Primitivní funkce Základní integrační metody Matematika II ­ 8. přednáška Primitivní funkce, neurčitý integrál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 5. 11. 2008 Primitivní funkce Základní integrační metody Obsah přednášky 1 Primitivní funkce 2 Základní integrační metody Metoda per partes Substituční metody Integrování racionálních lomených funkcí Primitivní funkce Základní integrační metody Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Primitivní funkce Základní integrační metody Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Primitivní funkce Základní integrační metody Plán přednášky 1 Primitivní funkce 2 Základní integrační metody Metoda per partes Substituční metody Integrování racionálních lomených funkcí Primitivní funkce Základní integrační metody Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F (x) = f (x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = x0 < x1 < < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xi výrazy f (x) F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi dostáváme součtem F(b)-F(a) = n-1 i=0 F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi (xi+1-xi ) n-1 i=0 f (xi )(xi+1-xi ). Primitivní funkce Základní integrační metody Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F (x) = f (x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = x0 < x1 < < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xi výrazy f (x) F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi dostáváme součtem F(b)-F(a) = n-1 i=0 F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi (xi+1-xi ) n-1 i=0 f (xi )(xi+1-xi ). Funkci F nazýváme antiderivace nebo primitivní funkce k funkci f , množinu všech takových funkcí nazveme neurčítým integrálem funkce f . Primitivní funkce Základní integrační metody Antiderivace reálné funkce f (x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f , souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). Primitivní funkce Základní integrační metody Antiderivace reálné funkce f (x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f , souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). Dá se tedy očekávat, že takovou plochu skutečně spočteme jako rozdíl hodnot antiderivace v krajních bodech intervalu. Tomuto postupu se také říká Newtonův integrál. Píšeme b a f (x)dx = [F(x)]b a = F(b) - F(a). Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka V dalším skutečně ukážeme, že lze rozumně definovat pojem plocha v rovině tak, aby ji bylo možné počítat právě uvedeným způsobem. Newtonův integrál má ale jednu podstatnou vadu -- jeho vyčíslení vyžaduje znalost antiderivace. Tu obecně není snadné spočíst i když ukážeme, že ke všem spojitým funkcím f existuje. Proto budeme napřed diskutovat jinou definici integrálu. Primitivní funkce Základní integrační metody Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F (x) = G (x) = f (x), pak z předchozího víme, že se zbytkem v bodě a dává F(x) - G(x) = konst. na celém intervalu. Primitivní funkce Základní integrační metody Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F (x) = G (x) = f (x), pak z předchozího víme, že se zbytkem v bodě a dává F(x) - G(x) = konst. na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru F(t) = f (x)dx + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F (x) = G (x) = f (x), pak z předchozího víme, že se zbytkem v bodě a dává F(x) - G(x) = konst. na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru F(t) = f (x)dx + C. Příklad Protože mají funkce F(x) = arctg x a G(x) = - arccotg x stejnou derivaci f (x) = 1 1+x2 , musí se tyto funkce lišit o konstantu. Konstantu C můžeme určit např. z hodnot těchto funkcí v bodě x = 0, arctg 0 = 0, arccotg 0 = 2 , C = 2 , neboli platí arctg x + arccotg x = 2 , x R. Primitivní funkce Základní integrační metody Definice Nechť f (x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu I. Funkce F(x) je primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pokud F (x) = f (x) pro všechna x I. Primitivní funkce Základní integrační metody Definice Nechť f (x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu I. Funkce F(x) je primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pokud F (x) = f (x) pro všechna x I. