(Drsná) Matematika Martin Panák, Jan Slovák Přednáška 4 i KAPITOLA 2 Linární modely 1. Vektory a matice 2.1. Vektory nad skaláry. Symbol K bude nadále značit nějakou množinu skalárů. Prozatím: vektor bude uspořádaná n-tice skalárů, kde pevně zvolené n N budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry sa- mozřejmě sčítat umíme). Násobení vektoru u = (a1, . . . , an) 59 60 2. LINÁRNÍ MODELY skalárem b definujeme tak, že každý prvek n-tice u vy- násobíme skalárem b (skaláry v K násobit umíme), tj. b u = b (a1, . . . , an) = (b a1, . . . , b an). Zpravidla požadujeme, aby skaláry byly z nějakého pole, viz 1.1. Pro sčítání vektorů v Kn zjevně platí (KG1)­(KG4) s nulovým prvkem 0 = (0, . . . , 0) Kn . Schválně zde používáme pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. Podobně budeme pro sčí- tání a násobení používat stále stejný symbol (buď tečku nebo prosté zřetězení znaků). Navíc nebudeme používat pro vektory žádné speciální značení, spíše ale budeme pro skaláry používat písmena ze začátku abecedy a pro vektory spíše od konce. 1. VEKTORY A MATICE 61 Pro všechny vektory v, w Kn a skaláry a, b K platí a (v + w) = a v + a w(V1) (a + b) v = a v + b v(V2) a (b v) = (a b) v(V3) 1 v = v(V4) Pro kterékoliv pole skalárů K se snadno ověří právě sformulované vlastnosti (V1)­(V4) pro Kn , protože při ověřování vždy používáme pouze vlastnosti skalárů uve- dené v 1.1 a 1.2. Budeme takto pracovat např. s Rn , Qn , Cn , (Zk)n , n = 1, 2, 3, . . .. Všimněme si také, že k ověření vlastností (V1)­ (V4) potřebujeme pro použité skaláry pouze vlastnosti okruhu. Vlastnost (P) však bude přesto podstatná poz- ději. 62 2. LINÁRNÍ MODELY 2.2. Matice nad skaláry. Maticí typu m/n nad ska- láry K rozumíme obdélníkové schéma A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... am1 am2 . . . amn kde aij K pro všechny 1 i m, 1 j n. Matici A s prvky aij značíme také A = (aij). Vektory (ai1, ai2, . . . , ain) Kn nazýváme řádky matice A, i = 1, . . . , m, vektory (a1j, a2j, . . . , amj) Km nazýváme sloupce matice A, j = 1, . . . , n. Matici můžeme také chápat jako zobrazení A : {1, . . . , m}× {1, . . . , n} K. Matice typu 1/n nebo n/1 jsou vlastně právě vektory v Kn . I obecné matice lze však chápat jako vektory v Km.n , prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení matic skaláry: A + B = (aij + bij), 1. VEKTORY A MATICE 63 kde A = (aij), B = (bij), a A = (a.aij), kde A = (aij), a K. Dále pak -A = (-aij) se nazývá matice opačná k matici A a 0 = 0 . . . 0 ... ... 0 . . . 0 se nazývá nulová matice. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení: Tvrzení. Předpisy pro A+B, aA, -A, 0 zadávají na množině všech matic typu m/n operace sčítání a náso- bení skaláry splňující axiomy (V1)­(V4). 64 2. LINÁRNÍ MODELY 2.3. Příklad. Matice lze vhodně využít pro zápis line- árních rovnic: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 ... am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym posloupnost x1, . . . , xn lze chápat jako vektor proměn- ných, tj˙sloupec, a podobně s hodnotami y1, . . . , yn. Sys- tém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A.x = y: a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn . x1 ... xn = y1 ... yn Původní rovnice nyní obdržíme tak, že vždy bereme řádky z A a sčítáme součiny odpovídajících komponent ai1x1 + + ainxn. Tím získáme i-tý prvek výsledného vektoru. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2 jsme už 1. VEKTORY A MATICE 65 zavedli takovýto kalkul a viděli jsme, že s ním lze praco- vat velice efektivně. Nyní budeme postupovat obecněji a zavedeme i na maticích operace násobení. 2.4. Součin matic. Pro libovolnou matici A = (aij) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A B = (cik) jako matici typu m/q s prvky cik = n j=1 aijbjk, pro libovolné 1 i m, 1 k q. Například máme 2 1 1 -1 2 1 1 -1 0 1 = 3 2 3 3 1 0 2.5. Čtvercové matice. Je-li v matici stejný počet řádků a sloupců, hovoříme o čtvercové matici. Počet řádků a sloupců pak nazýváme také dimenzí matice. 66 2. LINÁRNÍ MODELY Matici E = (ij) = 1 . . . 0 ... ... ... 0 . . . 1 se říká jednotková matice. Na množině čtvercových ma- tic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice, je tam tedy definována operace násobení: Tvrzení. Pro libovolný okruh skalárů je na množině všech čtvercových matic dimenze n definována operace násobení. Splňuje vlastnosti 1.2(O1) a (O3) z vzhledem k jednotkové matici E = ij. Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje 1.2(O4). Obecně však neplatí 1.2(O2) ani (OI), zejména tedy neplatí 1.2(P). 1. VEKTORY A MATICE 67 Důkaz. Asociativita násobení ­ (O1): A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (ckl) typu p/q A B = ( j aij.bjk), B C = ( k bjk.ckl) (A B) C = ( k ( j aij.bjk).ckl) = j,k aij.bjk.ckl A (B C) = ( j aij.( k bjk.ckl)) = j,k aij.bjk.ckl Jednotkový prvek ­ (O3): AE = a11 a1m ... am1 amm 1 0 0 0 1 0 ... ... 0 0 1 = A = EA 68 2. LINÁRNÍ MODELY (O4) - distributivita: A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cjk) typu n/p, D = (dkl) typu p/q A (B + C) = ( j aij(bjk + cjk) = (( j aijbjk) + ( j aijcjk)) = A B + A C (B + C) D = ( k (bjk + cjk)dkl) = (( k bjkdkl) + ( k cjkdkl)) = B D + C D Není komutativní: - dokážeme na příkladu 1 0 0 0 . 0 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 . 1 0 0 0 = 0 0 0 0 Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (O2) i (OI), zatím ale jen pro matice typu 2/2. Pro matice typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože 1. VEKTORY A MATICE 69 je mají samy skaláry a pro větší matice získáme proti- příklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat a doplníme nulami. (Ověřte si sami!)