Základy matematiky — podzim 2006 — 1. opravný termín — 19.1.2007
1. (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Existuje množina A taková, že existuje bijekce z množiny A do množiny P(A).
(b) ano — ne Pro libovolnou bijekci f : A → B existuje zobrazení g : B → A takové, že
g ◦ f = idA.
(c) ano — ne Každá uspořádaná množina obsahuje pouze konečně mnoho maximálních prvků.
(d) ano — ne Je-li f : A → B izomorfismus uspořádaných množin (A, ≤) a (B, ≤), pak platí:
pokud (A, ≤) je úplný svaz, pak (B, ≤) je úplný svaz.
(e) ano — ne Množina R je podgrupa grupy (C, +).
(f) ano — ne Prázdná relace, tj. ∅, je symetrická relace na libovolné množině.
(g) ano — ne Množina všech relací na množině N, která jsou zobrazení, uspořádaná inkluzí
tvoří úplný svaz.
2. (7 bodů) Definujte pojmy grupa, komutativní grupa a izomorfismus grup. Definujte všechny užité
pojmy.
3. (3krát 2 body) Ve skladě je 20 výrobků, z toho je 5 zmetků. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat
7 předmětů tak, aby
(a) byly všechny dobré;
(b) byl mezi nimi nejvýše jeden zmetek;
(c) mezi nimi bylo všech 5 zmetků.
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) svazu, který nemá nejmenší prvek;
(b) nekonečného, nespočetného úplného svazu;
(c) 4-prvkové grupy;
(d) relace na množině N, která je relace ekvivalence a přitom není relace ekvivalence na množině
Z;
(e) uspořádání na množině Z, kde je nekonečně mnoho maximálních prvků a nekonečně mnoho
minimálních prvků a kde každý maximální prvek je větší než libovolný minimální.
5. (10 bodů) Na množině M = Z × Z2 definujeme binární operaci ◦ vztahem
(a, [b]2) ◦ (c, [d]2) = (a + (−1)b
c, [b + d]2), pro a, b, c, d ∈ Z.
Dokažte, že předpis korektně definuje operaci.
Rozhodněte, zda je operace ◦ asociativní.
Rozhodněte, zda v (M, ◦) existuje neutrální prvek.
Je (M, ◦) grupa?
Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Nechť n ∈ N, A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, . . ., n} a ≤ je uspořádání přirozených čísel podle
velikosti. Určete počet všech izotonních zobrazení z (A, ≤) do (B, ≤).
Určete počet všech izotonních zobrazení z (B, ≤) do (A, ≤).
Výpočty komentujte.
7. (10 bodů) Na množině N je definována binární relace ρ vztahem
xρy ⇐⇒ (∃m, n ∈ N)(x | ym
∧ y | xn
).
Dokažte, že ρ je relace ekvivalence na množině N.
Popište rozklad N\ρ.
Určete, kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8. (10 bodů) Na množině N definujeme binární relaci takto:
k m ⇐⇒ ( k | m ∧ k + 1 | m + 1 ), pro k, m ∈ N.
Dokažte, že je uspořádání.
Je 7 minimální prvek? Existuje nějaký minimální prvek?
Je 7 maximální prvek? Existuje nějaký maximální prvek?
Je (N, ) svaz?
Odpovědi zdůvodněte.
9. (10 bodů) Na množině M = {(X, Y ) ∈ P(N) × P(N) | X ∩ Y = ∅} definujeme binární relaci
takto:
(X, Y ) (X′
, Y ′
) ⇐⇒ ( X ⊆ X′
∧ Y ⊆ Y ′
).
Je (M, ) úplný svaz?
Dejte příklad injektivního zobrazení ϕ : (M, ) → (P(N), ⊆), které je izotonní.
Dejte příklad injektivního zobrazení ϕ : (P(N), ⊆) → (M, ), které je izotonní.
Odpovědi zdůvodněte.