Demonstrované cvičení, Matematika I,
20.9.2005
i
2
Příklad 1. Množení zajíců. Na začátku jara přinesl
čáp na louku dva čerstvě narozené zajíčky, samečka a
samičku. Samička je schopná od dvou měsíců stáří povít
každý měsíc dva malé zajíčky (samečka a samičku).
Nově narození zajíci splodí potomky po jednom měsíci
a pak každý další měsíc. Každá samička je březí jeden
měsíc a pak opět porodí samečka a samičku. Kolik párů
zajíců bude na louce po devíti měsících (pokud žádný
neumře a žádný se tam ,,nepřistěhuje")?
3
Příklad 2a. Mirek si chce koupit nové auto. Auto
stojí 300 000 Kč. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční
splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na
koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl auto
splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka?
Z přednášky víme, že n-tý člen posloupnosti {y(n)}^=0
zadané rekurentně
y(n + 1) = a(n)y(n) + g(n), n > 1
spočítáme jako
n-- 1
i/(n
) = TT a
w Ž/O+y^ n °w #(r
)"n
--1 n--1
n ž/o + E
_*=o r=0
5
Příklad 2b. Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby
chtěl měsíčně splácet 5000 Kč?
6
Příklad 3. Zjednodušený model chování národního pro­
duktu.
yk+2 - a(l + b)yk+i + abyk = 1,
kde yk je národní produkt v roce k, konstanta a je
takzvaný mezní sklon ke spotřebě, což je makroekonomický
ukazatel, který udává jaký zlomek peněz, které
mají obyvatelé k dispozici, utratí a konstanta b popisuje
jak závisí míra investic soukromého sektoru na mezním
sklonu ke spotřebě.
Předpokládáme dále, že velikost národního produktru
je normována tak, aby na pravé straně rovnice vyšlo
číslo 1.
Spočítejte konkrétní hodnoty pro a = | , b = | ,
Vo = 1, Ví = 1.
7
Příklad 4. Pro libovolné pevné n G N určete počet
všech řešení rovnice
xi+x2^ h xk = n
v množině přirozených čísel.