(Drsná) Matematika
Martin Panák, Jan Slovák
Přednáška 4
i
70
2.6. Inverzní matice. Se skaláry: a  x = b  x =
a-1
 b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom
to měli umět s maticemi?
Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když
A  B = B  A = E.
Píšeme pak B = A-1
a je samozřejmé, že obě ma-
tice musí mít tutéž dimenzi n. Matici, k níž existuje
matice inverzní, říkáme invertibilní matice.
Pokud A-1
a B-1
existují, pak existuje i (AB)-1
=
B-1
 A-1
. Je totiž (díky právě dokázané asociativitě
násobení)
(B-1
 A-1
)  (A.B) = B-1
 (A-1
 A)  B = E
a
(A  B)  (B-1
 A-1
) = A  (B  B-1
)  A-1
= E.
71
Soustava n rovnic pro n neznámých součinem ma-
tic:
A  x =



a11    a1m
...
am1    amm


 



x1
...
xm


 =



y1
...
ym



Když existuje matice inverzní k matici A, pak A-1
y =
A-1
 A  x = E  x = x.
Naopak rozepsáním podmínky A  A-1
= E pro ne-
známé skaláry v hledané matici A-1
dostaneme n sys-
témů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně
a různými vektory napravo.
72
2.7. Ekvivalentní úpravy matic. Z hlediska řešení
systémů rovnic je jistě přirozené považovat za ekviva-
lentní matice, které zadávají systémy rovnic se stej-
ným řešením. Takovým operacím říkáme řádkové ele-
mentární transformace. Jsou to:
ˇ záměna dvou řádků
ˇ vynásobení vybraného řádku nenulovým ska-
lárem
ˇ přičtení řádku k jinému řádku.
Analogicky, sloupcové elementární transformace matic
jsou
ˇ záměna dvou sloupců
ˇ vynásobení vybraného sloupce nenulovým ska-
lárem
ˇ přičtení sloupce k jinému sloupci
ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože
mezi sebou míchají samotné proměnné.
73
Systematicky můžeme použít elementární řádkové
úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postupu se
většinou říká Gausova eliminace.
Tvrzení. Nenulovou matici nad libovolným okruhem
skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými
transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar:
ˇ Je-li aij = 0 a všechny předchozí prvky na i-
tém řádku jsou také nulové, potom akj = 0 pro
všechna k  i
ˇ je-li a(i-1)j první nenulový prvek na (i - 1)-
vém řádku, pak aij = 0.
74
Řádkově schodovitý tvar:








0 . . . 0 a1j . . . . . . . . . a1m
0 . . . 0 0 . . . a2k . . . a2m
...
0 . . . . . . . . . . . . 0 alp . . .
...








a může končit několika nulovými řádky. Algoritmus:
(1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku
bude v prvním nenulovém sloupci nenulový
prvek, nechť je to j-tý sloupec.
(2) Pro i = 2, . . ., vynásobením prvního řádku
prvkem aij, i-tého řádku prvkem a1j a ode-
čtením vynulujeme prvek aij na i-tém řádku.
(3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro
zbytek řádků a sloupců v získané matici do-
spějeme po konečném počtu kroků k požado-
vanému tvaru.
75
2.8. Poznámka. Elementární řádkové (resp. sloupcové)
transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava)
následujícími maticemi:
(1) Přehození i-tého a j-tého řádku (resp. sloupce)














1 0 . . .
0
...
... 0 . . . 1
...
...
...
1 . . . 0
...
1














76
(2) Vynásobení i-tého řádku (resp. sloupce) ska-
lárem a:












1
...
1
a
1
...
1












 i
77
(3) Sečtení i-tého řádku (resp. sloupce) s j-tým:
i 















1 0
0
...
...
...
1
...
...
1
















j
78
2.9. Věta. Pro každou matici A typu m/n nad polem
skalárů K existují čtvercové invertibilní matice P di-
menze m a Q dimenze n takové, že matice P  A je v
řádkově schodovitém tvaru a
P  A  Q =










1 . . . 0 . . . . . . . . . 0
...
...
0 . . . 1 0 . . . . . . 0
0 . . . 0 1 0 . . . 0
0 . . . 0 0 0 . . . 0
...










