné získat 20 bodů.
► A ... 16-20, B ... 14-15, C ... 12-13, D ... 10-12, E ... 8-9, F ... 0-7.
► Na zkoušku přijďte v 8:00, první blok sestává s okruhů 1 a 2 bude se psát 8:15-9:15, druhý blok sestává z okruhů 3 a 4 a bude se psát 9:30-10:30.
► Vypněte telefony. Nejsou dovoleny kalkulačky ani písemné materiály. Do lavice si vezměte jen psací potřeby, ISIC nebo jiný průkaz, případně občerstvení (ale na to bude i přestávka)
Komentáře ke zkoušce
► Odpovídejte jen do správného listu na lícovou stranu.
► Listy budou předtištěné se zadáním — tzv. řádné listy.
► Pokud nestačí řádný list, požádejte o čistý (tzv. mimořádný list) a doplňte na něj číslo okruhu +10, u dalšího +20, atd. Tento list je opět určen k řešení pouze jednoho tematického okruhu.
► Příklad: U tematického okruhu 2 mi nestačí papír. Požádám tedy o další a označím ho 12. Ani ten ale nestačí, další označím 22.
Komentáře ke zkoušce
► Každý řádný list sestává z „amerického" testu a příkladu.
► V testu je třeba z nabídky odpovědí vybrat jednu nebo více správných. Test může obsahovat teoretické i praktické otázky.
► Každý testový příklad je hodnocen 1 bodem a všechny „bity" musí být správně, tj. i vynechání jedné správné možnosti znehodnotí odpověď.
► Vybranou odpověď vyznačujte křížkem do čtverečku. Pokud křížek chcete smazat, čtvereček vybarvěte. Pokud byste znovu chtěli odpovědět kladně, napište křížek vedle čtverečku.
► U testu se nezajímáme o výpočet nebo zdůvodnění.
► U příkladu je nutné uvést výpočet, samotná odpověď nestačí a nebude uznána.
► Důležité je předvést porozumění podstatě postupu. Numerické chyby opravujeme schovívavěji než např. správný výsledek obdržený nekorektním postupem.
Matice zobrazení— připomenutí
Připomeňme, že každé lineární zobrazení f : U —> V umíme přepsat do matice zobrazení a obraz v f se pak vyjádří jako násobení touto maticí.
Základem našeho postupu je znalost obrazů pro dostatečný počet vektorů z U, ideálně pro nějakou bázi.
Vektory a jejich obrazy přepisujeme řádkově do maticového schématu a pomocí Gaussovy eliminace zjistíme obrazy vektorů standardní báze. (Protože eliminace zachovává lineární kombinace na obou stranách schématu.)
Výslednou matici zobrazení dostaneme transponováním matice na pravé straně.
Obecná matice zobrazení
V některých situacích můžeme potřebovat vyjádření matice zobrazení i v jiných než standardních bazích. Takovou matici značíme fpa, přičemž a je báze U a /3 je báze V.
Matice fpa pak funguje tak, vstupní vektor u £ U vyjádříme v bázi a a výstupní vektor (obraz) v — f(u) £ V dostaneme v bázi /3:
f(u)p = f(3a ' Ua
Kdybychom uvažovali další lineární zobrazení g : V —> W v bazích /3,7, pro matici složeného zobrazení g o f \ U —> W platí vzorec:
{g ° f )7a = <§7/3 ' fpa
Formule osvětlují i řazení bazí v indexu — chceme je mít vedle sebe, abychom uhlídali návaznost přes stejné báze.
Matice prechodu I
Speciálním případem matice zobrazení je matice přechodu . Matice přechodu odpovídá identickému zobrazení, tedy s vektory „nie nedělá", ale mění se v nich báze prostoru. Matici přechodu od báze a k bázi /3 značíme idpa. Její aplikací na vektor u tedy dostaneme z vyjádření v a vyjádření v /3:
Pro matice přechodu samozřejmě platí totéž co pro obecné matice zobrazení, speciálně
fee = ldep ' f pá ' ídae, f/3a = Ídf3e • fee • idea,
kde fee je „stará známá" matice zobrazení ve standardních bazích.
Neplést s přechodovými maticemi z markovských procesů.
Matice prechodu II
Matice přechodu jsou vždy čtvercové, řád odpovídá dimenzi prostoru.
Matice idef3 odpovídá vyjádření „škaredé" báze /3 ve standardní bázi e. To je snadné — stačí /3 přepsat do sloupců.
Pro matici idae to tak snadné není a počítáme ji ze vzorce
idae — idea . (Obecněji platí (f~ľ)ap = (fca)"1-)
Matice přechodu mezi stejnými bázemi nemění ani souřadnice, je tedy vždy jednotková:
Matici zobrazení ve standardních bazích tedy můžeme alternativně počítat tak, že si vyjádříme zobrazení v nějaké příhodnější bázi nebo bazích a matici obložíme maticemi přechodu.
Příklad I
Najděte matici zrcadlení podle roviny x + y — z = 0v IR3.
Řešení: Využijeme obecného tvaru roviny k získání normálového vektoru n = (1,1, —1). Ten se v zrcadlení překlopí: f(n) — —n.
Ještě potřebujeme dva nezávislé vektory z roviny, což jsou řešení rovnice, např. u = (1, 0,1), v = (0,1,1). Ty se v zrcadlení nemění: f(u) = u, f {v) = v.
„Starým" postupem úlohu dořešíme sestavením řádkového schématu pro l/, v, n a jejich obrazy:
1   0 1
0 1 1
1 1 -1
1 0 0 1
-1 -1
1/3    -2/3 2/3 -2/3    1/3 2/3 2/3     2/3 1/3
>0 Q,o
Příklad II
Matice zobrazení je tedy
1/3    -2/3 2/3 fee = [ -2/3    1/3 2/3 2/3     2/3 1/3
(Matice je náhodou symetrická, transponování se tedy neprojeví.) V „Novém" postupu snadno určíme matici zobrazení
f
v bázi a = (l/, v, n) i matici přechodu
idea =
Příklad III
Inverzní matici přechodu idae musíme spočítat (jako pravou část výsledného schématu):
10 1 0 11 11-1
2/3    -1/3 1/3 -1/3    2/3 1/3 1/3     1/3 -1/3
Celkem dostáváme:
f — id   ■ f   ■ id
ea 'otot
'ae
2/3    -1/3 1/3 -1/3    2/3 1/3 1/3     1/3 -1/3