Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Matematika II ­ 10. přednáška Nekonečné řady Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 19. 11. 2008 Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Obsah přednášky 1 Nekonečné řady Řady absolutně a relativně konvergentní 2 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka ­ Nekonečné řady s programem Maple, CD, e-text a videozáznamy, http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Plán přednášky 1 Nekonečné řady Řady absolutně a relativně konvergentní 2 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Řady absolutně a relativně konvergentní Nejprve si všimněme, že pokud konverguje řada absolutních hodnot, potom konverguje původní řada. Věta Jestliže konverguje řada n=0 |an|, potom konverguje také řada n=0 an. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Řady absolutně a relativně konvergentní Nejprve si všimněme, že pokud konverguje řada absolutních hodnot, potom konverguje původní řada. Věta Jestliže konverguje řada n=0 |an|, potom konverguje také řada n=0 an. Důkaz. Zřejmě pro každé n platí nerovnosti -|an| an |an|, 0 an + |an| 2 |an|. Tedy pokud n=0 |an| konverguje, konverguje také řada n=0 2 |an| (podle pravidla konstantního násobku). A dále, podle srovnávacího kritéria, konverguje také řada n=0 an + |an| . A protože platí rovnost an = an + |an| - |an|, máme n=0 an = n=0 an + |an| - n=0 |an|, odkud dostáváme řadu n=0 an jako rozdíl dvou konvergentních řad. Tedy tato řada také konverguje podle pravidla rozdílu. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Opačná implikace ve větě zřejmě neplatí, protože např. alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje ale příslušná řada absolutních hodnot je harmonická řada n=1 1 n , která diverguje k , Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Opačná implikace ve větě zřejmě neplatí, protože např. alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje ale příslušná řada absolutních hodnot je harmonická řada n=1 1 n , která diverguje k , Definice Řada n=0 an konverguje absolutně (je absolutně konvergentní), pokud konverguje příslušná řada absolutních hodnot, tj. pokud konverguje řada n=0 |an|. Jestliže nekonečná řada n=0 an konverguje, ale nekonverguje absolutně, potom říkáme, že tato řada konverguje relativně (je relativně konvergentní). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. 2 Nekonečná řada n=1 (-1)n-1 1 n2 konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot n=1 1 n2 konverguje. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. 2 Nekonečná řada n=1 (-1)n-1 1 n2 konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot n=1 1 n2 konverguje. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. 2 Nekonečná řada n=1 (-1)n-1 1 n2 konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot n=1 1 n2 konverguje. Rozdíl mezi absolutně a relativně konvergentní řadou je zejména v tom, že členy absolutně konvergentní řady můžeme libovolně přeskládávat a nejenže dostaneme opět konvergentní řadu, ale tato nová přeskládaná řada bude mít stejný součet jako řada původní. Naproti tomu členy relativně konvergentní řady nelze přeskládávat vůbec. Lze totiž jednoduše ukázat, že různým přeskládáním téže relativně konvergentní řady lze vytvořit řadu divergující k , konvergující k libovolně předem zvolenému reálnému číslu, či řadu oscilující. To vyplývá z toho, že v relativně konvergentní řadě musí být součet všech kladných členů a součet všech záporných členů -, a při tom musí členy samotné konvergovat k nule. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Uveďme jako příklad relativně konvergentní alternující harmonickou řadu n=1 (-1)n-1 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + 1 7 - 1 8 + . . . . