Čtvrtá demonstrovaná cvičení k MB103
Úlohy z domácí sady druhého týdne
Příklad 1. Ukažte, že funkce
f(x, y) = x3
- 12xy + 48x - by2
dvou reálných proměnných, závisící na parametru b, má dva, jeden,
resp. žádný stacionární bod podle toho, zda je |b| menší,
rovna nebo větší než 3. Rozhodněte o typu příslušných extrémů
(pokud existují) pro b = 0 a b = 3.
Příklad 2. Teplota jednotlivých bodů na jednotkové sféře v R3
je dána vzorcem
T(x, y, z) = 1 + xy + yz.
Určete nejteplejší místo na sféře.
Příklad 3. Zobrazení F : R2
 R je dáno vztahem F(x, y) =
xy sin(
2 xy). Ukažte, že existuje funkce f : U  R definovaná na
okolí čísla 1  R taková, že F(x, f(x)) = 1 pro všechna x  U a
f(1) = 1. Spočtěte derivaci f (1) (aniž byste vyjadřovali explicitně
funkci f). Existuje taková funkce také s předepsanou hodnotou
f(1) = 0?
1
2
Nové úlohy
Úloha 1. Kvádr se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými
rovinami má všechny vrcholy na povrchu elipsoidu
x2
+ 3y2
+ 3z2
= 1.
Označte (x, y, z) vrchol v kvadrantu s kladnými hodnotami souřadnic
a najděte takovou hodnotu jeho souřadnic, pro kterou bude
povrch kvádru maximální.
[Vyjde povrch 4]
Objem prostorového útvaru U je dán integrálem charakteristické
funkce (jednička pro body U, nula jinak).
Objem prostorového útvaru mezi rovinou souřadných os xy a
grafem nezáporné funkce z = f(x, y) nad oblastí M v rovině je
dán integrálem
V =
M
f(x, y)dx dy.
Úloha 2. Spočtěte objem elipsoidu x2
/a2
+ y2
/b2
+ z2
/c2
= 1.
[4/3abc]
Úloha 3. Sklenička na whisku je vysoustružena z ledu jako prostor
mezi paraboloidem z = x2
+y2
a válcem x2
-y2
-1 = 0. V jakém
poměru bude smísena whiska s vodou, jestliže plnou takovouto
skleničku whisky necháme roztát ve větší jinak prázdné nádobě?
[půl na půl]
Povrch plochy dané grafem funkce jako výše je dán
S =
M
1 + (fx)2 + (fy)2dx dy
Úloha 4. Spočtěte plochu povrchu objektu daného z = 1 -
(x2
+ y2
)3/2
a z  0.
Jednotlivé souřadnice těžiště objektu M se počítají intgrálem
M
xdx dy dz a po řadě totéž s y a z.