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce xn+1 n+1 je primitivní k funkci xn na R. Primitivní funkce Základní integrační metody Definice Nechť f (x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu I. Funkce F(x) je primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pokud F (x) = f (x) pro všechna x I. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce xn+1 n+1 je primitivní k funkci xn na R. (b) Funkce ln x je primitivní k funkci 1 x na (-, 0) a na (0, ). Primitivní funkce Základní integrační metody Definice Nechť f (x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu I. Funkce F(x) je primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pokud F (x) = f (x) pro všechna x I. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce xn+1 n+1 je primitivní k funkci xn na R. (b) Funkce ln x je primitivní k funkci 1 x na (-, 0) a na (0, ). (c) Funkce arctg x je primitivní k funkci 1 1+x2 na R. Primitivní funkce Základní integrační metody Definice Nechť f (x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu I. Funkce F(x) je primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pokud F (x) = f (x) pro všechna x I. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce xn+1 n+1 je primitivní k funkci xn na R. (b) Funkce ln x je primitivní k funkci 1 x na (-, 0) a na (0, ). (c) Funkce arctg x je primitivní k funkci 1 1+x2 na R. (d) Funkce arcsin x je primitivní k funkci 1 1-x2 na (-1, 1). Primitivní funkce Základní integrační metody Definice Nechť f (x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu I. Funkce F(x) je primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pokud F (x) = f (x) pro všechna x I. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce xn+1 n+1 je primitivní k funkci xn na R. (b) Funkce ln x je primitivní k funkci 1 x na (-, 0) a na (0, ). (c) Funkce arctg x je primitivní k funkci 1 1+x2 na R. (d) Funkce arcsin x je primitivní k funkci 1 1-x2 na (-1, 1). (e) Funkce C (konstantní funkce) je primitivní k funkci 0 na R. Primitivní funkce Základní integrační metody Existence primitivní funkce Kdy k dané funkci f (x) existuje primitivní funkce F(x)? Ne vždy! Primitivní funkce Základní integrační metody Existence primitivní funkce Kdy k dané funkci f (x) existuje primitivní funkce F(x)? Ne vždy! Věta Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu I, potom k ní existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Důkaz. Později. Primitivní funkce Základní integrační metody Existence primitivní funkce Kdy k dané funkci f (x) existuje primitivní funkce F(x)? Ne vždy! Věta Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu I, potom k ní existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Důkaz. Později. Poznámka Věta udává pouze postačující podmínku pro existenci primitivní funkce, spojitost není podmínkou nutnou! Např. funkce f (x) = 2x sin 1 x - cos 1 x , pro x = 0, f (0) = 0 není spojitá v bodě x = 0, přitom snadno spočítáme, že funkce F(x) = x2 sin 1 x , pro x = 0, a F(0) = 0 je k f (x) primitivní. Primitivní funkce Základní integrační metody Tabulkové integrály eax dx = 1 a eax +C a x dx = a ln x + C a cos bx dx = a b sin bx + C a sin bx dx = - a b cos bx + C a cos bx sinn bx dx = a b(n + 1) sinn+1 bx + C a sin bx cosn bx dx = - a b(n + 1) cosn+1 bx + C a tg bx dx = - a b ln(cos bx) + C Primitivní funkce Základní integrační metody a a2 + x2 dx = arctg x a + C f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + C Poznámka V posledním vzorci si všimněte, že na pravé straně je v logaritmu absolutní hodnota, neboť pro x > 0 je (ln x) = 1 x a pro x < 0 je [ln(-x)] = 1 -x (-1) = 1 x . Primitivní funkce Základní integrační metody Plán