Výsledky cvičení 69
Výsledky cvičení
1. VÝPOČET DETERMINANTU
1. (a) 19, (b) 36
2. (a) sudá, (b) lichá, (c) lichá, (d) lichá
3. (a) x = 8, y = 3, (b) x = 2, y = 7
4. (a) (-1)
n(n-1)
2 , (b) (-1)
n(n-1)
2 , (c) (-1)
n(n+1)
2 , (d) (-1)
n(3n-1)
2 , (e) (-1)n
5. (a) ano, (b) ne
6. +a12a34a21a43, -a12a34a23a41
7. det A = -11, det B = 90, det C = -4, det D = -100, det E = 5, det F = -2 + 2i
8. det A = -195, det B = 18, det C = -28, det D = 30, det E = 39, det F = 6,
det G = -1
6
, det H = -2, det I = 301, det J = -153, det K = 1932, det L = -336,
det M = -7497, det N = 10, det O = 60, det P = -21, det Q = 78, det R = 800
9. det A = -105, det B = -18
10. det A = [a+(n-1)x](a-x)n-1
, nejprve k prvnímu sloupci přičteme všechny ostatní,
a pak od všech řádků odečteme první
det B = xn
+ (-1)n+1
yn
, uděláme rozvoj podle prvního sloupce
det C = a1a2 . . . an(a0 - 1
a1
- 1
a2
-  - 1
an
), k prvnímu řádku přičteme - 1
a1
krát druhý
řádek, - 1
a2
krát třetí řádek, atd.
det D = a0xn
+ a1xn-1
+    + an, uděláme rozvoj podle prvního sloupce
det E = a0x1x2 . . . xn + a1y1x2 . . . xn + a2y1y2 . . . xn +    + any1y2 . . . yn, uděláme
rozvoj podle prvního řádku
11. det A = -(a2 + a3 +    + an), od prvního řádku odečteme všechny ostatní
det B = a!, ke všem řádkům přičteme první
det C = (2n + 1)(-1)
1
2
n(n-1)
, nejprve od všech řádků odečteme poslední řádek, a pak
k prvnímu sloupci přičteme všechny ostatní sloupce
det D = 0, k prvnímu řádku přičteme všechny řádky
det E = (-1)n-1
n!, od všech řádků odečteme poslední řádek
det F = x1 (x2 - a12) (x3 - a23) . . . (xn - an-1,n), začneme od posledního řádku a
od každého řádku odečteme předchozí
det G = (-1)
n(n-1)
2 b1b2 . . . bn, od všech sloupců odečteme poslední sloupec
70 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
det H = (-1)n(n-1)
2n, začneme od posledního sloupce a od všech sloupců odečteme
předchozí
det I = b1 . . . bn, od všech řádků odečteme první
12. det A = 2 det An-1, pro n  2, uděláme rozvoj podle posledního sloupce
det B = 3 det An-1 - 2 det An - 2, pro n  3, uděláme rozvoj podle prvního řádku,
pak u druhé matice podle prvního sloupce
det C = 3 det An-1 -2 det An - 2, pro n  3, uděláme rozvoj podle posledního řádku,
pak u druhé matice podle posledního sloupce
det D = 5 det An-1 - 6 det An-2, pro n  3, uděláme rozvoj podle posledního řádku,
pak u druhé matice podle posledního sloupce
det E = 7 det An-1 - 10 det An-2, pro n  3, uděláme rozvoj podle prvního řádku,
pak u druhé matice podle prvního sloupce
det F = (x + 1) det An-1 - x det An-2, pro n  3, uděláme rozvoj podle prvního
řádku, pak u druhé matice podle prvního sloupce
det G = (x2
- y2
) det A2(n-1), pro n  2, uděláme rozvoj podle prvního řádku, pak
u první matice podle posledního sloupce a u druhé matice podle prvního sloupce
det H = det An-1 - det An-2, pro n  3, uděláme rozvoj podle prvního řádku, pak
u druhé matice podle prvního sloupce
13. (a) 1, (b) 
2
(1 + 2k), 
3
(2 + 6k), 
3
(4 + 6k)
14. det A = -144, po vytknutí ze druhého řádku matice dostáváme determinat V (-1, 1, 2, -2)
det B = 2880, transponováním matice dostáváme determinant V (2, 1, -2, 3, -1)
det C = 1i<jn(xj - xi), matici transponejeme a od každého sloupce, počínaje
druhým sloupcem, postupně odečteme vždy předchozí sloupec
15. det A = a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
16. Pn(x) = det











x -1 0 . . . 0 0 0
0 x -1 . . . 0 0 0
0 0 x . . . 0 0 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . x -1 0
0 0 0 . . . 0 x -1
a0 a1 a2 . . . an-2 an-1 an











2. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY
1. Af =




0 -1 1 0
1 1 0 1
0 0 0 -1
0 0 1 0



 h(A) = 4
Výsledky cvičení 71
2. f(x, y) = -2x1y1 - 2x2y1 - 8x1y2 - 4x2y2
3. Af =


1 0 1
2 4 2
3 4 3


4. fS = 1
2
x1y3 + x2y2 + 1
2
x2y4 + 1
2
x3y1 + 1
2
x4y2
fA = -x1y2 + 1
2
x1y3 + x2y1 + 1
2
x2y4 - x3y4 + x4y3 - 1
2
x3y1 - 1
2
x4y2
5. (a) fS = 2x1y1 + 2x1y2 - x1y3 + x2y2 + 2x2y1 - x3y1 + x3y3
fA = 2x1y2 - x1y3 - 2x2y1 + x3y1 - x2y3 + x3y2
(b) fS = x1y2 + x2y1 + 2x2y3 + 2x3y2 + 3x3y1 + 3x1y3
fA = x1y2 - x2y1 + 2x2y3 - 2x3y2 + 3x3y1 - 3x1y3
6. f(x, y) = 5x2y2 - 20x3y3,  = [(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, -3, 2)]
7. např. standardní báze
8. (a) f(x, y) = x1y3 - 2x2y3 + x3y1 - 2x3y2
(b) f(x, y) = x1y1 + x2y2 - x2y3 - x3y2
9. např. F(x) = x2
1 - x2
2 + 36x2
3, (jednoznačně je určena pouze signatura), v bázi  :
[(1, 0, 0)T
, (1, 1, 0)T
, (5, 6, 1)T
]
10. (a) např. F(x) = 4x2
1 + 4x2
2 + 20x2
3, v bázi  : [(1, 0, 0)T
, (1, -2, 0)T
, (-2, 6, 2)T
]
(b) např. F(x) = x2
1 - 1
4
x2
2 - x2
3, v bázi  : (1, 1, 0)T
, -1
2
, 1
2
, 0
T
, (-1, -1, 1)T
11. (a) pozitivně definitní, s = (2, 0, 0)
(b) indefinitní, s = (1, 1, 1)
(c) negativně definitní, s = (0, 3, 0)
12. např. F(x) = x2
1 - 1
4
x2
2 - 3x2
3, není pozitivně definitní
13. (a) s = (1, 1, 1)
(b) s = (2, 1, 0)
(c) s = (1, 2, 0)
14. (a) s = (2, 2, 0)
(b) s = (2, 2, 0)
(c) s = (1, 1, 2)
15. F(x) = 2x2
1 - 3x2
2 - x2
3 - 4x1x2 - 2x2x3
diagonální tvar např.: F0(x) = 2x2
1 - 5x2
2 - 4
5
x2
3
72 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
16. (a) ani pozitivně ani negativně definitní pro libovolné a
(b) negativně definitní pro a < -1
17. elipsa, S = (-2, 5
3
)
18. (a) parabola
(b) dvě různoběžky
(c) hyperbola, S = (1
3
, -2
3
)
(d) elipsa, S = (-1, -1)
(e) parabola
(f) rovnoběžky
(g) elipsa, S = (7, 5)
(h) hyperbola, S = (1, -3
5
)
(i) parabola
(j) rovnoběžky
19. F(x) = x2
1 - x2
2 + x2
3 - x2
4 + x2
6 - x2
7
20. F(x) = x2
1 - x2
2 + x2
3 + x2
5 - x2
6 - x2
7
21. f(A, B) = tr(A  M  B) = tr(A  M  B), analogicky f(A, B) = f(A, B)
f(A1 +A2, B) = tr((A1 +A2)M B) = tr(A1 M B +A2 M B) = tr(A1 M B)+
tr(A2 M B) = f(A1, B)+f(A2, B), analogicky f(A, B1 +B2) = f(A, B1)+f(A, B2)
Vektorový prostor má dimenzi 4, matice bilineární formy je proto matice řádu 4, jejíž
prvky jsou dány vztahy aij = f(ei, ej), kde ei, ej jsou bázové vektory, např.
a12 = tr
1 0
0 0

