Demonstrované cvičení - Matematika II
Petr Hasil
hasil@math.muni.cz
Podzimní semestr 2008
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 13
Integrální počet
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.1
Použitím základních vzorců určete primitivní funkce k následujícím
funkcím:
(i)
f(x) = x2
(5 - x)3
,
(ii)
g(x) =
x + 1

x
,
(iii)
h(x) = (2x
+ 3x
)2
,
(iv)
k(x) = 1 + sin x + cos x.
Řešení
(i) -1
6 x6 +3x5 - 75
4 x4 + 125
3 x3 +c,
(ii) 2
3 x

x + 2

x + c,
(iii) 4x
ln 4 + 2 6x
ln 6 + 9x
ln 9 + c,
(iv) x - cos x + sin x + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.1
Použitím základních vzorců určete primitivní funkce k následujícím
funkcím:
(i)
f(x) = x2
(5 - x)3
,
(ii)
g(x) =
x + 1

x
,
(iii)
h(x) = (2x
+ 3x
)2
,
(iv)
k(x) = 1 + sin x + cos x.
Řešení
(i) -1
6 x6 +3x5 - 75
4 x4 + 125
3 x3 +c,
(ii) 2
3 x

x + 2

x + c,
(iii) 4x
ln 4 + 2 6x
ln 6 + 9x
ln 9 + c,
(iv) x - cos x + sin x + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.2
Integrujte per-partes:
(i)
x sin x dx,
(ii)
x2
ex
dx.
Řešení
(i) sin x - x cos x + c,
(ii) ex (x2 - 2x + 2) + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.2
Integrujte per-partes:
(i)
x sin x dx,
(ii)
x2
ex
dx.
Řešení
(i) sin x - x cos x + c,
(ii) ex (x2 - 2x + 2) + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.3
Integrujte per-partes:
(i)
arctg x dx,
(ii)
ln x
x
dx.
Řešení
(i) x arctg x - ln(1+x2)
2 + c,
(ii) ln2
x
2 + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.3
Integrujte per-partes:
(i)
arctg x dx,
(ii)
ln x
x
dx.
Řešení
(i) x arctg x - ln(1+x2)
2 + c,
(ii) ln2
x
2 + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.4
Integrujte užitím substituční metody:
(i)
(2x + 5)10
dx,
(ii)
ln x
x
dx,
(iii)
sin

x dx.
Řešení
(i)
(2x + 5)11
22
+ c, (ii)
ln2
x
2
+ c, (iii)2 sin

x - 2

x cos

x + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.4
Integrujte užitím substituční metody:
(i)
(2x + 5)10
dx,
(ii)
ln x
x
dx,
(iii)
sin

x dx.
Řešení
(i)
(2x + 5)11
22
+ c, (ii)
ln2
x
2
+ c, (iii)2 sin

x - 2

x cos

x + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.5
Integrujte užitím substituční metody:
(i)
1
x ln2
x
dx,
(ii)
arctg

x

x(1 + x)
dx.
Řešení
(i)
-1
ln x
+ c, (ii)(arctg

x)2
+ c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.5
Integrujte užitím substituční metody:
(i)
1
x ln2
x
dx,
(ii)
arctg

x

x(1 + x)
dx.
Řešení
(i)
-1
ln x
+ c, (ii)(arctg

x)2
+ c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.6
Integrujte:
(i)
xn
ln x dx, n = -1,
(ii)
x
1 + x4
dx.
Řešení
(i)[pp]
xn+1
n + 1
ln x -
xn+1
(n + 1)2
+ c, (ii)[subst]
arctg x2
2
+ c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.6
Integrujte:
(i)
xn
ln x dx, n = -1,
(ii)
x
1 + x4
dx.
Řešení
(i)[pp]
xn+1
n + 1
ln x -
xn+1
(n + 1)2
+ c, (ii)[subst]
arctg x2
2
+ c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.7
Integrujte:
(i)
cos5
x

sin x dx.
(ii)
x e-x
dx,
Řešení
(i)[subst] sin3/2
x(
2
3
-
4
7
sin2
x+
2
11
sin4
x)+c, (ii)[pp]-e-x
(x+1)+c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.7
Integrujte:
(i)
cos5
x

sin x dx.
(ii)
x e-x
dx,
Řešení
(i)[subst] sin3/2
x(
2
3
-
4
7
sin2
x+
2
11
sin4
x)+c, (ii)[pp]-e-x
(x+1)+c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.8
Integrujte racionální lomené funkce:
(i)
3
x - 2
dx,
(ii)
3
(x - 2)3
dx,
(iii)
3x + 5
x2 + 4x + 8
dx,
(iv)
3x + 5
(x2 + 4x + 8)3
dx.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 13
Integrální počet Demo 7
Řešení
(i)
3 ln |x - 2| + c,
(ii)
-3
2(x - 2)2
+ c,
(iii)
3
2
ln(x2
+ 4x + 8) -
1
2
arctg
x + 2
2
+ c,
(iv)
-3
4(x2 + 4x + 8)2
-
1
32
t
4(1 + t2)2
+
3t
8(1 + t2)
+
3
8
arctg t + c,
kde
t =
x + 2
2
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.9
Integrujte racionální lomené funkce:
(i)
1
x2 - 1
dx,
(ii)
1
x3 - 1
dx.
Řešení
(i)
-1
2
ln |x + 1| +
1
2
ln |x - 1| + c,
(ii)
ln |x - 1|
3
ln(x2
+ x + 1)
6
-

3
3
arctg
2x + 1

3
+ c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.9
Integrujte racionální lomené funkce:
(i)
1
x2 - 1
dx,
(ii)
1
x3 - 1
dx.
Řešení
(i)
-1
2
ln |x + 1| +
1
2
ln |x - 1| + c,
(ii)
ln |x - 1|
3
ln(x2
+ x + 1)
6
-

3
3
arctg
2x + 1

3
+ c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.10
Najděte primitivní funkci k funkci
f(x) =
5 ln x
x(ln3
x + ln2
x - 2)
.
Řešení
ln | ln x - 1| -
1
2
ln(ln2
x + 2 ln x + 2) + 3 arctg(ln x + 1) + c,
x  (0, e)  (e, ).
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 13
Integrální počet Demo 7
Příklad 7.10
Najděte primitivní funkci k funkci
f(x) =
5 ln x
x(ln3
x + ln2
x - 2)
.
Řešení
ln | ln x - 1| -
1
2
ln(ln2
x + 2 ln x + 2) + 3 arctg(ln x + 1) + c,
x  (0, e)  (e, ).
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 13