(Drsná) Matematika
Martin Panák, Jan Slovák
Přednáška 4
i
KAPITOLA 2
Linární modely
1. Vektory a matice
2.1. Vektory nad skaláry. Symbol K bude nadále
značit nějakou množinu skalárů.
Prozatím: vektor bude uspořádaná n-tice skalárů,
kde pevně zvolené n N budeme nazývat dimenzí.
Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry sa-
mozřejmě sčítat umíme). Násobení vektoru u = (a1, . . . , an)
59
60 2. LINÁRNÍ MODELY
skalárem b definujeme tak, že každý prvek n-tice u vy-
násobíme skalárem b (skaláry v K násobit umíme), tj.
b u = b (a1, . . . , an) = (b a1, . . . , b an).
Zpravidla požadujeme, aby skaláry byly z nějakého pole,
viz 1.1.
Pro sčítání vektorů v Kn
zjevně platí (KG1)(KG4)
s nulovým prvkem
0 = (0, . . . , 0) Kn
.
Schválně zde používáme pro nulový prvek stejný symbol
jako pro nulový prvek skalárů. Podobně budeme pro sčí-
tání a násobení používat stále stejný symbol (buď tečku
nebo prosté zřetězení znaků). Navíc nebudeme používat
pro vektory žádné speciální značení, spíše ale budeme
pro skaláry používat písmena ze začátku abecedy a pro
vektory spíše od konce.
1. VEKTORY A MATICE 61
Pro všechny vektory v, w Kn
a skaláry a, b K
platí
a (v + w) = a v + a w(V1)
(a + b) v = a v + b v(V2)
a (b v) = (a b) v(V3)
1 v = v(V4)
Pro kterékoliv pole skalárů K se snadno ověří právě
sformulované vlastnosti (V1)(V4) pro Kn
, protože při
ověřování vždy používáme pouze vlastnosti skalárů uve-
dené v 1.1 a 1.2. Budeme takto pracovat např. s Rn
, Qn
,
Cn
, (Zk)n
, n = 1, 2, 3, . . ..
Všimněme si také, že k ověření vlastností (V1)
(V4) potřebujeme pro použité skaláry pouze vlastnosti
okruhu. Vlastnost (P) však bude přesto podstatná poz-
ději.
62 2. LINÁRNÍ MODELY
2.2. Matice nad skaláry. Maticí typu m/n nad ska-
láry K rozumíme obdélníkové schéma
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
am1 am2 . . . amn
kde aij K pro všechny 1 i m, 1 j n. Matici
A s prvky aij značíme také A = (aij).
Vektory (ai1, ai2, . . . , ain) Kn
nazýváme řádky
matice A, i = 1, . . . , m, vektory (a1j, a2j, . . . , amj)
Km
nazýváme sloupce matice A, j = 1, . . . , n.
Matici můžeme také chápat jako zobrazení A : {1, . . . , m}×
{1, . . . , n} K. Matice typu 1/n nebo n/1 jsou vlastně
právě vektory v Kn
. I obecné matice lze však chápat
jako vektory v Km.n
, prostě zapomeneme na řádkování.
Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení
matic skaláry:
A + B = (aij + bij),
1. VEKTORY A MATICE 63
kde A = (aij), B = (bij),
a A = (a.aij),
kde A = (aij), a K. Dále pak
-A = (-aij)
se nazývá matice opačná k matici A a
0 =
0 . . . 0
...
...
0 . . . 0
se nazývá nulová matice. Zapomenutím řádkování tak
získáme následující tvrzení:
Tvrzení. Předpisy pro A+B, aA, -A, 0 zadávají na
množině všech matic typu m/n operace sčítání a náso-
bení skaláry splňující axiomy (V1)(V4).
64 2. LINÁRNÍ MODELY
2.3. Příklad. Matice lze vhodně využít pro zápis line-
árních rovnic:
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2
...
am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym
posloupnost x1, . . . , xn lze chápat jako vektor proměn-
ných, tj˙sloupec, a podobně s hodnotami y1, . . . , yn. Sys-
tém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A.x = y:
a11 . . . a1n
...
...
am1 . . . amn
.
x1
...
xn
=
y1
...
yn
Původní rovnice nyní obdržíme tak, že vždy bereme
řádky z A a sčítáme součiny odpovídajících komponent
ai1x1 + + ainxn. Tím získáme i-tý prvek výsledného
vektoru. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2 jsme už
1. VEKTORY A MATICE 65
zavedli takovýto kalkul a viděli jsme, že s ním lze praco-
vat velice efektivně. Nyní budeme postupovat obecněji
a zavedeme i na maticích operace násobení.
2.4. Součin matic. Pro libovolnou matici A = (aij)
typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici
B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C =
A B = (cik) jako matici typu m/q s prvky
cik =
n
j=1
aijbjk, pro libovolné 1 i m, 1 k q.
Například máme
2 1
1 -1
2 1 1
-1 0 1
=
3 2 3
3 1 0
2.5. Čtvercové matice. Je-li v matici stejný počet
řádků a sloupců, hovoříme o čtvercové matici. Počet
řádků a sloupců pak nazýváme také dimenzí matice.
66 2. LINÁRNÍ MODELY
Matici
E = (ij) =
1 . . . 0
...
...
...
0 . . . 1
se říká jednotková matice. Na množině čtvercových ma-
tic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé
dvě matice, je tam tedy definována operace násobení:
Tvrzení. Pro libovolný okruh skalárů je na množině
všech čtvercových matic dimenze n definována operace
násobení. Splňuje vlastnosti 1.2(O1) a (O3) z vzhledem
k jednotkové matici E = ij. Dále spolu se sčítáním
matic vyhovuje 1.2(O4). Obecně však neplatí 1.2(O2)
ani (OI), zejména tedy neplatí 1.2(P).
1. VEKTORY A MATICE 67
Důkaz. Asociativita násobení (O1):
A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (ckl) typu p/q
A B = (
j
aij.bjk), B C = (
k
bjk.ckl)
(A B) C = (
k
(
j
aij.bjk).ckl) =
j,k
aij.bjk.ckl
A (B C) = (
j
aij.(
k
bjk.ckl)) =
j,k
aij.bjk.ckl
Jednotkový prvek (O3):
AE =
a11 a1m
...
am1 amm
1 0 0
0 1 0
...
...
0 0 1
= A = EA
68 2. LINÁRNÍ MODELY
(O4) - distributivita: A = (aij) typu m/n, B =
(bjk) typu n/p, C = (cjk) typu n/p, D = (dkl) typu p/q
A (B + C) = (
j
aij(bjk + cjk) = ((
j
aijbjk) + (
j
aijcjk))
= A B + A C
(B + C) D = (
k
(bjk + cjk)dkl) = ((
k
bjkdkl) + (
k
cjkdkl))
= B D + C D
Není komutativní: - dokážeme na příkladu
1 0
0 0
.
0 1
0 0
=
0 1
0 0
0 1
0 0
.
1 0
0 0
=
0 0
0 0
Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (O2)
i (OI), zatím ale jen pro matice typu 2/2. Pro matice
typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože
1. VEKTORY A MATICE 69
je mají samy skaláry a pro větší matice získáme proti-
příklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme
do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat
a doplníme nulami. (Ověřte si sami!)