Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
MB101 ­ 8. demonstrovaná cvičení
Determinanty
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
5.11. 2007
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete dimenzi a alespoň dvě různé báze vektorového
prostoru čtvercových antisymetrických (AT = -A) matic n × n
nad reálnými čísly.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete dimenzi a alespoň dvě různé báze vektorového
prostoru čtvercových antisymetrických (AT = -A) matic n × n
nad reálnými čísly.
Řešení. Dimenze je n(n - 1)/2. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad
reálnými čísly, sčítání vektorů je sčítáním komplexních čísel.
Ukažte, že čísla 2 + i a 1 - 2i tvoří bázi tohoto vektorového
prostoru a napište souřadnice čísla 4 + i v této bázi.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad
reálnými čísly, sčítání vektorů je sčítáním komplexních čísel.
Ukažte, že čísla 2 + i a 1 - 2i tvoří bázi tohoto vektorového
prostoru a napište souřadnice čísla 4 + i v této bázi.
Řešení. Čísla 2 + i a 1 - 2i jsou zřejmě nezávislé vektory (jeden
není násobkem druhého) a libovolné komplexní číslo x + iy
můžeme napsat jako lineární kombinaci těchto vektorů
x +iy = a(2+i)+b(1-2i) = a =
1
5
(2x +y), b =
1
5
(x -2y),
specielně pro x = 4 a y = 1 máme souřadnice (9
5 , 2
5 ). 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Napište matici zobrazení zrcadlení podle roviny
procházející počátkem a kolmé na vektor (1, 0, 1).
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Napište matici zobrazení zrcadlení podle roviny
procházející počátkem a kolmé na vektor (1, 0, 1).
Řešení.

2/2 0 -

2/2
0 1 0
2/2 0

2/2
-1 0 0
0 1 0
0 0 1

2/2 0

2/2
0 1 0
-

2/2 0

2/2
=
0 0 -1
0 1 0
-1 0 0
,
lze odvodit i přímou úvahou. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Spočítejte determinant a pomocí algebraicky adjungované
matice i inverzní matici k matici
1 2 3
3 2 1
1 0 1
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Spočítejte následující determinant:
1 a 1 a
a 1 0 1
a a 0 a
a a a 1
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Spočítejte následující determinant:
1 a 1 a
a 1 0 1
a a 0 a
a a a 1
Řešení. 2a2 - a3 - a. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Určete inverzní matici matice z předchozího příkladu.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Určete inverzní matici matice z předchozího příkladu.
Řešení.
0 1/(-1 + a) -1/(a  (-1 + a)) 0
-a/(-1 + a) -(a + 1)/(-1 + a) (a + 1)/(-1 + a) 1/(-1 + a)
1 1 -(a + 1)/a 0
a/(-1 + a) a/(-1 + a) -a/(-1 + a) -1/(-1 + a)
2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Cramerovo pravidlo
Příklad Řešte následující systém lineárních rovnic:
2x - y + z = 1
3x - 2y - z = 3
x + 3y + 2z = 5
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Cramerovo pravidlo
Příklad Řešte následující systém lineárních rovnic:
2x - y + z = 1
3x - 2y - z = 3
x + 3y + 2z = 5
.
Řešení. x = 29
16 , y = 27
16 , z = -15
16 . 2