(Drsná) Matematika
Martin Panák, Jan Slovák
ˇ pokus o přiměřeně náročnou přednášku pro
studenty informatiky
ˇ mozaika obrazů podstatné části matematiky
ˇ přehled nástrojů a receptů k jejich využití
ˇ má být dostupné pro průměrné, ale zároveň
poskytnout dost prostoru i pro mimořádně zdatné
Celkem čtyři semestrální přednášky.
i
ii
Nabídka:
ˇ dvouhodinová přednáška doplněná podpůrnými
materiály na IS a dvouhodinová prezentovaná
řešení úloh (méně formání část přednášky)
ˇ zadávané sestavy (povinných) úloh k procvi-
čení spolu s podporou ve cvičeních po menších
skupinách při řešení povinných úloh
Povinnosti:
ˇ zpracovat a odevzdávat řešení každotýdenních
úloh (zadání v úterý, odevzdávka nejpozději
na konci cvičení v týdnu následujícím)
ˇ absolvovat alespoň 7 cvičení ­ cvičení je uznáno
po přiměřeném zvládnutí alespoň 60% zada-
ných úloh v daném termínu
ˇ dvě písemné práce na 45 min. během semestru
(každá s vahou 15% pro celkové hodnocení)
ˇ závěrečná písemná zkouška (s vahou 70% pro
celkové hodnocení)
iii
Organizace:
ˇ pondělní přednášky ­
většinou Jan Slovák, průběžně se na IS budou
objevovat texty a další podklady
ˇ úterní prezentovaná cvičení ­
většinou Martin Panák, budou zároveň zadány
příklady k odevzdávkám
ˇ právo a povinnost průběžné kontroly a konzul-
tace řešených příkladů cvičícími ­
neschopnost objasnit odevzdaný příklad zna-
mená ,,neabsolvované příslušné cvičení.
KAPITOLA 1
Úvod a motivace
,,hodnota, změna, poloha
­ co to je a jak to uchopit?
1. Čísla a funkce
ˇ Čísla přirozená ­ N = {1, 2, 3, . . . },
často včetně nuly
ˇ Čísla celá ­ Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }.
ˇ Racionální, reálná a komplexní čísla ­ Q, R, C
1
2 1. ÚVOD A MOTIVACE
Co to je ,,definovat čísla ? Např. N:
0 := , 1 := {}, 2 := {, 1}, . . . , n + 1 := {0, 1, . . . , n}.
­ sčítání a násobení, uspořádání, nejmenší prvky
podmnožin
1.1. Vlastnosti sčítání.
(a + b) + c = a + (b + c), a, b, c(KG1)
a + b = b + a, a, b, c(KG2)
0, a, a + 0 = a(KG3)
a (-a), a + (-a) = 0.(KG4)
(KG1) ­ (KG4) jsou vlastnosti komutativní grupy.
1. ČÍSLA A FUNKCE 3
1.2. Vlastnosti násobení.
(a  b)  c = a  (b  c),  a, b, c(O1)
a  b = b  a,  a, b(O2)
1, a, 1  a = a(O3)
a  (b + c) = a  b + a  c,  a, b, c.(O4)
Poslední vlastnosti (O4) se říká distributivita.
Množiny s operacemi +,  a vlastnostmi (KG1)­
(KG4), (O1)­(O4) se nazývají komutativní okruhy.
Další běžná vlastnost čísel:
(P) a = 0, a-1
, a  a-1
= 1.
Pokud navíc i (P), hovořme o poli (často také o
komutativním tělese).
Slabší vlastnost:
(OI) a  b = 0  buď a = 0 nebo b = 0.
Hovoříme o oboru integrity.
4 1. ÚVOD A MOTIVACE
Skaláry ­ prvky nějaké množiny s operacemi + a 
splňujícími výše takové vlastnosti.
Budeme pro ně vesměs užívat latinská písmena ze
začátku abecedy.
1.3. Skalární funkce. Závislosti hodnot na jiných hod-
notách ­ funkce.
Smyslem matematických úvah bývá z neformálního
popisu závislostí najít explicitní formule pro funkce.
ˇ s přesným a konečným výrazem
ˇ s nekonečným výrazem
ˇ s přiblížením neznámé funkce známým odha-
dem (většinou s vyčíslenou možnou chybou)
ˇ s odhadem hodnot s vyčíslením jejich pravdě-
podobnosti
ˇ . . . .
1. ČÍSLA A FUNKCE 5
1.4. Příklady. (1) Sčítání přirozených čísel lze vidět
jako operačně definovanou skalární funkci: a + b je vý-
sledek procedury, ve které k a přičítáme 1 a zároveň
odebereme z b nejmenší prvek, dokud není b prázdná.
(2) Faktoriál definujeme vztahy
f(0) = 1, f(n + 1) = (n + 1)  f(n).
Píšeme f(n) = n!
n! = n  (n - 1)    1.
6 1. ÚVOD A MOTIVACE
2. Kombinatorické formule
1.5. Permutace, kombinace a variace. Pořadí n
prvků nějaké množiny: pro volbu prvního prvku n mož-
ností, další je volen z n - 1 možností atd., až nám na-
konec zbude jediný poslední prvek.
Na konečné množině S s n prvky je právě n! různých
pořadí ­ permutace prvků množiny S.
S ztotožníme s množinou S = {1, . . . , n} prvních n
přirozených čísel ­ permutace odpovídají možným po-