1 2
3 5

0 1
0 0
= tr
1 2
0 0

0 1
0 0
= tr
0 1
0 0
= 0
Matice formy pak je: 



1 0 2 0
0 1 0 2
3 0 4 0
0 3 0 4




3. SKALÁRNÍ SOUČIN
1. (a) ne, (b) ne, (c) ano
2. (a) ano, (b) ne, (c) ne, (d) ano, (e) ano
Výsledky cvičení 73
3. (a) ano, (b) ne
4. (a) ne, (b) ne, (c) ne, (d) ano
5. (a) u, v = 13u1v1 + 5u2v2 - 8u1v2 - 8u2v1
(b) nelze, vektory u a v jsou lineárně závislé
6. vektory jsou lineárně nezávislé a jejich lineární obal je R4
, a tedy např.
 = [(1, 0, 0, 0)T
, (0, 1, 0, 0)T
, (0, 0, 1, 0)T
, (0, 0, 0, 1)T
]
7.  = [(1, 0, 4, -1)T
, (1, -4, 0, 1)T
, (-32, -7, 9, 4)T
], báze W
je  = [(4, 9, 7, 32)T
]
8.  = [(1, 1, -1, -1)T
, (3, -1, 1, 1)T
, (0, 1, 1, 0)T
]
9. (a)  = [(1, 2, 2, -1)T
, (2, 3, -3, 2)T
, (2, -1, -1, -2)T
]
(b)  = [(1, 0, 1, 0)T
, (0, 1, 0, -7)T
]
(c)  = [(1, 2, 0, 1, 2)T
, (1, 0, 6, -1, 0)T
]
(d)  = [(1, -1, 0, 1, 1)T
, (3, -3, 4, -1, -5)T
, (3, -18, -31, -11, -10)T
]
10. (a) (1, 0, -1, 1)T
, (-1, 0, 0, 1)T
(b) (24, -2, 2, 9)T
, (0, 1, 1, 0)T
(c) (-7, 0, 1, 0)T
, (0, -1, 0, 7)T
11. P , =




1 0 -1
3
0
0 1 0 -3
5
0 0 1 0
0 0 0 1



 ,  = [1, x, x2
- 1
3
, x3
- 3
5
x]
12. (a)  = [(1, 0, -1, 1, 0)T
, (1, 3, 2, 1, -3)T
]
(b)  = [(-1, 5, 3, 0, 0)T
, (0, 1, 0, 1, 0)T
, (1, -8, 0, 0, 3)T
]
13.  = 0, 1
2
, - 1
2
, 0
T
14. (a) -1, -5
3
(b) -1 + 1
5
, -1 - 1
5
(c) žádné
15. P
= [(4, 2, 7, 0)T
]
16. (a) W = [(1, 1, 1, 1)T
, (-5, 3, -3, 5)T
]
(b) a = -17, b = 13
17. (1, 5
2
, 5
2
)T
18. (a) L
= [(1, 1, -1, -1)T
], Pz = (2, 2, -2, -2)T
74 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(b) L
= [(4, 2, 1, -1)T
], Pz = (4, 2, 1, -1)T
19. (a) Pu = (-1, 1, -2, 3)T
(b) Pu = (0, 0, 0, 0)T
(c) Pu = (0, 3, 0, 3)T
(d) Pu = (1, -1, -1, 5)T
20. Budeme počítat druhou mocninu velikosti vektoru u - v:
u - v 2
= u - v, u - v = u, u - 2 u, v + v, v = u 2
- 2 u, v + v 2
.
Z Cauchy-Schwartzovy nerovnosti víme, že | u, v |  u v . Protože v naši rovnici
u, v odčítáme, bude platit
u - v 2
 u 2
- 2 u v + v 2
a tedy u - v 2
 ( u - v )2
, tj. | u - v |  u - v
21. Stačí zvolit vektorový prostor V = Rn
se standardním skalárním součinem a vektory
x = (x1, x2, . . . , xn)  Rn
a y = (1, 1, . . . , 1)  Rn
. Pro tyto dva vektory musí platit
Cauchy-Schwartzova nerovnost
| x, y |  x y
z toho plyne 1 x1 + 1 x2 +    + 1 xn  x2
1 + x2
2 + . . . x2
n