2.10. Algoritmus pro výpočet inverzní matice.
2. DETERMINANTY 79
2. Determinanty
2.11. Definice determinantu. Připomeňme, že bi-
jektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá per-
mutace množiny X, viz ??. Je-li X = {1, 2, . . . , n}, lze
permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě
tabulky:
1 2 . . . n
(1) (2) . . . (n)
.
Prvek x  X se nazývá samodružným bodem permu-
tace , je-li (x) = x. Permutace  taková, že existují
právě dva různé prvky x, y  X s (x) = y a (z) = z
pro všechna ostatní z  X se nazývá transpozice, zna-
číme ji (x, y).
80
V dimenzi dva
A =
a b
c d
, det A = ad - bc.
Obecně, nechť A = (aij) je čtvercová matice dimenze
n nad K. Determinant matice A je skalár det A = |A|
definovaný vztahem
|A| =
n
sgn()a1(1)  a2(2)    an(n)
kde n je množina všech možných permutací na {1, . . . , n}
a znaménko sgn pro každou permutaci ještě musíme po-
psat. Každý z výrazů sgn()a1(1)  a2(2)    an(n) na-
zýváme člen determinantu |A|.
2. DETERMINANTY 81
Jednoduché příklady už umíme: je-li n = 1, pak
|a11| = a11  K a pro n = 2 je
a11 a12
a21 a22
= +a11a22 - a12a21.
Podobně pro n = 3 se dá uhodnout
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= + a11a22a33 - a13a22a31 + a13a21a32
- a11a23a32 + a12a23a31 - a12a21a33.
Tomuto vzorci se říká Saarusovo pravidlo.
82
Jak tedy najít správná znaménka? Říkáme, že dvo-
jice prvků a, b  X = {1, . . . , n} tvoří inverzi v permu-
taci , je-li a < b a (a) > (b). Permutace  se nazývá
sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet
inverzí.
Parita permutace  je (-1)počet inverzí
a značíme ji
právě sgn(). Tolik definice, chceme ale vědět, jak s pa-
ritou počítat. Z následujícího tvrzení už je jasně vidět,
že Saarusovo pravidlo skutečně počítá determinant v
dimenzi 3.
Tvrzení. Na množině X = {1, 2, . . . , n} je právě n!
různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak,
že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou trans-
pozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací a každá
transpozice mění paritu.
2. DETERMINANTY 83
Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní
paritu permutace a že každé pořadí čísel {1, 2, . . . , n}
lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků.
Důsledkem tohoto popisu je, že na každé množině X =
{1, . . . , n}, n > 1, je právě 1
2 n! sudých a 1
2 n! lichých
permutací.
Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená
to prověst napřed všechny transpozice tvořící první a
pak druhou. Proto pro libovolné permutace ,  : X 
X platí
sgn(  ) = sgn()  sgn(), sgn(-1
) = sgn().
84
2.12. Jednoduché vlastnosti determinantu. K A =
(aij) typu m/n definujeme matici transponovanou AT
=
(aij) s prvky aij = aji typu n/m. Čtvercová matice A s
vlastností A = AT
se nazývá symetrická. Jestliže platí
A = -AT
, pak se A nazývá antisymetrická.
Věta. (1) |AT
| = |A|,
(2) Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z
K, pak |A| = 0,
(3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou
řádků, pak |A| = -|B|,
(4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku
skalárem a  K, pak |B| = a|A|,
(5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru akj =
ckj + bkj a všechny ostatní řádky v maticích
A, B = (bij), C = (cij) jsou stejné, pak |A| =
|B| + |C|,
(6) Determinant |A| se nezmění, přičteme-li k li-
bovolnému řádku A lineární kombinaci ostat-
ních řádků.
2. DETERMINANTY 85
2.13. Poznámka. Hezký důsledek (1): Kdykoliv se
nám podaří dokázat nějaké tvrzení o determinantech
formulované s využitím řádků příslušné matice, pak ana-
logické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme
okamžitě všechna tvrzení (2)­(6) této věty přeformulo-
vat i pro přičítání lineárních kombinací ostatních sloupců
k vybranému.
Vlastnosti (3)­(5) říkají, že determinant jako zobra-
zení, které n vektorům dimenze n (řádkům nebo sloup-
cům matice) přiřadí skalár, je antisymetrické zobrazení
lineární v každém svém argumentu, přesně jak jsme
podle analogie z dimenze 2 požadovali.
Pro matici v řádkovém nebo sloupcovém schodovi-
tém tvaru je jediným nenulovým členem determinantu
ten, který odpovídá identické permutaci. Vidíme tedy,
že determinant takové matice je |A| = a11  a22     ann.
Předchozí věta tedy poskytuje velice efektivní metodu
výpočtu determinantů pomocí Gaussovy eliminační me-
tody, viz. 2.7.
86
2.14. Další vlastnosti determinantu.
Věta. Nechť A = (aij), B = (bij) jsou čtvercové matice
dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak
|A  B| = |A|  |B|.
Rozvoj determinantu podle jednoho nebo více řádků
či sloupců:
Nechť A = (aij) je matice typu m/n a 1  i1 <
. . . < ik  m, 1  j1 < . . . < jl  n jsou pevně zvolená
přirozená čísla. Pak matici
M =



