Matematika III A
4. ledna 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte 90 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Spojitá funkce nabývá na kompaktní množině svého absolutního extrému výhradně
v některém stacionárním bodě.
(b) ano -- ne Množina {[x, y]  E2; x2
+ y2
< 1} je otevřená.
(c) ano -- ne I v konečném grafu může existovat nekonečný tah.
(d) ano -- ne Graf o n vrcholech, který neobsahuje kružnice a má n-1 hran, je nutně stromem.
(e) ano -- ne Orientovaný graf je eulerovský, právě když je vyvážený a slabě souvislý.
(f) ano -- ne Úplný bipartitní graf K4,4 není rovinný.
Příklady:
1. (8 bodů) Pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů nalezněte stacionární body funkce
cos2
x + cos2
y
na množině M dané rovnicí x - y = 
4
. Určete (a zdůvodněte), jde-li o extrémy a v kladném
případě i jakého typu jsou tyto extrémy (maximum, resp. minimum). Hodnotu funkce v těchto
bodech určovat nemusíte.
2. (6 bodů) Na obrázku 1 je uveden tok v dané síti (čísla f/c udávají současný tok a kapacitu
dané hrany). Zjistěte, je-li uvedený tok maximální, pokud ano, své tvrzení zdůvodněte. Pokud
maximálním tokem není, maximální tok najděte a svůj postup podrobně popište. Uveďte
některý minimální řez v dané síti.
3. (6 bodů) Určete souřadnice těžiště homogenní destičky, ohraničené grafy křivek y = x2
a
x + y = 2.
4. (4 body) Nakreslete 2 neizomorfní grafy mající skóre (2, 3, 3, 3, 3, 3, 5). Zdůvodněte.
1
2 3
4
5
6
7
8
8/14
0/18
8/8 10/10
2/10 8/8 12/20
18/18 6/6
4/14
12/16
6/16 6/6
Obr. 1: Obrázek k příkladu na tok v sítích (1 = zdroj, 8 = stok).
Návod k řešení:
Teorie: a) NE - extrém může být i na hranici nebo v bodech, kde není funkce diferencovatelná;
b) ANO - jde o otevřený kruh; c) NE - v tahu se nemohou opakovat hrany, kterých je konečně
mnoho; d) ANO - základní charakterizační věta; e) ANO; f) ANO - Kuratowského věta.
1. L(, x, y) = cos2
x + cos2
y - (x - y - /4). Pak
L
x = - sin 2x -  = 0,
L
y = - sin 2y +  = 0,
x - y =

4
,
odkud sin 2x+sin(2x- 
2
= 0, tj. sin 2x-cos 2x = 0, a tedy 2x = 
4
+k. Dostáváme všechny
stacionární body
x =

8
+ k

2
, y = -

8
+ k

2
.
Derivací vazebné podmínky dostaneme dx - dy = 0 a vypočteme druhý diferenciál Lagrangeovy
funkce
d2
L(, x, y) = -2 cos 2x(dx)2
+ 2 cos 2y(dy)2
.
Odtud plyne, že pro k liché je druhý diferenciál záporný a v příslušných bodech nastává
minimum, pro k sudé pak maximum (pozn: v tomto příkladu jsme podmínku z derivace
vazebné podmínky nevyužili, obecně je ale třeba ji vzít v úvahu).
2. 1  2  3  4  8 je nenasycená (neorientovaná) cesta o kapacitě 4, po úpravě toku již
dostaneme maximální tok o kapacitě 32, což vidíme z existence řezu (2, 4), (6, 4), (3, 8), (5, 8)
téže velikosti (je tedy tento řez minimální).
3. Nejprve vypočteme průsečíky [-2, 4] a [1, 1] obou křivek. Souřadnice těžiště vypočteme pomocí
vztahů
M =
A
dx dy =
1
-2
2-x
x2
dx dy =    =
9
2
,
Tx =
1
M A
x dx dy =    = -
1
2
a
Ty =
1
M A
y dx dy =    =
8
5
.
(výpočty příslušných integrálů jsou přímočaré, proto je neuvádíme). Vhodná kontrola správnosti
je rovněž, že v případě konvexního útvaru leží těžistě vždy uvnitř něj.
4. Snadné ­ např. přidáním vrcholu stupně 5 k C6, resp. C3  C3.
Matematika III B
4. ledna 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte 90 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Jsou-li všechny hlavní minory matice A záporné, je A negativně definitní.
(b) ano -- ne Existuje-li limita funkce f : En  R v daném bodě, pak je f v tomto bodě
spojitá.
(c) ano -- ne Spojitá diferencovatelná funkce nabývá na kompaktní množině svého absolutního
extrému výhradně v některém stacionárním nebo hraničním bodě.
(d) ano -- ne Je-li hessián funkce f v daném stacionárním bodě pozitivně definitní, je tento
bod lokálním minimem f.
(e) ano -- ne Graf, v němž mezi každými dvěma vrcholy existuje alespoň jedna cesta, je nutně
lesem.
(f) ano -- ne Existuje právě 80 homomorfismů z P2 (cesta délky 2) do K5 (úplný graf o 5
vrcholech).
Příklady:
1. (8 bodů) Určete objem tělesa daného podmínkami:
x, y, z  0, x + y + z  2, x2
+ y2
 2.
2. (6 bodů) Nalezněte maximální kostru grafu na obrázku, uveďte název a stručný popis algoritmu,
který používáte. Dále vhodným způsobem zapište jednotlivé prováděné akce.
3. (6 bodů) Na kuželosečce o rovnici
x2
+ 3y2
- 2x + 6y - 8 = 0
najděte všechny body, v nichž je normála rovnoběžná s osou y. Pro každý nalezený bod zapište
obecnou rovnici tečny k dané křivce v tomto bodě.
4. (4 body) Udejte příklad grafu, který obsahuje právě 8 artikulací a 5 mostů.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4
4
4
4
5
5
4
2
5
5
3
6
3
2
2
2
3
2 4
3
3
2
Obr. 1: Obrázek k příkladu na hledání kostry.
Návod k řešení:
Teorie: a) NE ­ negativně definitvní je, pokud se znaménka minoru střídají, počínaje záporným;
b) NE ­ pro existenci limitu není vůbec třeba, aby daný bod patřil do definičního oboru; c) ANO;
d) ANO; e) NE ­ premisa implikuje souvislost, aby šlo o les, musel by graf být navíc stromem; f)
ANO ­ 5  4  4 = 80.
1. Viz též př. 107 z demonstračních cvičení. S využitím transformace do válcových souřadnic
(nezapomenout na jakobián!) vyjde
V =

2
0

2
0
2-r(cos +sin )
0
r dz dr d =  -
4
3

2.
2. Více možností, maximální kostra má 10 hran a součet ohodnocení 44.
3. Příklad na implicitně definované funkce (šel ale řešit i s využitím středoškolských znalostí
o kuželosečkách). Normála funkce implicitně definované pomocí F(x, y) = 0 v bodě a se
snadno spočítá jako hodnota diferenciálu dF(a). V našem případě dF(a) = (F
x(a), F
y(a)) =
(2x0 - 2, 6y0 + 6), kde x0, y0 jsou souřadnice bodu a. Protože má být normála rovnoběžná
s osou y, musí být 2x0 - 2 = 0 (na y0 z toho neplynou žádné podmínky, to dopočítáme tak,
aby bod a ležel na dané kuželosečce). Hledané body jsou [1, -3], [1, 1], v nichž jsou zřejmě
tečnami (kolmými na normálu) přímky y = -3, resp. y = 1.
4. Mnoho možností.