přednášky 1 Primitivní funkce 2 Základní integrační metody Metoda per partes Substituční metody Integrování racionálních lomených funkcí Primitivní funkce Základní integrační metody Věta (i) Pravidlo konstantního násobku: c . f (x) dx = c f (x) dx. Neboli, je-li F(x) primitivní k f (x), potom je c . F(x) primitivní k c . f (x). Primitivní funkce Základní integrační metody Věta (i) Pravidlo konstantního násobku: c . f (x) dx = c f (x) dx. Neboli, je-li F(x) primitivní k f (x), potom je c . F(x) primitivní k c . f (x). (ii) Pravidlo součtu a rozdílu: f (x) g(x) dx = f (x) dx g(x) dx. Neboli, je-li F(x) primitivní k f (x) a je-li G(x) primitivní k g(x), potom je F(x) G(x) primitivní k f (x) g(x). Primitivní funkce Základní integrační metody Metoda per partes Metoda pro integraci per partes (= po částech) je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu. Toto integrační pravidlo umožňuje integrovat součiny funkcí, přičemž integrál z daného součinu se vhodně převede na integrál z jednoduššího součinu. Věta Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na intervalu I. Potom platí u (x) . v(x) dx = u(x) . v(x) - u(x) . v (x) dx. Primitivní funkce Základní integrační metody Metoda per partes Metoda pro integraci per partes (= po částech) je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu. Toto integrační pravidlo umožňuje integrovat součiny funkcí, přičemž integrál z daného součinu se vhodně převede na integrál z jednoduššího součinu. Věta Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na intervalu I. Potom platí u (x) . v(x) dx = u(x) . v(x) - u(x) . v (x) dx. Důkaz. Tato metoda je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu: [u v] = u v + u v , [u v] = (u v + u v ) u v = u v + u v . Primitivní funkce Základní integrační metody Příslušné výpočty pro metodu per partes se často ve výpočtu zapisují mezi dvě svislé čary. Příklad x cos x dx = u = cos x u = sin x v = x v = 1 = x sin x - sin x dx = = x sin x - (- cos x) + C = x sin x + cos x + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Příslušné výpočty pro metodu per partes se často ve výpočtu zapisují mezi dvě svislé čary. Příklad x cos x dx = u = cos x u = sin x v = x v = 1 = x sin x - sin x dx = = x sin x - (- cos x) + C = x sin x + cos x + C. Příklad x ln x dx = u = x u = x2 2 v = ln x v = 1 x = x2 2 ln x - x2 2 1 x dx = = x2 2 ln x - x 2 dx = x2 2 ln x - x2 4 + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Metoda per partes občas vyžaduje i použití některých (i když dnes už dostatečně profláknutých) triků: Příklad ln x dx = 1 . ln x dx = u = 1 u = x v = ln x v = 1 x = = x ln x - x 1 x dx = x ln x - 1 dx = x ln x - x + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad ex sin x dx označme jako I = u = ex u = ex v = sin x v = cos x = = ex sin x - ex cos x dx = u = ex u = ex v = cos x v = - sin x = ex sin x - ex cos x - ex (- sin x) dx = = ex sin x - ex cos x - ex sin x dx = I , pro neznámý integrál I tedy dostáváme rovnici I = ex (sin x - cos x) - I, odkud snadno dopočteme I = 1 2 ex (sin x - cos x). Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu xn eax dx, xn cos(ax) dx, xn sin(ax) dx, xn arctg(ax) dx, xn arccotg(ax) dx, xa lnn x dx. Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu xn eax dx, xn cos(ax) dx, xn sin(ax) dx, xn arctg(ax) dx, xn arccotg(ax) dx, xa lnn x dx. Metoda per-partes vede někdy na rovnici pro neznámý integrál, např. eax cos(bx) dx, eax sin(bx) dx. Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu xn eax dx, xn cos(ax) dx, xn sin(ax) dx, xn arctg(ax) dx, xn arccotg(ax) dx, xa lnn x dx. Metoda per-partes vede někdy na rovnici pro neznámý integrál, např. eax cos(bx) dx, eax sin(bx) dx. Metoda per-partes vede někdy na rekurentní formuli pro neznámý integrál (viz následující příklad). Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad Určete Kn(x) := 1 (x2 + 1)n dx. Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad Určete Kn(x) := 1 (x2 + 1)n dx. Řešení Kn(x) = u = 1 u = x v = (x2 + 1)-n v = -n(x2 + 1)-n-1 . 