n ,
a tedy
x1 + x2 +    + xn
n

x2
1 + x2
2 +    + x2
n
n
22. Zvolíme za vektorový prostor množinu všech spojitých funkcí na intervalu (a, b),
značíme C[a, b], se skalárním součinem definovaným
pro f, g  C[a, b] f, g =
b
a
f(x) g(x) dx .
zvolíme dvě funkce f = f(x) a g = 1, pro které musí platit Cauchy-Schwartzova
nerovnost
| f, g |  f g
z toho plyne
b
a
f(x) dx 
b
a
f2(x) dx
b
a
1 dx ,
a tedy
b
a
f(x) dx 
b
a
f2(x) dx

b - a
1
b - a
b
a
f(x) dx 
1
a - b
b
a
f2(x) dx
Výsledky cvičení 75
23. Vezmeme-li dva vektory (2, 4), (x, y)  R2
, platí pro ně Cauchyova-Schwarzova
nerovnost
(2x + 4y)2
 (22
+ 42
) (x2
+ y2
) .
Odtud pak už pro 2x + 4y = 1 dostáváme požadovanou nerovnost.
24. Vezmeme-li dva vektory ( 1
2
, 1
3
, 1
6
), ( x
2
, y
3
, z
6
)  R3
, dostaneme z Cauchy-Schwarzovy
nerovnosti
1

2
x

2
+
1

3
y

3
+
1

6
z

6
2

1
2
+
1
3
+
1
6
x2
2
+
y2
3
+
z2
6
,
což je požadovaná nerovnost.
25. Vezmeme vektory a1
a2
, a2
a3
, . . . , an
a1
,

a2,

a3, . . . ,

an,

a1  Rn
, pro které
platí Cauchy-Schwarzova nerovnost
a1

a2

a2 +
a2

a3

a3 +    +
an

a1

a1
2

a2
1
a2
+
a2
2
a3
+    +
a2
n
a1
(a1+a2+  +an) ,
což je požadovaný výsledek.
26. Vezmeme vektory 1
a1
, 1
a2
, . . . , 1
an
,

a1,

a2, . . . ,

an  Rn
, pro které platí
Cauchy-Schwarzova nerovnost
n2

1
a1
+
1
a2
+    +
1
an
(a1 + a2 +    + an) .
27. F = F1 + F2 + F3 + F4, potom
|F|2
= F, F = |F1|2
+ |F2|2
+ |F3|2
+ |F4|2
+ 2 F1, F2 + 2 F1, F3 + 2 F1, F4 +
2 F2, F3 + +2 F2, F4 + F3, F4
(a) |F|2
= 100(6 + 3

3)
(b) |F|2
= 100(4 + 2

2)
28. 25 = (F1+F2+F3), (F1+F2+F3) = |F1|2
+|F2|2
+|F3|2
+2 ( F1, F2 + F1, F3 + F2, F3 ) =
= 4 + 9 + 16 + 2(6 + 8 + 12) cos , pak  = arccos - 1
13
.
4. EUKLIDOVSKÁ ANALYTICKÁ GEOMETRIE - VZDÁLENOST A ÚHEL
1. (a) (A, P) = 5, (b) (A, P) = 6, (c) (A, P) = 7, (d) (A, P) = (581
27
)
1
2 (e) (R, B) =

