Moire - efekt překrývání rastrů (nejčastěji AND) Př. podkladový rastr 5 kombinací Efekt vzájemného posunutí je podobný Vzájemné posunutí rastrů PF: 8 = gi/2, A=G/2. <5 = &>/4, A= G/4. Obecně: A = <5 Si Efekt vzá temného nosunutí rastrů; V praxi tisku je moire jevem nežádoucím! Skládání rastrů různých frekvencí (J. Blin) Si Pi p« "LTLJ1 ltltlt Pu=/>1 AND p2, G = n a, m (n + 7) í |, í/gj = n/G, I/J, = (n + 1 )/G, 1 = J—J-, / = I/S, F=fi-f, Př. Čárový rastr nu Efekt různých frekvencí rastrů iíiiiiiiiiiiiii i li.t i ialili. Vzájemné natočení čárových rastrů Efekt vzájemného natočení ■MIMlilIl Fm = Fj - F2 Kruhový rastr Různé typy rastrů vytvářejí různé vzory změna frekvence p••*•*#■•*«■• • •••■•••■•••a ■ **•«••**•*•• *•*»•**#•*•*■ ************* »••■•••a***** ***»*******»• >••*•*•••••*•(_ _ • ■**•***•*•*•« »«k**********- • * * * • ••»•*•* I ■ •**•••*•*•*• »****■**»*•*! Tiskové rozety Poznámka: Barevné růžice jsou dobře viditelné na velkých reklamních poutačích. Problém uzavírání křivky (m = ?) a b c d Př. 2. Křivky a =n/2 n = 1-10 .■rrtgi^H ŕ 3- PU3 ^ Součet úhlů: a. 90° x 1 x 4 e. 90° x 5 x 4 i. 90° x 9 x 4 360° b. 90° x 2 x 2 = 360° 1800° f. 90° x 6 x 2 = 1080° 3240° j. 90° x 10 x 2= 1800° c. 90° x 3 x 4 ■■ g. 90° x 7 x 4 1080° d. 90° x 4 x 1 = 360° 2520° h. 90° x 8 x 1 = 360° Odds ukazuje, že pokud součtový úhel dosáhne 360° po prvním běhu (m = 1), křivka se neuzavře. Domnívá se, že pokud je a celistvým dělitelem 180°, křivka se uzavře. Krawczyk testováním ukazuje, že to není pravda. Matematická analýza chybí!!! Spirolaterály (Spirolaterals) Křivky podobné SFK - Frank C. Odds (biolog) 1973, Robert Krawczyk (architekt) 1999 a další. Algoritmus - opakované navazování tvořící křivky (polyline o n segmentech). Grafický interpret - „želví grafika". Př. 1. Křivka 3. řádu (polyline má 3 segmenty) 4-násobné repetice: ......:x 1 1 T E Poznámka: Kreslíme vlastně spirálu, odtud název křivky. Algoritmus:, krok 0. - nastavení výchozího směru krok 1. - otočení o zadaný úhel doprava a vykreslení 1. segmentu o délce / - otočení o zadaný úhel doprava a vykreslení 2. segmentu o délce 2/ - otočení o zadaný úhel doprava a vykreslení 3. segmentu o délce 3/ kroky 2., 3., 4.-opakování kroku 1. Parametry křivky: a- úhel sevřený segmenty po otočení (n- a) v dohodnutém směru n - počet segmentů m - počet opakování (do uzavření křivky) Ukázky testů (notace na) 4l20 $120 Další variace spirolaterál přinášejí další výtvarné efekty Reverzace směrů otáčení Př. notace: 90 ' ' pravé indexy určují segmenty reverzace e [fflralGySĽSy '90 Tli-E "go2- 3A Sg01,2,l W °9ďs at. II »90M Další výtvarné zpracování spirolaterál: Náhrada úsečky v polyline jinou čarou, r~i n U j resp. jiným provedením (typem) čáry. IEÜ1 ■ # * * * » * *• • * * #* * ■ » úsečky vrcholy kruh. oblouky spline Př. Variace na 760 : -<-»-> -t-l-r-t- - -i-i-i.n-fc. -i^-m-r- l-M-M-r- ■H-<+ ■!++*■ -l-#-i- -1-1 V -HU-**-*- I-VI+ H-J-í-T- - ■«■* -144' +H-í- -l-l-^ Př. Efektní spirolateraly 1490 : Jednoduché transformace a projekce Př. transformace Dixona a Lawrence X = (x* r2)/(x2 + y2) Y = (y* r2) /(x2 + y2) □O 17 Varianta bez exponenciály íeo 2^5 230 Cykloidní transformace Hypocycioida: X = R * (cos(A)*(n-1) + cos(A*(n-1))) n = 3 a 4 Y= R* (sin(A)*(n-1) -sin(A*(n-1))) Epicycioida: X = R* (cos(A)*(n+1) -cos(A*(n+1))) n = 2, 3 a 4 Y = R * (sin(A) (n+1) - sin(A*(n+1))) Př. Transformace „antiMERCATOR" 6 = k * x k = 