řadím čísel od jedné do n.
Tvrzení: Počet různých pořadí na n-prvkové mno-
žině je dán známou funkcí n!.
Binomická čísla vyjadřují, kolika způsoby lze vy-
brat k různých rozlišitelných předmětů z množiny n
předmětů.
2. KOMBINATORICKÉ FORMULE 7
Počet kombinací k-tého stupně z n prvků je (samo-
zřejmě je k  n)
c(n, k) =
n
k
=
n(n - 1) . . . (n - k + 1)
k(k - 1) . . . 1
=
n!
(n - k)!k!
.
Záleží i na pořadí vybrané k-tice prvků: variace k-
tého stupně.
v(n, k) = n(n - 1)    (n - k + 1)
pro všechny 0  k  n (a nula jinak).
Binomický rozvoj ­ roznásobení n-té mocniny dvoj-
členu.
(a + b)n
=
n
i=0
n
k
ak
bn-k
a všimněme si, že pro odvození jsme potřebovali pouze
distributivitu, komutativnost a asociativitu násobení a
sčítání.
Klademe n
k = 0, kdykoliv je buď k < 0 nebo k >
n.
8 1. ÚVOD A MOTIVACE
1.6. Tvrzení. Pro všechna přirozená čísla k a n platí
(1) n
k = n
n-k
(2) n+1
k+1 = n
k + n
k+1
(3)
n
k=0
n
k = 2n
(4)
n
k=0 k n
k = n2n-1
.
Pascalův trojúhelník ­ každé číslo obdržíme jako
součet dvou bezprostředně nad ním ležících sousedů:
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 3 3 1 0
0 1 4 6 4 1 0
1 5 10 10 5 1
V jednotlivých řádcích jsou koeficienty u jednotlivých
mocnin z výrazu (a + b)n
, např.
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
.
2. KOMBINATORICKÉ FORMULE 9
1.7. Kombinace a variace s opakováním. Volný
výběr prvků z n možností, včetně pořadí ­ variace k-
tého stupně s opakováním, V (n, k).
Předpokládáme, že stále máme pro výběr stejně
možností, např. díky tomu, že vybrané prvky před dal-
ším výběrem vracíme nebo třeba házíme pořád stejnou
kostkou.
V (n, k) = nk
.
Bez zohlednění pořadí ­ kombinacích s opakovánímC(n, k).
Věta. Počet kombinací s opakováním k-té třídy z n
prvků je pro všechny 0  k a 0 < n
C(n, k) =
n + k - 1
k
.
10 1. ÚVOD A MOTIVACE
3. Diferenční rovnice
Často místo hodnoty sklaární funkce zadáváme její
změnu při odpovídající změně nezávislé proměnné.
Např. f(n) = n! = n  f(n - 1) = (n - 1)!.
Modely, které popisují reálné systémy v ekonomice,
biologii apod.
1.8. Lineární rovnice prvního řádu. Obecná dife-
renční rovnice prvního řádu:
f(n + 1) = F(n, f(n)),
kde F je známá skalární funkce závislá na dvojicích ska-
lárů.
Volba f(0) zadává jednoznačně celou nekonečnou
posloupnost hodnot f(0), f(1), . . . , f(n), . . . .
3. DIFERENČNÍ ROVNICE 11
Nejjednodušší je tzv. lineární differenční rovnice
f(n + 1) = a  f(n) + b,
kde a, b  N.
Je-li b = 0, pak f(n) = an
f(0) je řešení (a tedy
jediné řešení).
To je tzv. Malthusiánský model populačního růstu ­
za zvolený časový interval vzroste populace s konstantní
úměrou a vůči předchozímu stavu.
Obecněji s proměnnými koeficienty a a b:
1.9. Věta. Obecné řešení diferenční rovnice prvního
řádu
f(n + 1) = an  f(n) + bn
s počáteční podmínkou f(0) = y0 je dáno vztahem
(1.1) f(n) =
n-1
i=0
ai y0 +
n-1
r=0
n-1
i=r+1
ai br.
12 1. ÚVOD A MOTIVACE
1.10. Důsledek. Obecné řešení lineární diferenční rov-
nice s a = 1 a počáteční podmínkou f(0) = y0 je
f(n) = an
y0 +
1 - an
1 - a
b.
1.11. Rovnice druhého řádu. Diferenční rovnice obec-
ného řádu k:
f(n + k) = F(n, f(n), . . . , f(n + k - 1)) = 0,
kde F je známá skalární funkce v k + 1 proměnných
skalárních veličinách.
Celá posloupnost hodnot f(n) je jednoznačně ur-
čena volbou k-tice čísel f(0), . . . , f(k - 1).
3. DIFERENČNÍ ROVNICE 13
Lineární diferenční rovnice druhého řádu:
f(n + 2) = a  f(n + 1) + b  f(n) + c,
kde a, b, c jsou známé skalární koeficienty.
Dosadíme podobné řešení jako u lineárních, tj. f(n) =
n
pro nějaké skalární . Dostáváme:
n+2
- an+1
- bn
= n
(2
- a - b) = 0.
Proto buď je  = 0 nebo
1 =
1
2
(a + a2 + 4b), 2 =
1
2
(a - a2 + 4b).
Součet dvou řešení je opět řešením rovnice, proto je
obecné řešení f(n) = C1n
1 +C2n
2 kde zadané počáteční
hodnoty f(0) a f(1) určí příslušné konstanty C1 a C2.
14 1. ÚVOD A MOTIVACE
Příklad:
yn+2 = yn+1 +
1
2
yn
y0 = 2, y1 = 0.
Je tedy 1,2 = 1
2 (1 