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Uveďme jako příklad relativně konvergentní alternující harmonickou řadu n=1 (-1)n-1 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + 1 7 - 1 8 + . . . . Nejprve si všimněte, že součet všech kladných členů je nekonečná řada n=1 1 2n - 1 = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + = , která skutečně diverguje k (např. podle integrálního kritéria). Dále součet všech záporných členů je nekonečná řada n=1 - 1 2n = - 1 2 - 1 4 - 1 6 - 1 8 - = -, která skutečně diverguje k -. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad (pokr.) Potom vhodným přeskládáním členů alternující harmonické řady lze získat nekonečnou řadu, která: 1 diverguje k : Vezměme nejprve jeden kladný člen, tj. součet je roven 1 1. Přidejme nyní jeden záporný člen a tolik kladných členů, aby byl součet 2, tj. součet je pak 1 - 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + + 1 41 2.004063454 2. (K tomu je zapotřebí k té 1 přidat 20 kladných členů.) Potom přidejme další (druhý) záporný člen a tolik kladných členů, až je součet 3. Potom přidejme další (třetí) záporný člen a tolik kladných členů, až je součet 4. . . . 2 diverguje k -: obdobně. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad (dokončení) 1 konverguje k předem zvolenému reálnému číslu: Zvolme si nejprve nějaké číslo s R, ke kterému má přerovnaná řada konvergovat. Nejprve vezměme tolik kladný členů, až je jejich součet s. Přidejme nyní tolik záporných členů, až je výsledný součet s. Přidejme nyní tolik dalších kladných členů, až je výsledný součet s, . . . Uvědomme si, že kladných či záporných členů je vždy dostatek, abychom překročili stanovenou hranici s, protože součet kladných členů je a součet záporných členů je -. A protože přidáváme stále se (v absolutní hodnotě) zmenšující se členy, výsledný součet po takových krocích přeskakuje zvolenou hodnotu s a současně se k číslu s nekonečně blíží. Současně tímto způsobem vyčerpáme všechny členy původní řady. Tedy takto přerovnaná řada konverguje právě k číslu s. 2 osciluje mezi zvolenými a, b R, a < b : podobně jako výše. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Součin řad Příklad V tomto příkladu si ukážeme, že i když obě řady n=1 an a n=1 bn konvergují, potom řada n=1 (an . bn) konvergovat nemusí. Uvažujme nekonečné řady, kde an = bn := (-1)n-1 1 n . Potom jsou příslušné nekonečné řady konvergentní, což plyne z Leibnitzova kritéria, zatímco řada součinů n=1 (an . bn) = n=1 (-1)n-1 1 n 2 = n=1 1 n diverguje k . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Na druhou stranu může nastat i situace, že takováto řada součinů n=1 (an . cn) konverguje, přestože jedna z řad n=1 an nekonverguje. Vezměme si např. řadu n=1 cn = n=1 1 n , která diverguje k , zatímco řada součinů n=1 (an . cn) = n=1 (-1)n-1 1 n 1 n = n=1 (-1)n-1 1 n konverguje Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Plán přednášky 1 Nekonečné řady Řady absolutně a relativně konvergentní 2 Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f (x). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f (x). Přirozené dotazy jsou: Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité v nějakém bodě x0 [a, b], je spojitá i funkce f (x) v bodě x0? Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f (x). Přirozené dotazy jsou: Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité v nějakém bodě x0 [a, b], je spojitá i funkce f (x) v bodě x0? Jsou-li všechny funkce fn(x) diferencovatelné v a [a, b], je v něm diferencovatelná i funkce S(x) a platí vztah f (x) = n=1 fn(x)? Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí V matematice hrají důležitou roli řady, jejichž členy jsou funkce fn(x). V takovém případě hovoříme o řadách funkcí, jejichž součtem je funkce f (x). Přirozené dotazy jsou: Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité v nějakém bodě x0 [a, b], je spojitá i funkce f (x) v bodě x0? Jsou-li všechny funkce fn(x) diferencovatelné v a [a, b], je v něm diferencovatelná i funkce S(x) a platí vztah f (x) = n=1 fn(x)? Jsou-li všechny funkce fn(x) integrovatelné na intervalu [a, b], je integrovatelná i funkce f (x) a platí vztah f (x)dx = n=1 fn(x)dx? Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Ukážeme si na příkladech, že odpovědi na všechny tři takto kladené otázky jsou NE!. Později uvedeme jednoduché dodatečné podmínky na konvergenci řady, které naopak platnosti všech tří tvrzení zajistí. Řady funkcí tedy obecně moc zvladatelné nejsou, nicméně si umíme vybrat velikou třídu takových, se kterými se už pracuje velmi dobře. Mezi ně budou patřit mocninné řady. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Ukážeme si na příkladech, že odpovědi na všechny tři takto kladené otázky jsou NE!. Později uvedeme jednoduché dodatečné podmínky na konvergenci řady, které naopak platnosti všech tří tvrzení zajistí. Řady funkcí tedy obecně moc zvladatelné nejsou, nicméně si umíme vybrat velikou třídu takových, se kterými se už pracuje velmi dobře. Mezi ně budou patřit mocninné řady. Příklad Uvažme funkce fn(x) = (sin x)n na intervalu [0, ]. Hodnoty těchto funkcí budou ve všech bodech 0 x nezáporné a menší než jedna, kromě x = 2 , kde je hodnota 1. Proto lim n fn(x) = 0 pro všechna x = 2 1 pro x = 2 . Zjevně tedy je limita posloupnosti funkcí fn nespojitou funkcí. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad ((ne)spojitost řady funkcí) Tentýž jev umíme najít i pro řady funkcí, protože součet je limitou částečných součtů. Stačí tedy v předchozím příkladě vyjádřit fn jako n-tý částečný součet. Např. f1(x) = sin x, f2(x) = (sin x)2 - sin x, atd. Obrázek vykresluje funkce fn3 (x) pro n = 1, . . . , 10. x 32,5 0,2 1 0,5 0,4 1 20 0,6 1,5 0,8 0 Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad ((ne)diferencovatelnost řady funkcí) Obrázek vykresluje fn(x) = x(1 - x2)n na intervalu [-1, 1] pro hodnoty n = m2, m = 1, . . . , 10. Na první pohled je zjevné, že limn fn(x) = 0, všechny funkce fn(x) jsou hladké, ale v bodě x = 0 je jejich derivace fn(0) = (1 - x2)n - 2nx2(1 - x2)n-1|x=0 = 1 nezávisle na n. Limitní funkce pro posloupnost fn přitom má samozřejmě všude derivaci nulovou! -0,5 0,4 0,2 x 1 -0,4 -0,2 0 0-1 0,5 Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad ((ne)integrovatelnost řady funkcí) Protipříklad k třetímu tvrzení jsme už viděli. Charakteristickou funkci Q racionálních čísel můžeme vyjádřit jakou součet spočetně mnoha funkcí, které budou očíslovány právě racionálními čísly a budou vždy všude nulové, kromě množiny bodů, podle které jsou pojmenovány, kde jsou rovny 1. Riemannovy integrály všech takových funkcí budou nulové, jejich součet ale není Riemannovsky inegrovatelnou funkcí. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Stejnoměrná konvergence Důvodem neúspěchu ve všech příkladech byla různá rychlost bodové konvergence v jednotlivých x R. Zmíněnou dodatečnou podmínkou pak bude silnější pojem konvergence. Definice Říkáme, že posloupnost funkcí fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] k limitě f (x), jestliže pro každé kladné (malé) číslo existuje (velké) přirozené číslo N N takové, že pro všechna n N a všechna x [a, b] platí |fn(x) - f (x)| < . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Stejnoměrná konvergence Důvodem neúspěchu ve všech příkladech byla různá rychlost bodové konvergence v jednotlivých x R. Zmíněnou dodatečnou podmínkou pak bude silnější pojem konvergence. Definice Říkáme, že posloupnost funkcí fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] k limitě f (x), jestliže pro každé kladné (malé) číslo existuje (velké) přirozené číslo N N takové, že pro všechna n N a všechna x [a, b] platí |fn(x) - f (x)| < . Řada funkcí konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. Graficky si definici můžeme představit tak, že do pásu vzniklého posunutím limitní funkce f (x) na f (x) pro libovolně malé, ale pevně zvolené kladné , vždy padnou skoro všechny funkce f (x). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). Věta Nechť fn(x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f (x). Pak je také f (x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). Věta Nechť fn(x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f (x). Pak je také f (x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Důkaz. Chceme ukázat, že pro libovolný pevný bod x0 [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé > 0 bude |f (x) - f (x0)| < pro všechna x dostatečně blízká k x0. Z definice stejnoměrné spojitosti je pro naše > 0 |fn(x) - f (x)| < pro všechna x [a, b] a všechna dostatečně velká n. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). Věta Nechť fn(x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f (x). Pak je také f (x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Důkaz. Chceme ukázat, že pro libovolný pevný bod x0 [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé > 0 bude |f (x) - f (x0)| < pro všechna x dostatečně blízká k x0. Z definice stejnoměrné spojitosti je pro naše > 0 |fn(x) - f (x)| < pro všechna x [a, b] a všechna dostatečně velká n. Zvolme si tedy nějaké takové n a uvažme > 0 tak, aby |fn(x) - fn(x0)| < pro všechna x z -okolí x0 (to je možné, protože všechny fn(x) jsou spojité). Pak |f (x)-f (x0)| < |f (x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(x0)|+|fn(x0)-f (x0)| < 3 Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Věta (R-integrovatelnost limity stejnoměrně konvergentních funkcí) Nechť fn(x) je posloupnost Riemannovsky integrovatelných funkcí na konečném intervalu [a, b], které stejnoměrně konvergují k funkci f (x). Pak také f (x) je integrovatelná a platí lim n b a fn(x) dx = b a ( lim n fn(x)) dx = b a f (x) dx. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Věta (R-integrovatelnost limity stejnoměrně konvergentních funkcí) Nechť fn(x) je posloupnost Riemannovsky integrovatelných funkcí na konečném intervalu [a, b], které stejnoměrně konvergují k funkci f (x). Pak také f (x) je integrovatelná a platí lim n b a fn(x) dx = b a ( lim n fn(x)) dx = b a f (x) dx. Pro příslušný výsledek o derivacích je třeba zvýšené pozornosti ohledně předpokladů: Věta (diferencovatelnost limity stejnoměrně konvergentních funkcí) Nechť fn(x) je posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f (x). Dále nechť jsou všechny derivace gn(x) = fn(x) spojité a nechť konvergují na témže intervalu stejnoměrně k funkci g(x). Pak je také funkce f (x) diferencovatelná na intervalu [a, b] a platí zde f (x) = g(x). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Test pro stejnoměrnou konvergenci Nejjednodušším způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Předpokládejme, že máme řadu funkcí fn(x) na intervalu I = [a, b] a že navíc známe odhad |fn(x)| an R pro vhodné nezáporné konstanty an a všechna x [a, b]. Pokud je řada konstant n=1 an konvergentní, pak bude řada funkcí n=1 fn(x) konvergentní stejnoměrně Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Test pro stejnoměrnou konvergenci Nejjednodušším způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Předpokládejme, že máme řadu funkcí fn(x) na intervalu I = [a, b] a že navíc známe odhad |fn(x)| an R pro vhodné nezáporné konstanty an a všechna x [a, b]. Pokud je řada konstant n=1 an konvergentní, pak bude řada funkcí n=1 fn(x) konvergentní stejnoměrně Příklad Rozhodněte, je-li řada n=1 sin nx n2 stejnoměrně konvergentní na R. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady V části věnované diferenciálnímu počtu jsme ukázali, jak k dané funkci f (x) přiřadit Taylorův polynom stupně n (se středem v daném bodě x0), který aproximuje funkci f (x) v okolí bodu x0. Definice Mocninná řada se středem v bodě x0 = 0 je nekonečná řada tvaru n=0 an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . Podobně, nekonečná řada tvaru n=0 an (x - x0)n = a0 +a1 (x -x0)+a2 (x -x0)2 +a3 (x -x0)3 +. . . se nazývá mocninná řada se středem v bodě x0. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady V části věnované diferenciálnímu počtu jsme ukázali, jak k dané funkci f (x) přiřadit Taylorův polynom stupně n (se středem v daném bodě x0), který aproximuje funkci f (x) v okolí bodu x0. Definice Mocninná řada se středem v bodě x0 = 0 je nekonečná řada tvaru n=0 an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . Podobně, nekonečná řada tvaru n=0 an (x - x0)n = a0 +a1 (x -x0)+a2 (x -x0)2 +a3 (x -x0)3 +. . . se nazývá mocninná řada se středem v bodě x0. Bod x0 se nazývá střed mocninné řady a čísla ak její koeficienty. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad (geometrická řada) Pokud vezmeme všechny koeficienty an = 1 a x0 = 0, dostaneme mocninnou řadu n=0 xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . . Tato řada je geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem q = x a a konverguje pro |x| < 1, přičemž její součet je 1 1-x . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad (geometrická řada) Pokud vezmeme všechny koeficienty an = 1 a x0 = 0, dostaneme mocninnou řadu n=0 xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . . Tato řada je geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem q = x a a konverguje pro |x| < 1, přičemž její součet je 1 1-x . Příklad Mocninná řada s an = (-1)n 2n a středem x0 = 2, která je také geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem q = -x-2 2 . Ta podle tvrzení o konvergenci geometrické řady tato řada konverguje pro x-2 2 < 1, tj. pro x (0, 4), přičemž její součet je n=0 (-1)n 2n (x - 2)n = 1 1 - - x-2 2 = 1 2+x-2 2 = 2 x pro x (0, 4). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Při studiu konvergence mocninných řad budeme používat kritéria konvergence číselných řad s nezápornými členy, která aplikujeme na příslušnou řadu absolutních hodnot. Zřejmě takto získáme informaci o absolutní konvergenci dané mocninné řady. Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada n=1 (-1)n-1 xn n = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + x5 5 - . . . . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Při studiu konvergence mocninných řad budeme používat kritéria konvergence číselných řad s nezápornými členy, která aplikujeme na příslušnou řadu absolutních hodnot. Zřejmě takto získáme informaci o absolutní konvergenci dané mocninné řady. Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada n=1 (-1)n-1 xn n = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + x5 5 - . . . . Řešení Podle podílového kritéria je un+1 un = 1 n+1 xn+1 1 n xn = n n + 1 |x| |x| pro n . A tedy pro |x| < 1 tato řada konverguje (absolutně) a pro |x| > 1 nekonverguje (zřejmě pro x < -1 diverguje k - a pro x > 1 osciluje). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Při studiu konvergence mocninných řad budeme používat kritéria konvergence číselných řad s nezápornými členy, která aplikujeme na příslušnou řadu absolutních hodnot. Zřejmě takto získáme informaci o absolutní konvergenci dané mocninné řady. Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada n=1 (-1)n-1 xn n = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + x5 5 - . . . . Řešení Podle podílového kritéria je un+1 un = 1 n+1 xn+1 1 n xn = n n + 1 |x| |x| pro n . A tedy pro |x| < 1 tato řada konverguje (absolutně) a pro |x| > 1 nekonverguje (zřejmě pro x < -1 diverguje k - a pro x > 1 osciluje). Pro x = -1 se jedná o zápornou harmonickou řadu která diverguje k -. A pro x = 1 se jedná o alternující harmonickou Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada n=0 xn n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + x5 120 + . . . . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada n=0 xn n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + x5 120 + . . . . Řešení Podle podílového kritéria je un+1 un = 1 (n+1)! xn+1 1 n! xn = n! (n + 1)! |x| = 1 n + 1 |x| 0pro n . A tedy tato řada konverguje (absolutně) a pro každé x R. Zřejmě jste již odhadli, že součet této mocninné řady je funkce ex . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Každá mocninná řada konverguje ve svém středu, protože pro x = x0 se jedná o nulovou řadu. Dále ze srovnávacího kritéria plyne následující. Věta Uvažujme mocninnou řadu n=0 an (x - x0)n = a0 +a1 (x -x0)+a2 (x -x0)2 +a3 (x -x0)3 +. . . . 