27t/(xmax-xmin) R = exp(k * y) Poznámka: M. projekce-obalení globu obdélníkem I90 1eo Ž30 3 go Příklady cykloidních transformací: fßo 2^5 3ao Hypocycloidní spirolaterály %45 %30 3go Epicycloidní spirolaterály 20 D Př. Varianty 3D Dekorativní chaotické atraktory 1 (Julien C. Sprott: Strange Attractors) Nejjednodušší a nejznámější iterační mapa (2D) jejíž atraktor nám poslouží jako příklad: (Michel Hénon 1976) Xn+1 = l+aXn2+bYn Yn+1 _xn a = -1.4 and b = 0.3. Po několika iteracích vznikne „ladná" chaotická křivka: Chaotický atraktor vznikne jen v omezeném rozsahu parametrů: Oblasti řešeni Hénonovy rovnice v souřadnicích a,b i i i r neohraničená řešeni chaotická řešeni Hénonův atraktor je zvláštním případem obecnější kvadratické mapy xn+1 = o, + a2xn + a3xn2 + o4xnYn + a5Yn + a6Yn2 Yn+1 = o7 + a8Xn + a9Xn2 + a10XnYn + a,,Yn + a,2Yn2 Při vhodných hodnotách parametrů najdeme oblasti velmi dekorativních atraktorů. Hledání má háček! Př. Hledáme-li 12 koeficientů v intervalu -1,2 až +1,2 po kroku 0,1, dostaneme kolem 6x1016 různých řešení a z nich pouze asi 1015 bude chaotických, tj. 1,6%. Kdyby jednotlivá řešení trvala pouze jednu vteřinu potřebovali bychom 30 milionů let. Proto J. C. Sprott náhodně generuje parametry a vybírá pomocí exponentů Ljapunova a fraktální dimenze (viz později). Př. Atraktor dvojdimenzionální kvadratické mapy: Př. Atraktor kvartické mapy promítnutý na kouli: Můžeme přejít do vícerozměrného prostoru (3D, 4D). Podobně můžeme sestavit mapu kubickou, kvartickou, kvintickou apod. Kubická mapa: xn+1 = a, ♦ a2Xn + a3Xn2 + a4Xn3 + a5Xn2Yn + a6XnYn + a7XnYn2 + a8Yn + a9Yn2 + a10Yn3 Yn+1 = «i i + ai2Xn + ai3xn2 + c«14xn3 + ai5xn2Yn +o,6XnYn+a,7XnYn2+ aisY"+ai9Yn2+020Yn3 Počet koeficientů poroste a hledání chaotických atraktorů bude obtížnější! Př. Atraktor dvojdimenzionální kubické mapy: Kvadratická mapa 3D: xn+1 = a, + a2xn + o3xn2 + a4xnYn + o5xnzn + a6Yn + a7Yn2 + a8YnZn + a9Zn + a10Zn2 Yn+1 =an +ai2Xn + a13Xn2 + ai4XnYn + ai5XnZn + ai6Yn + a17Yn2 + o18Ynzn + o19zn + a20zn2 zn+l =a21 + a22xn + a23xn2 + a24xnYn + a25xnzn + a2éYn + a27Yn2 + a28Ynzn + a29zn + a30zn2 Dvojdimenzionální obraz můžeme pořídit několika způsoby: • Provedeme skutečně projekci do 2D (úhly definují směr pohledu). Xp = -xsine + Ycose Yp = - X sinfl cos ♦ - Y sine cos ty+ Z sin <ť •„Nadbytečnou" souřadnici ignorujeme. •„Nadbytečnou" souřadnici vyjádříme barvou. • Atraktory zobrazíme v řezech po vhodném kroku ve zvolené souřadnici. • Kombinujeme uvedené metody apod. Počet koeficientů stále narůstá! Atraktivnost atraktorů roste. Př. Projekce 3D kvadratické mapy Př. Projekce 3D kubické mapy Chaotické a traktory jsou polem nekonečných výtvarných možností (viz. práce J. C. Sprotta). Paul Bourke: Xt,| = sin(ay,) - cos(bx() yt*i = sin(cxi) - cos(dy.) (a, b, c, d); a. = (-2.24, 0.43, -0.65, -2.43); b. = (-2.70, -0.08, -0.86, -2,20); c, =(-2,00, -1.00,-1.00,-1.50). Triginometrické funkce ve 2D rovnicích Clifford Pickover: x,4.| = sin(by,) + c sin(bx,) yi+i = sm(axr) + d sin(ayj Varianta s mocninou: s,»i = | sini(ay,) | + cosfbx,) yi-i = I sin (cxO | - cos (dyt) Ím (a, b, c, d): o. = (-5.0, -0.5, -1.1, 7.5); b. ={-5.25, -0.5, -1.1, 7,5); c. = (-6.0, -0.5, -1.1, 7.5} Generátor rovnic Pickovera a Bourkeho (Tomáš Jochec VIN VUT 06) Soubor M as taveni P^tkioků:!