3)
Chceme y0 = C1 +C2 = 2 a y1 = 1
2 C1(1+

3)+ 1
2 C2(1-

3).
To určuje konstanty: C1 = 1 - 1
3

3, C2 = 1 + 1
3

3.
3. DIFERENČNÍ ROVNICE 15
Postřehy:
ˇ použitá metoda funguje pro obecné lineární
diferenční rovnice bez absolutních členů.
ˇ řešení ve formě kombinace mocnin kořenů tzv.
charakteristického polynomu rovnice.
ˇ nalezená řešení pro rovnice s celočíselnými ko-
eficienty vypadají složitě a jsou vyjádřena po-
mocí iracionálních (případně komplexních) čí-
sel, přestože o samotném řešení dopředu víme,
že je celočíselné též.
ˇ obecné řešení umožňuje bez přímého vyčíslo-
vání konstant diskutovat kvalitativní chování
posloupnosti čísel f(n),
16 1. ÚVOD A MOTIVACE
1.12. Nelineární příklad. Rovnice prvního řádu pro
Malthusiánský model populačního růstu nemůže být re-
alistická pro delší časový interval.
Realističtější model bude mít takto úměrnou změnu
populace p(n) = p(n + 1) - p(n) jen při malých hod-
notách p, tj. p/p  r > 0. Při určité limitní hodnotě
p = K > 0 populace neroste a při ještě větších už klesá.
Předpokládejme, že hodnoty yn = p(n)/p(n) zá-
visí na p(n) lineárně. Tj. potřebujeme přímku v rovině
proměnných p a y, která prochází body [0, r] a [K, 0].
Proto
y = -
r
K
p + r.
Dosazením za y dostáváme
p(n + 1) - p(n) = p(n)(-
r
K
p(n) + r),
tj. diferenční rovnici prvního řádu
p(n + 1) = p(n)(1 -
r
K
p(n) + r).