3, (f) (R, B) = 2

30, (g) (R, B) = 5, (h) (R, B) =

11
2. (a) (p, q) = 7, (b) (p, q) = 13, (c) (p, q) = 5, (d) (p, q) = 6, (e) (p, q) = 10
76 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
3. (a) (p, ) = 5, (b) (p, ) = 5, (c) (p, ) = 3
4. (a) (, ) = 7, (b) (, ) = 10, (c) (, ) = 5, (d) (, ) = 0, (e) (, ) = 7,
5. (, P) = 6
6. (a)  = 
6
(b)  = 
3
, (c)  = 
4
, (d)  = 
3
, (e)  = 
4
, (f)  = 
6
, (g)  = 
4
, (h)
 = 
4
, (i)  = 
4
, (j)  = 
3
7. (a)  = 
3
, (b) cos  = 1
5
8. (a)  = 
4
, (b)  = 
6
, (c)  = 
4
,
9. Q = (3, 2, 1, 2)
10. Q = (2, 5, -3)
11. C = (1, 0, 1, 0, 1) + t(19, 11, -4, 5, 1) + s(7, 2, 0, 1, 0)
12. C : 7x1 = 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 15, 4x2 - 2x3 + x4 - x5 = -5
13. q = (2, 1, -3) + t(-8, -9, 6)
14. 2 řešení: 1 : 3x - 6y - 2z - 7 = 0, resp. 2 : 3x - 6y - 2z + 35 = 0
15. 1 : 2x - 2y - z - 22 = 0, resp. 2 : 2x - 2y - z + 8 = 0
16. nekonečně mnoho bodů ležících na přímce q : (6, -1, 0) + t(2, 2, 0)
17. x - y + z - a
18. Q1 = (2, -3, -3)T
, Q2 = (-2, 5, 9)T
19. Q1 = (15, 0, -12)T
, Q2 = (15, 2, -10)T
20. 15x + 10y - 10z - 8 = 0
21. Lze odvodit
(A, N) =
|a1y1 +    + anyn + a0|
a2
1 +    + a2
n
5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE
1. (a) 1 = -1, 1 = [(1, 1, -1)T
]
(b) 1 = 2, 1 = [(1, 2, 0)T
, (0, 0, 1)T
]
(c) 1 = 1, 1 = [(1, 1, 1)T
], 2 = 0, 2 = [(1, 2, 3)T
]
Výsledky cvičení 77
(d) 1 = 1, 1 = [(2, 1, 0)T
, (1, 0, -1)T
], 2 = -1, 2 = [(3, 5, 6)T
]
(e) 1 = 1, 1 = [(1, 2, 1)T
], 2 = 2 + 3i, 2 = [(3 - 3i, 5 - 3i, 4)T
], 3 = 2 - 3i,
3 = [(3 + 3i, 5 + 3i, 4)T
]
(f) 1 = 2, 1 = [(1, 1, 0, 1)T
, (0, 0, 1, 1)T
]
(g) 1 = 1, 1 = [(1, 1, 1)T
], 2 = 2, 2 = [(1, 1, 0)T
, (1, 0, -3)T
]
(h) 1 = 1, 1 = [(1, 1, 2)T
], 2 = 2+3i, 2 = [(-12+3i, -10-6i, 17)T
], 3 = 2-3i,
3 = [(-12 - 3i, -10 + 6i, 17)T
]
(i) 1 = 1, 1 = [(1, 1, 2)T
], 2 = 2 + 3i, 2 = [(3 - 3i, 4, 5 - 3i)T
], 3 = 2 - 3i,
3 = [(3 + 3i, 4, 5 + 3i)T
]
(j) 1 = 2, 1 = [(1, 1, 0, 0)T
, (1, 0, 1, 0)T
, (1, 0, 0, 1)T
], 2 = -2, 1 = [(1, -1, -1, -1)T
]
2. (a) R3
, (b)  = [(1, 0, 0)T
, (0, 0, 1)T
], (c)  = [(1, 0, 0)T
]
3. (a) 1 = 3, 2 = 2, 3 = 1, je diagonální na Q, R, C
(b) 1 = 1, 2 = 2 + 3i, 3 = 2 - 3i, je diagonální na C
(c) 1 = 0, 2 = 1, není diagonální
4. (a) 1 = 1, 1 = [(-1, 0, 1)T
, (1, 1, 0)T
] 2 = 3, 2 = [(-1, 1, 0)T
]
(b) 1 = 0, 1 = [(-2, 1, 0, 0)T
, (-3, 0, 0, 1)T
] 2 = 2, 2 = [(0, 0, 1, 0)T
, (1, -1, 0, 1)T
]
5. (a) 1 = -1,1 = [(1, 1, 1)T
],algebraická násobnost je 1, geometrická násobnost je 1
2 = 2, 2 = [(1, 0, 1)T
], algebraická násobnost je 2, geometrická násobnost je 1
(b) 1 = 2, 1 = [(1, 0, 2)T
], algebraická násobnost je 1, geometrická násobnost je 1
2 = 3, 2 = [(1, 1, 1)T
], algebraická násobnost je 2, geometrická násobnost je 1
(c) 1 = 0, 1 = [(1, 2, 3)T
], algebraická násobnost je 2, geometrická násobnost je 1
2 = 1, 2 = [(1, 1, 1)T
], algebraická násobnost je 1, geometrická násobnost je 1
(d) 1 = -1, 1 = [(2, 0, 0, 1)T
, (0, 1, 0, 0)T
], algebraická násobnost je 4, geometrická
násobnost je 2
(e) 1 = 2, 1 = [(2, 0, 0, 1)T
, (0, 1, 0, 0)T
], algebraická násobnost je 4, geometrická
násobnost je 2
6. (a) vlastní čísla nezávisí na parametrech: 1 = 5, 2 = 2, 3 = -2
vlastní vektory závisí na parametrech: 1 = [(1, 1, 1
3
(a + b))T
], 2 = [(0, 0, 1)T
],
3 = [(1, 4
3
, b
3
- a
4
)T
]
(b) vlastní čísla závisí na parametrech: 1 = 5, 2 = 2 + a, 3 = -2
7. Matice A =
a b
c d
je ortogonální, jestiže platí AAT
= E, z toho plyne a2
+b2
= 1,
c2
+ d2
= 1, ac + bd = 0. Matice A je pak tvaru
cos  - sin 
sin  cos 
nebo
cos  sin 
sin  - cos 
78 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
První matice reprezentuje otočení o úhel , druhá složení překlopení podle osy x
s otočením o úhel .
8. A0 =