™^" |Paul B ~3 Pŕeddsíin™* varianta 3 "3 Jöjx] Dekorativní chaotické atraktory 2 (nepravé) (J. C. Sprott: Strange Attracrors 1993) Eulerova numerická metoda řešení ODR jako zdroj chaotických tvarů Mějme dvojrozměrný systém autonomních ODR dx/dt =f(x,y) dy/dt = g(x,y) Podle Poincare- Bendixsonova teorému tento systém nemůže produkovat chaotická řešení. Použijeme-li však k řešení „vhodnou" numerickou metodu, resp. dostatečně velký integrační krok //, může být řešení chaotické. Použijeme Eulerovu numerickou metodu x„+i = x„ + hf(x„, y J y„+i =yn + g(x„, y J Dekorativní mezní cykly ODR (3D) kvadratická kvadratická Př. 1: Řešme Van der Polovu rovnici: dx/dt =y dy/dt = b(l - x2)y - x pro b = 1, p.p. x0=y0 = 0,01 Př. 2: Podobný systém, který má kruhový mezní cyklus (x + y = 1), bude při dostatečně velkém h produkovat chaotický atraktor. dx/dt = y dy/dt = (1 - x2 - y2)y - x pro p. p. xo=yo = 0,01 cin:le h - .BH8279 Rosslerův atraktor (O.E. Rössler, 1976) . áx/dí = -y -z . dyldi = x + ay . dz/dt = b + z(x - c) a = i = 0.2, c = 5.7 Uedův atraktor (Y. Ueda, J. 1979) • dx/dt =y ' dy/dt = -x3 -ky + B sin z • dz/dt=l B =7.5, k =0.05 Roller Attractn Model chaotického proudění se ztrátami a) kvadratický (J. C. Sprott, 1977) b) po částech lineární(J. C. Sprott, 1999) • dx/dt =y • dy/dt=z • dz/dt =-Az +y2 -x A= 2.017 dx/dt =y dy/dt =z dz/dt =-Az-y- \x\+ 1 A = 0.6 Doplnění: Z fyziky známé („populární") chaotické systémy Logistická rovnice (R. May, 1976) . Xn+l=AXn{\-X^ A=4 Hénonova rovnice (M. Hénon, 1976) • Xn+i = 1 + ln - aXn . Y„+1 = bX„ a = i 4t b = oj Chirikovova (standardní) rovnice (B. V. Chirikov, 1979) . X„+1 = X„ + Y„+1 mod 2pi . Y„+1 = Y„ + k sin X„ mod 2pi k = l Lorenzův atraktor (E. N. Lorenz, 1963) . áxláí = cÁy - x) . ôylôí = -xz + rx - y . dz/dt = xy-bz a= 10, r = 28, b = 8/3 38 Př. Atraktory Lorenz Rössler Efekt geometrických substitucí Substituce obrazců: Siest. 1. Generátory používající logické operátory Př. M. Szyszkowicz: 9n+) = an OR b„, ÍV,=Vfan AND Ď„J Př. Geometrické substituce v rovině a na kouli s vyplněnými obrazci. Viz. téma Mozaiky geometrickou substitucí. Generátory používající celulární automaty Typický vzhled kreací ( př. Ventian Li): Grafický Turinguv stroj Připomeňme: Turingův stroj (TS) se skládá z konečné množiny stavů, nekonečné pásky a hlavičky, která může číst i zapisovat na pásku a pohybovat se po ní doprava nebo doleva. V každém kroku TS přečte symbol z místa pásky, na kterém je nastavena hlavička. Na základě tohoto symbolu a stavu, ve kterém se právě nachází, přejde podle přechodové funkce do nového stavu. Zapíše na aktuální místo pásky symbol a posune hlavičku na pásce doleva nebo doprava. Implementace TS: Množinu stavů budeme reprezentovat jejich indexy a páskovou abecedu vytvoří indexy barev. Jednotlivá místa na pásce jsou jednotlivé pixely na obrazovce a znaky jsou reprezentovány barvami pixelů. Pro reprezentaci přechodové funkce vytvoříme 3 dvojrozměrné tabulky: • Tabulku pro určení nového stavu na základě aktuálního stavu a znaku na pásce (barvy pixelu) • Tabulku pro určení znaku zapisovaného na pásku (barvu kresleného pixelu) • Tabulku pro směr pohybu (nahoru, dolů, doleva, doprava) V každém kroku algoritmu se na základě aktuálního stavu a barvy aktuálního pixelu určí nový stav a směr dalšího kroku. Poznámka: Zvětšení omezeného prostoru obrazovky dosáhneme spojením levého okraje obrazovky s pravým a horního s dolním. Varietu výstupů rozšíříme tiskem grafických značek a vhodným zpracováním míst „přetisku". 45