OPRAVNÁ PÍSEMNÁ PRÁCE -- A -- 19. prosince 2006
1. Sportovní střelec zasáhne cíl při každém výstřelu s pravděpodobností p = 0.8. Vypočtěte pravděpodobnost,
že při 5 výstřelech budou v terči alespoň dva zásahy.
2. V osudí je 5 černých koulí a 5 bílých koulí. Vybereme bez vracení 6 koulí. Jaká je pravděpodobnost, že
alespoň dvě z oněch vybraných koulí budou bílé?
3. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [1, -10], B = [10, -3], C = [4, 9], D = [-2, 14], E = [-6, 8]
a F = [-9, 2]. Vypočítejte, zda z bodu X = [-12, -2] vidíte hrany AF, EF a DE.
4. Určete vlastnosti relace na množině N dané předpisem
x, y  N, x  y  |x| < |y|,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Řešte následující rovnici
6x1 - 9x2 + 7x3 + 10x4 = 3,
2x1 - 3x2 - 3x3 - 4x4 = 1,
2x1 - 3x2 + 13x3 + 18x4 = 1.
6. Řešte maticovou rovnici
X 


2 7 3
3 9 4
1 5 3

 =


1 0 2
0 1 0
0 0 1

 .
7. Určete matici přechodu od base  k basi , kde
 = {(-1, 1, 0)T
, (1, 1, 0)T
, (0, 0, 1)T
} a  = {(1, 0, 0)T
, (1, 1, 0)T
, (1, 1, 1)T
}.
Určete také souřadnice vektoru [x], je-li [x] = (2, 4, 7)T
.
8. Určete ortonormální basi podprostoru
W = Span < (0, 2, 1, 0)T
, (1, -1, 0, 0)T
, (1, 2, 0, -1)T
> .
Zachovejte pořadí vektorů.
9. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice


1 1 2
0 2 -2
0 0 3

 .
Každý příklad je hodnocen dvěma body -- hodnocen není jen správný výsledek, ale především postup.
K získání zápočtu musíte získat alespoň polovinu bodů, tj. 9.
OPRAVNÁ PÍSEMNÁ PRÁCE -- B -- 19. prosince 2006
1. Soustruh vyrobí každou minutu jednu součástku, přičemž pravděpodobnost, že součástka má vadu, je
0,05. Jaká je pravděpodobnost, že soustruh vyrobí za hodinu nejvýše 4 vadné součástky?
2. Jsou dána tři osudí. V prvním osudí jsou 3 bílé a 5 černých koulí, ve druhém osudí jsou 4 bílé a 2 černé
koule a ve třetím osudí je 7 bílých koulí. Z náhodně vybraného osudí vytáhneme jednu kouli. Jaká je
pravděpodobnost, že bude bílá?
3. Jsou dány body A = [-1, 4], B = [-2, -1], C = [-1, -5], D = [3, 2] a E = [8, 6]. Vypočítejte obsah
pětiúhelníku ABCDE.
4. Určete vlastnosti relace na množině R dané předpisem
x, y  R, x  y  |x - y|  1,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Řešte následující rovnici
x1 - 2x2 + 3x3 - 4x4 = 5,
3x1 + x2 - 2x3 + x4 = -3,
9x1 - 4x2 + 5x3 - 10x4 = 9.
6. Řešte maticovou rovnici
X 


1 1 -1
2 1 0
2 -1 0

 =


1 -1 3
4 2 4
1 -2 5

 .
7. Určete matici přechodu od base  k basi , kde
 = {(0, 1, 2)T
, (2, 1, -3)T
, (-1, 2, 3)T
} a  = {(-3, -1, -4)T
, (-4, -1, -7)T
, (-4, -1, -6)T
}.
Určete také souřadnice vektoru [x], je-li [x] = (4, 3, 1)T
.
8. Určete ortonormální basi podprostoru
W = Span < (1, 1, -1, -1)T
, (1, -1, 1, 1)T
, (-1, -2, 0, 1)T
> .
Zachovejte pořadí vektorů.
9. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice


3 -1 0
0 1 0
-1 2 4

 .
Každý příklad je hodnocen dvěma body -- hodnocen není jen správný výsledek, ale především postup.
K získání zápočtu musíte získat alespoň polovinu bodů, tj. 9.