1 0 0
0 1 0
0 0 -1

  = 1
3
(1, 1, 1)T
, 1
2
(1, 0, -1)T
, 1
6
(1, -2, 1)T
B0 =


1 0 0
0 0 1
0 -1 0

  = 1
2
(1, 1, 0)T
, (0, 0, 1)T
, 1
2
(1, -1, 0)T
C0 =


1 0 0
0 1
2
-

3
2
0

3
2
1
2

  = 1
3
(1, 1, 1)T
, 1
6
(2, -1, -1)T
, 1
2
(1, -1, 0)T
D0 =


1 0 0
0 1
2
-

3
2
0

3
2
1
2

  = 1
2
(1, 1, 0)T
, 1
2
(1, -1, 0)T
, (0, 0, 1)T
E0 =




1 0 0
0 2

2-1
4
-

7+4

2
4
0

7+4

2
4
2

2-1
4




F0 =




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 -1




 = [1
2
(1, 1, 1, -1)T
, 1
2
(1, 1, -1, 1)T
, 1
2
(1, -1, 1, 1)T
,
1
2
(-1, 1, 1, 1)T
]
G0 =




1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 0 1
0 0 -1 0




 = [ 1
2
(1, 1, 0, 0)T
, 1
2
(0, 0, 1, -1)T
,
1
2
(1, -1, 0, 0)T
, 1
2
(0, 0, 1, 1)T
]
H0 =


1 0 0
0 1
2

3
2
0 -

3
2
1
2

  = 1
3
(1, 1, 1)T
, 1
6
(2, -1, -1)T
, 1
2
(1, -1, 0)T
I0 =


1 0 0
0 0 -1
0 1 0

  = 1
3
(-1, 2, 2)T
, 1
3
(2, 2, -1)T
, 1
3
(-2, 1, -2)T
J0 =


1 0 0
0 2
7
-3

5
7
0 3

5
7
2
7

  = 1
3
(1, 1, 1)T
, 1
2
(1, -1, 0)T
, 1
7

2
(3, 5, -8)T
Výsledky cvičení 79
K0 =



1 0 0
0 1
12(-2+7

2)
- 1
12

42+28

2
0 1
12

42+28

2
1
12(-2+7

2)



L0 =


1 0 0
0 1
2

3
2
0 -

3
2
1
2

  = 1
2
(1, 1, 0)T
, 1
2
(1, -1, 0)T
, (0, 0, -1)T
9. A0 =


1 0 0
0 0 -1
0 1 0

  = 1
2
(0, 1, -1)T
, 1
2
(0, 1, 1)T
, (1, 0, 0)T
otočení o úhel 
2
v rovině kolmé ke směru (0, 1, -1)T
B0 =


1 0 0
0 0 -1
0 1 0

  = 1
2
(1, 1, 0)T
, 1
2
(-1, 1, 0)T
, (0, 0, 1)T
otočení o úhel 
2
v rovině kolmé ke směru (1, 1, 0)T
C0 =


