(Drsná) Matematika
Martin Panák, Jan Slovák
Přednáška 4
i
50
1.28. Obsah trojúhelníka a viditelnost. Závěrem
pojem obsah. Trojúhelník je vymezen dvojicí vektorů
v a w, které přiloženy do počátku O zadají zbylé dva
vrcholy.
Chceme formuli (skalární funkci vol), která dvěma
vektorům přiřadí číslo rovné obsahu vol (v, w) takto
definovaného trojúhelníku (v, w).
Ze zadání je vidět, že by mělo platit
vol (v + v , w) = vol (v, w) + vol (v , w)
vol (av, w) = a vol (v, w)
a přidejme požadavek
vol (v, w) = - vol (w, v),
který odpovídá představě, že opatříme plochu znamén-
kem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory.
51
Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice
A, pak
A = (v, w)  det A
splňuje všechny tři naše požadavky.
Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vek-
tor umíme vyjádřit pomocí dvou souřadných vektorů
v = (1, 0) a w = (0, 1), proto vol  je jednoznačně
určeno už vyčíslením na této jediné dvojici argumentů
(v, w).
Všechny možnosti jsou si rovny až na skalární ná-
sobek. Ten umíme určit požadavkem
vol ((1, 0), (1, 0)) =
1
2
,
tj. volíme orientaci a měřítko.
Determinant zadává plochu rovnoběžnostěnu urče-
ného sloupci matice A (a plocha trojúhelníku je tedy
poloviční).
52
1.29. Viditelnost v rovině. Předchozí popis =
elegantní nástroj pro určování viditelnosti orientova-
ných úseček.
Orientovaná úsečka ­ dva body v rovině R2
s urče-
ným pořadím
­ šipka od prvého k druhému bodu.
rozděluje rovinu na dvě poloroviny, říkejme jim ,,levá
a ,,pravá .
Jestliže uvažujeme obvyklou orientaci ,,proti směru
hodinových ručiček , pak pozorovatel nalevo od orien-
tované úsečky tuto vidí, a naopak pozorovatel napravo
ji nevidí.
53
Má tedy smysl ptát se, jestli je orientovaná úsečka
[A, B] v rovině viditelná z bodu C.
Orientovanou plochu příslušného trojúhelníku za-
daného vektory A - C a B - C. Pokud jsme s bodem
C nalevo od úsečky, pak při naší orientaci bude vektor
A - C dříve než ten druhý a proto výsledná plocha (tj.
hodnota determinantu) bude kladná.
To odpovídá situaci, kdy úsečku vidíme. Naopak,
při opačné poloze bude výsledkem záporná hodnota de-
terminantu a podle zjistíme, že úsečku nevidíme.
Uvedený jednoduchý postup je často využíván pro
testování polohy při standardních úlohách v 2D grafice.
54
6. Relace a zobrazení
formální popis matematických struktur ­ cvičení v
formálním přístupu k objektům a konceptům matema-
tiky.
1.30. Relace mezi množinami. Binární relací mezi
množinami A a B rozumíme podmnožinu R kartézského
součinu A×B. Často píšeme a R b (nebo i vypouštíme
jméno R. pokud je jasné z kontextu) pro vyjádření sku-
tečnosti, že (a, b)  R, tj. že body a  A a b  B jsou v
relaci R. Definičním oborem relace je podmnožina
D  A, D = {a  A; b  B, (a, b)  R}.
Podobně oborem hodnot relace je podmnožina
I  B, I = {b  B; a  A, (a, b)  R}.
Inverzní relací k R se nazývá relace mezi množinami B
a A
R-1
= {(b, a)  B × A; (a, b)  R}
6. RELACE A ZOBRAZENÍ 55
Speciálním případem relace mezi množinami je zob-
razení z množiny A do množiny B. Je to případ, kdy
pro každý prvek definičního oboru relace existuje právě
jeden prvek z oboru hodnot , který je s ním v relaci.
V takovém případě nejčastěji používáme značení jako
jsme viděli u skalárních funcí
f : D  A  I  B, f(a) = b
pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) patří do relace. Ří-
káme, že f je
ˇ zobrazení množiny A do množiny B, jestliže
je D = A,
ˇ zobrazení množiny A na množinu B, jestliže
je D = A a I = B, často také surjektivní zob-
razení
ˇ injektivní zobrazení, jestliže je D = A a pro
každé b  I existuje právě jeden vzor a  A,
f(a) = b.
56
1.31. Skládání relací a funkcí. R, S relace mezi
množinami A, B, C jejich složení (jako u funkcí - viz
tabule)
1.32. Relace na množině. V případě A = B hovo-
říme o relaci na množině A. Říkáme, že R je:
ˇ reflexivní, pokud idA  R (tj. (a, a)  R pro
všechny a  A),
ˇ symetrická, pokud R-1
= R (tj. pokud (a, b) 
R, pak i (b, a)  R),
ˇ antisymetrická, pokud R-1
 R = idA (tj. po-
kud (a, b)  R a zároveň (b, a)  R), pak
a = b,
ˇ tranzitivní, pokud R  R  R, tj. pokud z
(a, b)  R a (b, c)  R vyplývá i (a, c)  R.
Relace se nazývá ekvivalence, pokud je současně re-
flexivní, symetrická i tranzitivní. Relace se nazývá uspo-
řádání jestliže je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická.
6. RELACE A ZOBRAZENÍ 57
1.33. Rozklad podle ekvivalence. Každá ekvivalence
na množině A zadává zároveň rozklad množiny A na
podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků, tzv. třídy
ekvivalance. Každá taková podmnožina je reprezento-
vána kterýmkoliv svým prvkem, tzv. reprezentantem.
58
1.34. Příklad. ­ uspořádání, částečné uspořádání, úplné
uspořádání, dobré uspořádání
(viz tabule - podmnožiny konečné množiny, přiro-
zená čísla)
1.35. Příklad ­ konstrukce celých a racionálních
čísel. (viz tabule - celá čísla = třídy ekvivalence, po-
dobně racionální, důležitá k ověření, že takové objekty
vůbec existují)
1.36. Příklad ­ zbytkové třídy. (viz tabule - méně
obvyklé skaláry ...)