(Drsná) Matematika Martin Panák, Jan Slovák Přednáška 2 i 4. PRAVDĚPODOBNOST 21 4. Pravděpodobnost ˇ nahodilost nebo nedostatek znalostí parame- trů popisovaného systému = místo přesných hodnot pravděpodobné hod- noty ˇ relativní četnost pozorovaných hodnot může napovídat o pravděpodobném chování skalár- ních funkcí Snažíme se formalizovat chování tak, abychom uměli ze známých pravděpodobností jednoduchých jevů odvo- zovat pravděpodobnosti jevů složitějších. 22 1.13. Co je pravděpodobnost? Banální příklad ­ obvyklé házení kostkou s šesti stranami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. ˇ při házení ,,poctivou kostkou, budeme očeká- vat a tudíž i předepisovat, že každá ze stran padá stejně často. ˇ každá předem vybraná strana padne s pravdě- podobností 1 6 . ˇ nepořádná kostka ­ skutečné relativní četnosti výsledků nebudou stejné. Veliký počtu pokusů = relativní četnosti jednot- livých výsledků hodů = pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Při sebevětším počtu pokusů nemůžeme vyloučit možnost, že se náhodou povedla velice nepravděpodobná kombinace výsledků a že se tím náš matematický model skutečnosti stal nedobrým. 4. PRAVDĚPODOBNOST 23 Náš cíl ­ naznačit abstraktní matematický popis pravděpodobnosti. Jestli je adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný pro- blém, je záložitostí mimo samotnou matematiku. Tím spíš by se ale takovým přemýšlením měli zabý- vat matematikové také (nejspíše ve spolupráci s jinými experty). Později budeme vidět ˇ pravděpodobnost ­ teorie popisující chování nahodilých procesů nebo i plně determinova- ných dějů, kde ovšem neznáme přesně všechny určující parametry ˇ matematická statistika ­ teorii umožňující po- soudit, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou, případně takový systematicky vyhledat. Potřebný dosti rozsáhlý matematický aparát bu- deme několik semestrů budovat. 24 1.14. Náhodné jevy. Budeme pracovat s neprázd- nou pevně zvolenou množinou všech možných vý- sledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás konečná množina s prvky 1, . . . , n, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina A představuje možný jev. Systém podmnožin A základního prostoru se na- zývá jevové pole, jestliže ˇ A, tj. základní prostor je jevem, ˇ je-li A, B A, pak A \ B A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl, ˇ jsou-li A, B A, pak AB A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení. Slovy se tak dá jevové pole charakterizovat jako sys- tém podmnožin (konečného) základního prostoru uza- vřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé mno- žiny A A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). 4. PRAVDĚPODOBNOST 25 Pro naše házení kostkou je = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a jevové pole sestává ze všech podmnožin. Např. náhodný jev {1, 3, 5} pak interpretujeme jako ,,padne liché číslo . Něco málo terminologie, která by měla dále připo- mínat souvislosti s popisem skutečných modelů: ˇ celý základní prostor se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina A se nazývá ne- možný jev, ˇ jednoprvkové podmnožiny {} se nazý- vají elementární jevy, ˇ společné nastoupení jevů Ai, i I, odpovídá jevu iIAi, nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai, i I, odpovídá jevu iIAi, ˇ A, B A jsou neslučitelné jevy, je-li A B = , ˇ jev A má za důsledek jev B, když A B, ˇ je-li A A, pak se jev B = \ A nazývá opačný jev k jevu A, píšeme B = Ac . 26 1.15. Definice. Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (konečného) základního prostoru , na kterém je definována skalární funkce P : A R s náseldujícími vlastnosti: ˇ je nezáporná, tj. P(A) 0 pro všechny jevy A, ˇ je aditivní, tj. P(AB) = P(A)+P(B), kdy- koliv je A B = a A, B A, ˇ pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (, A). Zjevně je okamžitým důsledkem našich definic řada prostých ale užitečných tvrzení. Např. je pro všechny jevy P(Ac ) = 1 - P(A). 4. PRAVDĚPODOBNOST 27 Matematickou indukcí snadno rozšířit aditivnost na jakýkoliv konečný počet neslučitelných jevů Ai , i I, tj. P(iIAi) = iI P(Ai), kdykoliv je Ai Aj = , i = j, i, j I. Složitější je to při sčítání pravděpodobností obecně. 1.16. Věta. Buďte A1, . . . , Ak A libovolné jevy na základním prostoru s jevovým polem A. Pak platí P(k i=1Ai) = k i=1 P(Ai) - k-1 i=1 k j=i+1 P(Ai Aj) + k-2 i=1 k-1 j=i+1 k =j+1 P(Ai Aj A ) - + (-1)k-1 P(A1 A2 Ak). Je to tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. 28 Důkaz intuitivně? Tvrzení věty můžeme číst následovně: sečteme všechny pravděpodobnosti výsledků ze všech Ai zvlášť, pak ovšem musíme odečíst ty, které tam jsou započteny dvakrát (tj. prvky v průnicích dvou). Teď si ovšem dovolujeme ode- číst příliš mnoho tam, kde ve skutečnosti byly prvky třikrát, tj. korigujeme přičtením pravděpodobností ze třetího členu, atd. Důkaz doopravdy? 4. PRAVDĚPODOBNOST 29 1.17. Poznámka. (Princip inkluze a exkluze) Předpokládejme: ˇ všechny konečné podmnožniny základního pro- storu jsou jevy ˇ všechny elementární jevy mají stejnou prav- děpodobnost Pravděpodobnosti P(A) udávají počet prvků pří- slušných podmnožin, až na společný faktor 1 n , kde n je počet prvků základního prostoru. = Pro množiny M a jejich podmnožiny A1, . . . , Ak platí: |M \ (k i=1Ai)| = |M| + k j=1 (-1)j 1i1< 0: P(A1 Ak) = = P(A1)P(A2|A1) P(Ak|A1 Ak-1). Pokrácení čitatelů a jmenovatelů přímo dá výsle- dek.