1 0 0
0 3
5
-4
5
0 4
5
3
5

  = (0, 1, 0)T
, (1, 0, 0)T
, (0, 0, 1)T
otočení o úhel arccos 3
5
v rovině kolmé ke směru (0, 1, 0)T
10. A0 = 1
3
1 + i

2 0
0 1 - i

2
B0 =


1 0 0
0 i 0
0 0 -i


C0 = 1
2
1 + i

3 0
0 1 - i

3
D0 =
i 0
0 -i
11.


0 0 1
0 -1 0
1 0 0


12. 1
2


1 -1

2
-1 1

2
-

2 -

2 0


13.


1
2
0

3
2
0 1 0
3
2
0 -1
2


14. 1
2


1 1 -

2
1 1

2
2 -

2 0


80 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
15.







-1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0







16. Označme matici zobrazení G, matici prvního skalárního součinu A a druhého B,
přičemž
G =


1 1 1
-1 1 0
0 0 1

 .
Má-li být zobrazení ortogonální, musí zachovávat skalární součin, musí tedy pro
všechna u, v  R3
platit
u, v = (u), (v)
uT
 A  v = (G  u)T
 B  (G  v) = uT
 (GT
 B  G)  v
Volme např. matici druhého skalárního součinu jednotkovou a po patřičném vynásobení
dostáváme matici
A =


2 0 1
0 2 1
1 1 2


(Ověřte ještě axiomy skalárního součinu.)
6. SYMETRICKÉ MATICE A METRICKÁ KLASIFIKACE KUŽELOSEČEK
1. A1 =
5 0
0 0
B1 =


6 0 0
0 -3 0
0 0 -3

 C1 =


3 0 0
0 0 0
0 0 0


D1 =


2 0 0
0 2 0
0 0 8

 E1 =




8 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 F1 =




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3




2. A1 =
4 0
0 2
 = 1
2
, 1
2
T
, - 1
2
, 1
2
T
B1 =
3 0
0 10
 = - 2
7
,

3
7
T
,

3
7
, 2
7
T
C1 =
7 0
0 2
 = - 2
5
, 1
5
T
, 1
5
, 2
5
T
Výsledky cvičení 81
D1 =


25 0 0
0 -3 0
0 0 -50

  = -4
5
, 0, 3
5
T
, (0, 1, 0)T
, 3
5
, 0, 4
5
T
E1 =


2 0 0
0 0 0
0 0 0

  = 1
2
, 1
2
, 0
T
, 1
2
, - 1
2
, 0
T
, (0, 0, 1)T
F1 =


3 0 0
0 3 0
0 0 0

  = 1
3
, 1
3
, 1
3
T
, 1
6
, - 2
6
, 1
6
T
, 1
2
, 0, - 1
2
T
G1 =




4 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



  = (0, 0, 1, 0)T
, (0, 0, 0, 1)T 1
2
, 1
2
, 0, 0
T
, 1
2
, - 1
2
0, 0
T
H1 =




-25 0 0 0
0 25 0 0
0 0 -25 0
0 0 0 25



  = -4
5
, 3
5
, 0, 0
T
, 3
5
, 4
5
, 0, 0
T
0, 0, -4
5
, 3
5
T
, 0, 0, 3
5
, 4
5
T
3. (a) hyperbola, střed S = (3, -4)T
, osy e1 = 1
5
, 2
5
T
, e2 = - 2
5
, 1
5
T
kanonická rovnice: x2
9
- y2
36
= 1
(b) parabola, střed S = (0, -1)T
, osy e1 = 3
10
, - 1
10
T
, e2 = 1
10
, 3
10
T
kanonická rovnice: y2
+ 6
10
x = 0
(c) rovnoběžky, střed S = (1
2
, 1
2
)T
, osy e1 = 1
2
, 1
2
T
, e2 = - 1
2
, 1
2
T
kanonická rovnice: x2
= 2
4. (a) hyperbola, kanonická rovnice: x2
- y2
4
= 1
(b) elipsa, kanonická rovnice: x2
16
+ y2
9
= 1
(c) hyperbola, kanonická rovnice: x2
9
- y2
36
= 1
(d) různoběžky, kanonická rovnice: x2
- 4y2
= 0
(e) prázdná množina, kanonická rovnice: x2
+ 2y2
= -1
(f) bod, kanonická rovnice: 2x2
+ 3y2
= 0
(g) parabola, kanonická rovnice: y2
- 2x = 0
(h) rovnoběžky, kanonická rovnice: x2
= 1
(i) prázdná množina, kanonická rovnice: y2
= -1
5. (a) elipsa o poloosách délky a = 3, b = 1
82 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(b) elipsa o poloosách délky a = 3, b = 2
(c) hyperbola o poloosách délky a = 2, b = 1
(d) hyperbola o poloosách délky a = 5, b = 1
6. (a) parabola s parametrem p = 3
(b) parabola s parametrem p = 3
(c) parabola s parametrem p =