1 Jestliže tato mocninná řada konverguje pro nějaké x = c, potom konverguje absolutně pro všechna |x| < |c|. Z Weiestrassova kritéria pak plyne dokonce stejnoměrná konvergence na každém uzavřeném intervalu [a, b] (-c, c). 2 Jestliže tato řada nekonverguje (tj. diverguje k nebo osciluje) pro nějaké x = d, potom nekonverguje pro všechna |x| > |d|. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Poloměr konvergence Pro každou mocninnou řadu tedy nastává právě jedna z následujících možností: Existuje číslo R > 0 takové, že tato mocninná řada konverguje absolutně pro |x - x0| < R, tj. pro x (x0 - R, x0 + R) a nekonverguje pro |x - x0| > R, tj. pro x < x0 - R a pro x > x0 + R. Řada může a nemusí konvergovat v každém z krajních bodů x = x0 - R a x = x0 + R. Tato mocninná řada konverguje absolutně pro všechna x R (v tomto případě klademe R := ). Tato mocninná řada konverguje pouze pro x = x0 a nekonverguje pro všechna x = 0 (v tomto případě R := 0). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Poloměr konvergence Pro každou mocninnou řadu tedy nastává právě jedna z následujících možností: Existuje číslo R > 0 takové, že tato mocninná řada konverguje absolutně pro |x - x0| < R, tj. pro x (x0 - R, x0 + R) a nekonverguje pro |x - x0| > R, tj. pro x < x0 - R a pro x > x0 + R. Řada může a nemusí konvergovat v každém z krajních bodů x = x0 - R a x = x0 + R. Tato mocninná řada konverguje absolutně pro všechna x R (v tomto případě klademe R := ). Tato mocninná řada konverguje pouze pro x = x0 a nekonverguje pro všechna x = 0 (v tomto případě R := 0). Číslo R mající výše popsané vlastnosti nazýváme poloměr konvergence mocninné řady. Pokud je R > 0 (tj. pokud nastane první nebo druhá z výše uvedených možností), potom hovoříme o intervalu konvergence. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Pro mocninné řady n=0 xn, n=0 (-1)n xn je poloměr konvergence R = 1. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Pro mocninné řady n=0 xn, n=0 (-1)n xn je poloměr konvergence R = 1. Pro mocninnou řadu n=0 xn n! je poloměr konvergence R = . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Pro mocninné řady n=0 xn, n=0 (-1)n xn je poloměr konvergence R = 1. Pro mocninnou řadu n=0 xn n! je poloměr konvergence R = . Pro mocninnou řadu n=0 n! xn je poloměr konvergence R = 0. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Pro poloměr konvergence R mocninné řady platí následující. Věta Pokud existuje limita (vlastní nebo nevlastní) lim n n |an| = a, případně lim n an+1 an = a, potom poloměr konvergence mocninné řady je R = 1 a , pro a > 0, , pro a = 0, 0, pro a = . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Důkaz. Vztah pro poloměr konvergence R plyne z podílového kritéria resp. z odmocninového kritéria. Pokud totiž existuje příslušná limita z věty, potom je n |un| = n |an (x - x0)n| = n |an| . n |x - x0|n = n |an| . |x - x0| a . |x - x0| pro n Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Důkaz. Vztah pro poloměr konvergence R plyne z podílového kritéria resp. z odmocninového kritéria. Pokud totiž existuje příslušná limita z věty, potom je n |un| = n |an (x - x0)n| = n |an| . n |x - x0|n = n |an| . |x - x0| a . |x - x0| pro n Tedy mocninná řada konverguje (absolutně), pokud je a . |x - x0| < 1, a nekonverguje, pokud je a . |x - x0| > 1. Pro a . |x - x0| = 1 konvergovat může i nemusí. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Důkaz. Vztah pro poloměr konvergence R plyne z podílového kritéria resp. z odmocninového kritéria. Pokud totiž existuje příslušná limita z věty, potom je n |un| = n |an (x - x0)n| = n |an| . n |x - x0|n = n |an| . |x - x0| a . |x - x0| pro n Tedy mocninná řada konverguje (absolutně), pokud je a . |x - x0| < 1, a nekonverguje, pokud je a . |x - x0| > 1. Pro a . |x - x0| = 1 konvergovat může i nemusí. To znamená, že pokud je a > 0, řada konverguje pro |x - x0| < 1 a a nekonverguje pro |x - x0| > 1 a , neboli R = 1 a . Pokud je a = 0, je a . |x - x0| = 0 < 1 pro všechna x R, a tedy řada konverguje pro všechna x R, neboli R = . A pokud je a = , je a . |x - x0| = > 1 pro všechna x = x0, neboli řada nekonveguje pro všechna x = x0, neboli R = 0. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Předpoklad existence limity ve větě je příliš silný. Lze ukázat, že stačí místo limity použít limitu superior (která existuje vždy), tj. lim sup n n |an| = a, případně lim sup n an+1 an = a. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Předpoklad existence limity ve větě je příliš silný. Lze ukázat, že stačí místo limity použít limitu superior (která existuje vždy), tj. lim sup n n |an| = a, případně lim sup n an+1 an = a. Může nastat situace, že limn n |an| = a existuje, zatímco limn an+1 an neexistuje (opačně nikoliv!). Je tedy vidět, že stačí vždy počítat poloměr konvergence pomocí vzorečku s limn n |an| = a (pokud tedy tato limita existuje jako vlastní nebo jako nevlastní). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Vlastnosti mocninných řad Mocninné řady (jakožto polynomy nekonečného stupně) sdílejí s polynomy všechny důležité vlastnosti. Zejména, ze stejnoměrné konvergence mocninné řady na libovolném uzavřeném podintervalu intervalu konvergence plnye, že: - součet mocninné řady je spojitá funkce, Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Vlastnosti mocninných řad Mocninné řady (jakožto polynomy nekonečného stupně) sdílejí s polynomy všechny důležité vlastnosti. Zejména, ze stejnoměrné konvergence mocninné řady na libovolném uzavřeném podintervalu intervalu konvergence plnye, že: - součet mocninné řady je spojitá funkce, - mocninnou řadu můžeme derivovat člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence, Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Vlastnosti mocninných řad Mocninné řady (jakožto polynomy nekonečného stupně) sdílejí s polynomy všechny důležité vlastnosti. Zejména, ze stejnoměrné konvergence mocninné řady na libovolném uzavřeném podintervalu intervalu konvergence plnye, že: - součet mocninné řady je spojitá funkce, - mocninnou řadu můžeme derivovat člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence, - mocninnou řadu můžeme integrovat (neurčitým i určitým integrálem) člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady n=1 n xn = x + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + . . . . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady n=1 n xn = x + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + . . . . Řešení an+1 an = n + 1 n 1 = a, R = 1 a = 1. Tedy řada konverguje pro x (-1, 1) a zřejmě nekonverguje v krajních bodech tohoto intervalu. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady n=1 n xn = x + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + . . . . Řešení an+1 an = n + 1 n 1 = a, R = 1 a = 1. Tedy řada konverguje pro x (-1, 1) a zřejmě nekonverguje v krajních bodech tohoto intervalu. Protože je n xn-1 = (xn) , součet této řady určíme z věty o derivaci mocninné řady n=1 n xn = x . n=1 n xn-1 = x . n=1 (xn ) = x . n=1 xn = x . x 1 - x = x . 1 (1 - x)2 = x (1 - x)2 . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete součet mocninné řady n=1 (-1)n-1 1 n xn = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + x5 5 - . . . a tedy pro x = 1 také součet alternující harmonické řady. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete součet mocninné řady n=1 (-1)n-1 1 n xn = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + x5 5 - . . . a tedy pro x = 1 také součet alternující harmonické řady. Řešení Tato mocninná řada konverguje pro x (-1, 1]. Protože je xn+1 n+1 = xn dx, součet této řady určíme z věty o integraci mocninné řady. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Určete součet mocninné řady n=1 (-1)n-1 1 n xn = x - x2 2 + x3 3 - x4 4 + x5 5 - . . . a tedy pro x = 1 také součet alternující harmonické řady. Řešení Tato mocninná řada konverguje pro x (-1, 1]. Protože je xn+1 n+1 = xn dx, součet této řady určíme z věty o integraci mocninné řady. n=1 (-1)n-1 1 n xn = n=0 (-1)n xn+1 n + 1 = n=0 (-1)n xn dx = = n=0 (-x)n dx = 1 1 + x dx = ln(1 + x) + C, pro x (-1, 1). