Vnitrosemestrální písemka -- Základy matematiky, A, 4. 11. 2005
Jméno:
UČO:
Hodnocení
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Celkový součet bude zaokrouhlen na celé body. Maximum
20 bodů. Pro řešení použijte volné místo nebo druhou stranu. Na vypracování máte 90 min.
1. (2 body (za každou správnou odpověď 1/2, chybnou --1/2, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím
nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení:
(a) ne {0} U 0 = {0} n 0
(b) ne {{{0}}} G {0} x {{0}}
(c) ano {0,{0},{0,{0}}}CP(P({0}))
(d) ano 0^ = 0 s
pro libovolné neprázdné množiny A, B.
2. (5 bodů (za každou správnou odpověď 1/3, chybnou --1/3, bez odpovědi 0)) Do každého pole tabulky
doplňte ano (resp. ne), jestliže daná relace p na množině všech kladných celých čísel N splňuje
(resp. nesplňuje) příslušnou vlastnost.
a p b
a p b
a p b
a p b
a p b
3 | a + b
b<T
\a-b\e {0,1}
a2
| b
(a - bf a b2
reflexivní symetrická tranzitivní
Ne Ano Ne
Ano Ne Ne
Ano Ano Ne
Ne Ne Ano
Ne Ano Ano
(2 body) Určete kolik prvků má množina {A, A n B, 0}.
(Pozor, odpovědi se liší v závislosti na množinách A a B.)
A = 0 -- jeden prvek
A 7^ 0, A C B -- dva prvky
A ^ 0, A n B = 0 --dva prvky
Jinak [A-B% (tj. A%B), An B ^ 0 (tedy i A ^ 0j/ -- tři prvky.
(2 body) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí
A n C = 0 = > (A-B)-C = A-(B-C).
,,C " Pro x libovolné:
xe(A-B)-C = >
x e A- B Ax (C = >
XEAAX^B Ax^C = > [neboť B - C C BJ
x e A Ax i B -C = >
x G A -- (B -- C). [Předpoklad A n C se nikde nepoužil]
,,D" Pro x libovolné:
xeA-(B-C) = >
x G A Ax  B -C = >
xeAA(xeBr\CVx^BuC) =>
{x e AAxe BC\C)V {x e AAX<B\JC) =>
(x E A Ax E B Ax E C)\/ (x E A Ax $. BX ^ C) =>- [neboť A n C = 0 první možnost nenastane]
XEAAX^BAX^C =>XE
A-B AxE^C = >
i 6 ( A - 5 ) - C .
5. (2 body) Nechť je dána množina A, neprázdná množina / a systém množin {AAi E I}. Dokažte, že
potom
A-\jAt = f](A-At).
iei iei
,,C " Pro x libovolné:
xeA-C\iIA =^
x E A A x < flie/ A
Í = >
x G A A (Vi G J)(x i AÍ) = >
(Ví G J)(x G A A x Í A-) = >
( V i G / ) ( l G Á - Á t ) = >
xeniej(^-^),,!)"
Veškeré implikace v předchozím platí i v opačném směru.
6. (3 body) Nechť A, B jsou neprázdné množiny a definujme zobrazení / : V (A) x V (B) --ˇ P (Ä) x
P (B) předpisem /((X, y)) = (X - y, y - X).
Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
Ne. /((X, X)) = /((0, 0)) pro libovolné X C An B.
Rozhodněte, zda je zobrazení / surjektivní. (Odpoveď zdůvodněte.)
Ne. (A, B) nemá vzor, protože vždy (X -- Y) n (Y -- X) = 0.
V obou případech předpokládáme, že AC\B ^ 0. Pokud by AC\B = 0; pak f identita a tedy bijekce.
7. (4 body) Buď A = {1,2,3,4}. Nalezněte: (Relace i zobrazení zadávejte výčtem prvků z množiny A x A.)
(a) dvojici relací R, S na množině A takových, že R C S, R ^ S, R je surjektivní zobrazení a S
je relace, která je symetrická a není reflexivní;
např. R ={(1,1), (2, 2), (3, 4), (4,3)}, S = R U {(3, 3)}
(b) zobrazení / : A --ˇ A takové, ž e / o / ^ / a / o / o / = / ;
např. / = {(1,2), (2,1), (3, 3), (4, 4)}.
(c) zobrazení f : A ^ A takové, že / je tranzitivní relací a současně není symetrickou relací;
např. / = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}.
(d) relaci i? na množině A takovou, že R~l
o R = A x A, přičemž R je zároveň i zobrazení.
např. R ={(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}.