2
(d) parabola s parametrem p =

10
2
7. (a) hyperbola, délky poloos: a =

2, b =

2, střed: S = (0, 0)T
(b) elipsa, délky poloos: a = 4, b = 2, střed: S = (0, 0)T
(c) parabola, parametr: p = 1, vrchol: V =

6
4
,

6
4
T
(d) různoběžky, střed: S = (2, -3)T
(e) elipsa, délky poloos: a = 2, b =

2, střed: S = (0, 0)T
(f) elipsa, délky poloos: a = 2, b = 1, střed: S = (0, 0)T
(g) hyperbola, délky poloos: a = 1, b = 1, střed: S = (0, 0)T
8.  = 2
5
, 1
5
, 0
T
, -2

5
15
, 4

5
15
,

5
3
T
, 1
3
, -2
3
, 2
3
T
9.  = (0, 0, 1)T
, 1
5
, 2
5
, 0
T
, 2
5
, - 1
5
, 0
T
7. JORDANŮV KANONICKÝ TVAR
1. JA =


3 0 0
0 -1 1
0 0 -1

 JB =


1 0 0
0 2 + 3i 0
0 0 2 - 3i

 JC =


-2 0 0
0 1 0
0 0 1


JD =


-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1

 JE =


0 0 0
0 2 0
0 0 2

 JF =




0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0




2. Báze, ve které má matice lineárního operátoru Jordanův kanonický tvar, není dána
jednoznačně. Báze uvedená v řešení tohoto příkladu je tedy pouze příkladem takové
báze. JA =


2 1 0
0 2 0
0 0 2

  = (1, 4, 3)T
, (1, 0, 0)T
, (3, 0, 1)T
Výsledky cvičení 83
JB =


0 1 0
0 0 0
0 0 0

  = (1, -3, -2)T
, (1, 0, 0)T
, (1, 0, 1)T
JC =




1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1



  = (1, 1, 1, 1)T
, (-1, 0, 0, 0)T
, (1, 1, 0, 0)T
, (0, 0, -1, 0)T
JD =




2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1



  = (-1, -1, -1, 0)T
, (2, 1, 0, 0)T
, (1, 0, 0, -1)T
, (3, 6, 7, 1)T
3. JA =


3 1 0
0 3 1
0 0 3

 JB =


3 1 0
0 3 0
0 0 3

 JC =


1 1 0
0 1 0
0 0 -1


4. JA =




-1 1 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 1
0 0 0 -1



 JB =




2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2



 JC =




-1 1 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 1
0 0 0 -1




JD =




2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2



 JE =




1 0 0 0
0 -2 0 0
0 0 -2 1
0 0 0 -2



 JF =




2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2




JG =




-1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2



 JH =




1 0 0 0
0 -2 0 0
0 0 -2 1
0 0 0 -2



 JI =




-1 1 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 1
0 0 0 -1




JJ =




2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2



 JK =




-1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2



 JL =




1 0 0 0
0 -2 0 0
0 0 -2 1
0 0 0 -2




JM =




2 1 0 0
0 2 1 0
0 0 2 0
0 0 0 -1



 JN =




1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 JO =




1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1




5. Nebereme-li v úvahu pořadí Jordanových buněk, je Jordanových kanonických tvarů
celkem 7. (1 buňka - 5x5, 2 buňky - 1x1 a 4x4, nebo 2x2 a 3x3, 3 buňky - 1x1, 1x1 a
3x3, nebo 1x1,2x2 a 2x2, 4 buňky - 1x1, 1x1, 1x1, 2x2, 5 buněk)
84 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
6. Nebereme-li v úvahu pořadí Jordanových buněk, je Jordanových kanonických tvarů
celkem 21.