ai1j1 ai1j2 . . . ai1j
...
...
aikj1 aikj2 . . . aikj



typu k/ nazýváme submaticí matice A určenou řádky
i1, . . . , ik a sloupci j1, . . . , j . Zbývajícími (m-k) řádky
a (n-l) sloupci je určena matice M
typu (m-k)/(n-
), která se nazývá doplňková submatice k M v A.
2. DETERMINANTY 87
Při k = je definován |M|, který nazýváme subde-
terminant nebo minor řádu k matice A.
Je-li m = n, pak při k = je i M
čtvercová a |M
|
se nazývá doplněk minoru |M|, nebo doplňkový minor
k submatici M v matici A. Skalár
(-1)i1++ik+j1++jl
 |M
|
se nazývá algebraický doplněk k minoru |M|. Subma-
tice tvořené prvními k řádky a sloupci se nazývají hlavní
submatice, jejich determinanty hlavní minory matice A.
Při speciální volbě k = = 1, m = n hovoříme o alge-
braickém doplňku Aij prvku aij matice A.
88
Pokud je |M| hlavní minor matice A, pak přímo
z definice determinantu je vidět, že součin |M| s jeho
algebraickým doplňkem je členem determinantu.
Nechť je obecná submatice M určena řádky i1 <
i2 <    < ik a sloupci j1 <    < jk. Pak pomocí
(i1 - 1) +    + (ik - k) výměn sousedních řádků a
(j1-1)+  +(jk-k) výměn sousedních sloupců v A pře-
vedeme submatici M na hlavní submatici a doplňková
matice přitom přejde právě na doplňkovou matici. Celá
matice A přejde přitom v matici B, pro kterou platí
podle 2.12 a definice determinantu |B| = (-1)
|A|, kde
 =
k
h=1(ih - jh) - 2(1 +    + k). Tím jsme ověřili:
Tvrzení. Nechť A je čtvercová matice dimenze n a |M|
je její minor řádu k < n. Pak součin libovolného členu
|M| s libovolným členem jeho algebraického doplňku je
členem |A|.
2. DETERMINANTY 89
Věta. Nechť A = (aij) je čtvercová matice dimenze n
nad libovolným okruhem skalárů a nechť je pevně zvo-
leno k jejích řádků. Pak |A| je součet všech n
k součinů
(-1)i1++ik+j1++jl
 |M|  |M
| minorů řádu k vybra-
ných ze zvolených řádků, s jejich algebraickými doplňky.
90
2.15. Důsledky Laplaceovy věty. Předchozí věta
převádí výpočet |A| na výpočet determinantů nižšího
stupně. Této metodě výpočtu se říká Laplaceův rozvoj
podle zvolených řádků či sloupců. Např. rozvoj podle
i-tého řádku nebo i-tého sloupce:
|A| =
n
j=1
aijAij =
n
j=1
ajiAji
kde Aij označuje algebraický doplněk k prvku (minoru
stupně 1) aij. Při praktickém počítání determinantů
bývá výhodné kombinovat Laplaceův rozvoj s přímou
metodou přičítání lineárních kombinací řádků či sloupců.
2. DETERMINANTY 91
Jako trikovou ale elemntární aplikaci odvodíme dů-
kaz Cauchyovy věty. Použijeme prostě dvakrát Lapla-
ceův rozvoj na vhodné matice:
Uvažme nejprve matici H dimenze 2n (používáme
tzv. blokovou symboliku, tj. píšeme matici jakoby slo-
ženou z matic)
H =
A 0
-E B
=










a11 . . . a1n
...
...
an1 . . . ann
0 . . . 0
...
...
0 . . . 0
-1 0
...
0 -1
b11 . . . b1n
...
...
bn1 . . . bnn










Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme
právě |H| = |A|  |B|.
92
Nyní budeme k posledním n sloupcům postupně
přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom
obdrželi matici s nulami v pravém dolním rohu. Dosta-
neme
K =










a11 . . . a1n
...
...
an1 . . . ann
c11 . . . c1n
...
...
cn1 . . . cnn
-1 0
...
0 -1
0 . . . 0
...
...
0 . . . 0










.
Prvky submatice nahoře vpravo přitom musí splňovat
cij = ai1b1j + ai2b2j +    + ainbnj
neboli jde právě o prvky součinu A  B a |K| = |H|.
Přitom rozvojem podle posledních n sloupců dostáváme
|K| = (-1)n+1++2n
|AB| = (-1)2n(n+1)
|AB| = |AB|.
2. DETERMINANTY 93
2.16. Determinant a inverzní matice. Předpoklá-
dejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A,
tj. A  A-1
= E. Protože pro jednotkovou matici platí
vždy |E| = 1, je pro každou invertibilní matici vždy |A|
invertibilní skalár a platí |A|-1
= |A-1
|.
My však kombinací Laplaceovy věty a Cauchyho
věty umíme víc. Pro libovolnou čtvercovou matici A =
(aij) dimenze n definujeme matici A
= (a
ij), kde a
ij =
Aji jsou algebraické doplňky k prvkům aji v A. Nazý-
váme ji algebraicky adjungovaná matice k matici A.
Věta. Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem
skalárů K platí AA
= A
A = |A|  E. Zejména
(1) A-1
existuje jako matice nad okruhem skalárů
K právě, když |A|-1
existuje v K
(2) Pokud existuje A-1
, pak platí A-1
= |A|-1
A