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Pokud se v Taylorově polynomu budou brát členy se stále vyššími derivacemi (až do nekonečna), dostaneme Taylorovu řadu příslušnou k dané funkci f (x). Definice (Taylorova a Maclaurinova řada) Nechť f (x) je funkce, která má na nějakém intervalu (obsahujícím bod x0 jakožto vnitřní bod) derivace všech řádů. Taylorova řada se středem v bodě x0 příslušná k funkci f (x) je mocninná řada n=0 f (n)(x0) n! (x - x0)n = f (x0) + f (x0) (x - x0) + f (x0) 2 (x - x0)2 + f (x0) 3! (x - x0)3 + Tzn. Taylorova řada je mocninná řada se středem v bodě x0 a koeficienty an = f (n)(x0) n! . Pokud je x0 = 0, potom se Taylorova řada nazývá Maclaurinovou řadou příslušnou k funkci f (x). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Protože má funkce f (x) = sin x derivace všech řádů a hodnoty funkce sin x a jejích derivací v bodě x0 = 0 jsou postupně 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, atd., Maclaurinova řada pro funkci sin x je tvaru n=0 (-1)n (2n + 1)! x2n+1 = x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + . . . . Její poloměr konvergence je R = . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Protože má funkce f (x) = sin x derivace všech řádů a hodnoty funkce sin x a jejích derivací v bodě x0 = 0 jsou postupně 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, atd., Maclaurinova řada pro funkci sin x je tvaru n=0 (-1)n (2n + 1)! x2n+1 = x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + . . . . Její poloměr konvergence je R = . Protože má funkce f (x) = ex derivace všech řádů a hodnoty funkce ex a jejích derivací v bodě x0 = 0 jsou všechny rovny 1, Maclaurinova řada pro funkci ex je tvaru n=0 1 n! xn = 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + 1 4! x4 + 1 5! x5 + . . . . Její poloměr konvergence je R = . Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Příklad Funkce f (x) := e- 1 x2 , pro x = 0, 0, pro x = 0, je spojitá a má derivace všech řádů na celém R. V bodě x0 = 0 toto lze ukázat pomocí výpočtu jednostranných derivací f-(0) a f+(0), f-(0) a f+(0). Zejména jsou všechny tyto derivace v bodě x0 = 0 rovny 0. Tedy příslušná Maclaurinova řada je tvaru n=0 f (n)(0) n! xn = 0 + 0 . x + 0 2 x2 + 0 3! x3 + = 0. Tedy jedná se o nulovou řadu, která samozřejmě konverguje pro všechna x R k nulové funkci s(x) 0, která není rovna původní funkci f (x). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Otázku, kdy Taylorova (Maclaurinova) řada funkce f (x) konverguje k funkci f (x), zodpovídá následující tvrzení, které je bezprostředním důsledkem obdobné věty o Taylorově polynomu. Věta (o konvergenci Taylorovy řady) 1 Taylorova řada funkce f (x) konverguje na svém konvergenčním intervalu I k funkci f (x), tj. platí rovnost f (x) = n=0 f (n)(x0) n! (x - x0)n pro všechna x I, pro posloupnost Taylorových zbytků Rn(x) n=0 platí limn Rn(x) = 0 pro všechna x I. Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Otázku, kdy Taylorova (Maclaurinova) řada funkce f (x) konverguje k funkci f (x), zodpovídá následující tvrzení, které je bezprostředním důsledkem obdobné věty o Taylorově polynomu. Věta (o konvergenci Taylorovy řady) 1 Taylorova řada funkce f (x) konverguje na svém konvergenčním intervalu I k funkci f (x), tj. platí rovnost f (x) = n=0 f (n)(x0) n! (x - x0)n pro všechna x I, pro posloupnost Taylorových zbytků Rn(x) n=0 platí limn Rn(x) = 0 pro všechna x I. 2 Zejména, pokud jsou všechny derivace f (n)(x) stejně ohraničené na intervalu I, potom Taylorova řada konverguje k f (x). Nekonečné řady Posloupnosti a řady funkcí Maclaurinovy řady elementárních funkcí sin x = n=0 (-1)n (2n + 1)! x2n+1 pro x R. cos x = n=0 (-1)n (2n)! x2n pro x R. ex = n=0 1 n! xn pro x R. ln(1 + x) = n=1 (-1)n n xn pro x (-1, 1]. 1 1 - x = n=0 xn pro x (-1, 1). 1 1 + x = (-1)n xn pro x (-1, 1).