2x = x (x2 + 1)-n - x . (-n) (x2 + 1)-n-1 . 2x dx = x (x2 + 1)n + 2n x2 + 1 - 1 (x2 + 1)n+1 dx = x (x2 + 1)n + 2n 1 (x2 + 1)n - 1 (x2 + 1)n+1 dx = x (x2 + 1)n + 2n [Kn(x) - Kn+1(x)]. Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad (Dokončení) Z rovnice snadno dopočteme Kn+1(x) = 1 2n x (x2+1)n + 2n-1 2n Kn(x), odkud je pak možné iterativně počítat hodnoty Kn, např. volbou n = 1 vypočítáme integrál K2(x): 1 (x2 + 1)2 dx = 1 2 x x2 + 1 + 1 2 K1(x) = 1 2 x x2 + 1 + 1 2 arctg x + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Substituční metoda Další dvě metody (obě jsou nazývány substituční) jsou založeny na pravidle pro derivování složené funkce. Primitivní funkce Základní integrační metody Substituční metoda Další dvě metody (obě jsou nazývány substituční) jsou založeny na pravidle pro derivování složené funkce. Věta (Substituce pro neurčitý integrál) Nechť je funkce f (t) definovaná na intervalu I a nechť (x) je definovaná na intervalu J a (J) I. Je-li funkce F(t) primitivní k funkci f (t) na intervalu I, potom je funkce (F )(x) primitivní k funkci [(f )(x)] . (x) na intervalu J, tj. f (x) . (x) dx = f (t) dt = F(t) = F (x) . Neboli v daném integrálu volíme substituci t = (x) . Primitivní funkce Základní integrační metody Substituční metoda Další dvě metody (obě jsou nazývány substituční) jsou založeny na pravidle pro derivování složené funkce. Věta (Substituce pro neurčitý integrál) Nechť je funkce f (t) definovaná na intervalu I a nechť (x) je definovaná na intervalu J a (J) I. Je-li funkce F(t) primitivní k funkci f (t) na intervalu I, potom je funkce (F )(x) primitivní k funkci [(f )(x)] . (x) na intervalu J, tj. f (x) . (x) dx = f (t) dt = F(t) = F (x) . Neboli v daném integrálu volíme substituci t = (x) . Důkaz. [F (x) ] = F (x) . (x) = f (x) . (x). Primitivní funkce Základní integrační metody Substituční metodu budeme opět zapisovat do našeho výpočtu mezi dvě svislé čáry. Příklad 2x (x2 + 1)2 dx = t = x2 + 1 dt = 2x dx = 1 t2 dt = t-2 dt = = t-1 -1 = - 1 t + C = - 1 x2 + 1 + C Primitivní funkce Základní integrační metody Substituční metodu budeme opět zapisovat do našeho výpočtu mezi dvě svislé čáry. Příklad 2x (x2 + 1)2 dx = t = x2 + 1 dt = 2x dx = 1 t2 dt = t-2 dt = = t-1 -1 = - 1 t + C = - 1 x2 + 1 + C Příklad x2 cos x3 dx = t = x3 dt = 3x2 dx = 1 3 cos t dt = = 1 3 sin t + C = 1 3 sin x3 + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Substituce podruhé Věta (Substituce pro neurčitý integrál) Nechť je funkce f (x) definovaná na intervalu I a nechť (t) má nenulovou derivaci na intervalu J a (J) = I. Je-li funkce F(t) primitivní k funkci [(f )(t)] . (t) na intervalu J, potom je funkce (F -1)(x) primitivní k funkci f (x) na intervalu I, tj. f (x) dx = f (t) . (t) dt = = F(t) = F -1 (x) . Neboli v daném integrálu volíme substituci x = (t) , tj. t = -1(x) (inverzní funkce). Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka Všimněme si, že ve vzorcích pro integraci pomocí substituce v obou případech vystupuje diferenciál funkce: t = (x) dt = (x) dx. x = (t) dx = (t) dt. Rozdíl mezi oběma metodami je v tom, že v prvním případě je nová proměnná funkcí původní proměnné, ve druhém případě je tomu naopak. Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad 1 - x2 dx = x = sin t dx = (cos t) dt = 1 - sin2 t = cos t . cos t dt dx = = cos2 t dt = 1 + cos(2t) 2 dt = = 1 2 + 1 2 cos(2t) dt = = t 2 + 1 2 sin(2t) 2 + C = t 2 + 1 2 (sin t) (cos t) + C = = t 2 + 1 2 (sin t) 1 - sin2 t + C = t = arcsin x = = 1 2 arcsin x + 1 2 x 1 - x2 + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Racionální lomené funkce Je-li R(x) = P(x) Q(x) = polynom polynom racionální lomená funkce, provedeme nejprve dělení, abychom dostali ryze lomenou funkci. Příklad x3 + x2 x2 + 1 = x + 1 umíme integrovat x + 1 x2 + 1 Primitivní funkce Základní integrační metody Racionální lomené funkce Je-li R(x) = P(x) Q(x) = polynom polynom racionální lomená funkce, provedeme nejprve dělení, abychom dostali ryze lomenou funkci. Příklad x3 + x2 x2 + 1 = x + 1 umíme integrovat x + 1 x2 + 1 Dále ryze racionální lomenou funkci rozložíme na parciální zlomky, které mají jeden z následujících tvarů. Primitivní funkce Základní integrační metody Parciální zlomky Pro reálný jednoduchý kořen x0: A x - x0 , A x - x0 dx = A ln |x - x0|. Primitivní funkce Základní integrační metody Parciální zlomky Pro reálný jednoduchý kořen x0: A x - x0 , A x - x0 dx = A ln |x - x0|. Pro reálný vícenásobný kořen x0 (n 2): A (x - x0)n , B (x - x0)n-1 , . . . , C x - x0 pro k 2: A (x - x0)-k dx = A (x - x0)-k+1 -k + 1 = A (1 - k) (x - x0)k-1 . Primitivní funkce Základní integrační metody další typ parciálních zlomků Pro dvojici jednoduchých komplexně sdružených kořenů i: Bx + C (x - )2 + 2 , Bx + C (x - )2 + 2 dx Výraz ve jmenovateli upravíme vytýkáním na tvar t2 + 1, kde t = x- . Výsledný integrál je po této substituci tvaru Dt + E t2 + 1 dt = D t t2 + 1 dt + E 1 t2 + 1 dt = = D 2 ln(t2 + 1) + E arctg t. Primitivní funkce Základní integrační metody poslední typ parciálních zlomků Pro dvojici vícenásobných komplexně sdružených kořenů i (n 2): Bx + C [(x - )2 + 2]n , Dx + E [(x - )2 + 2]n-1 , . . . , Fx + G (x - )2 + 2 pro k = 2, . . . , n: Bx + C [(x - )2 + 2]k dx Výraz ve jmenovateli upravíme vytýkáním na tvar (t2 + 1)k, kde t = x- . Výsledný integrál je po této substituci tvaru Ht + J (t2 + 1)k dt = H t (t2 + 1)k dt + J 1 (t2 + 1)k dt, přičemž první z uvedených integrálů vypočteme substitucí s = t2 + 1 (potom ds = 2t dt) a druhý z uvedených integrálů je integrál Kn(x) z dříve řešeného příkladu (přesněji v tomto případě Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad Vypočtěte x3 + 6x2 + 5 (x + 1)2 (x2 + 4) dx. Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad Vypočtěte x3 + 6x2 + 5 (x + 1)2 (x2 + 4) dx. Řešení Rozkladem na parciální zlomky zjistíme x3 + 6x2 + 5 (x + 1)2 (x2 + 4) = A (x + 1)2 + B x + 1 + Cx + D x2 + 4 . Primitivní funkce Základní integrační metody Příklad Vypočtěte x3 + 6x2 + 5 (x + 1)2 (x2 + 4) dx. Řešení Rozkladem na parciální zlomky zjistíme x3 + 6x2 + 5 (x + 1)2 (x2 + 4) = A (x + 1)2 + B x + 1 + Cx + D x2 + 4 . Odsud plyne, že A = 2, B = -1, C = 2, D = 1 a tedy je x3 + 6x2 + 5 (x + 1)2 (x2 + 4) dx = 2 (x + 1)2 - 1 x + 1 + 2x + 1 x2 + 4 dx = -2 x + 1 - ln |x + 1| + 2x x2 + 4 dx + 1 x2 + 4 dx = -2 - ln |x + 1| + ln(x2 + 4) + 1 arctg x + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka Mnoho dalších typů integrálů vede přes vhodné substituce na integrály z racionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech prof. Slováka. Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka Mnoho dalších typů integrálů vede přes vhodné substituce na integrály z racionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech prof. Slováka. Někdy ani nelze daný integrál vůbec spočítat (tj. vyjádřit pomocí elementárních funkcí), např. sin x x dx, cos x x dx, x ln x dx, sin(x2 ) dx, cos(x2 ) dx, ex x dx, ex2 dx. Z věty o existenci primitivní funkce ale víme, že k uvedeným funkcím existuje primitivní funkce, protože tyto funkce jsou spojité. Tyto primitivní funkce se pak nazývají vyšší funkce (jsou nevyjádřitelné pomocí elementárních funkcí). Primitivní funkce Základní integrační metody Poznámka Mnoho dalších typů integrálů vede přes vhodné substituce na integrály z racionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech prof. Slováka. Někdy ani nelze daný integrál vůbec spočítat (tj. vyjádřit pomocí elementárních funkcí), např. sin x x dx, cos x x dx, x ln x dx, sin(x2 ) dx, cos(x2 ) dx, ex x dx, ex2 dx. Z věty o existenci primitivní funkce ale víme, že k uvedeným funkcím existuje primitivní funkce, protože tyto funkce jsou spojité. Tyto primitivní funkce se pak nazývají vyšší funkce (jsou nevyjádřitelné pomocí elementárních funkcí). Pozor ale na ln x x dx = 1 2 ln2 x + C, (není to vyšší funkce)!