MB101\ 13 — III. zápočtová písemka
skupina A
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu! Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. Vypočtěte determinant matice A:
A =
(-2	1	1	-1	o\
2	0	0	1	1
-1	0	-1	1	-1
1	0	1	0	1
\-2	1	2	1	2 /
(7 bodů) 2. Je dána matice X:
X =
Vypočtěte matici X* (tj. matici adjungovanou k matici X) a pomocí ní pak spočítejte matici X-1. (6 bodů)
3. Uvažme lineární zobrazení /: E4 —► E3 dané předpisem f(x\,X2, X3, x4) = (2x\ + X3 + 2^4, 4x\ — X2 + X3 — X4, —2x\ + X2 + X3 — X4).
a)  Napište matici zobrazení / ve standardních bazích a pomocí ní nalezněte nějakou bázi podprostorů Ker/ a Im/. (4 body)
b)  V prostoru E4 mějme bázi a = [(1, 0, 0, 0), (1, 0,1, 0), (1,1, 0, 0), (1, 0, 0,1)], v prostoru E3 pak bázi ß = [(1, 0, —1), (0, —1,1), (1,1, —1)]. Nalezněte (f)ßa - matici zobrazení / v bazích a a ß. Pomocí ní vypočtěte souřadnice vektoru f{u) v bázi ß, jestliže souřadnice vektoru u v bázi a jsou (1, —2,1, 2)T. (5 bodů)
c)  V prostoru E4 dále uvažme bázi
7 =[(0,2,1,0), (1,1,0,0), (-1,1,0,0), (0,0,0,1)].
Nalezněte matici (iď)ai - matici přechodu od báze 7 k bázi a. (Kde a je báze popsaná výše.) (3 body)
MB101\ 13 — III. zápočtová písemka
skupina B
Na vypracování písemky máte 50 minut. Vždy si pořádně přečtěte zadání příkladu! Svůj postup řádně komentujte. Neopisujte!
1. Vypočtěte determinant matice B:
		(-2	1	1	-1	o\
		2	0	0	1	1
	B =	-1	0	-1	1	-1
		-1	0	-1	0	-1
		V"2	1	2	1	2/
(7 bodů)						
2. Je dána matice Y:						
Y =
Vypočtěte matici Y* (tj. matici adjungovanou k matici Y) a pomocí ní pak spočítejte matici Y~x. (6 bodů)
3. Uvažme lineární zobrazení /: E4 —► E3 dané předpisem f(x\,X2, X3, x4) = (2x\ + X3 + 2^4, 4x\ — X2 + X3 — X4, —2x\ + X2 + X3 — X4).
a)  Napište matici zobrazení / ve standardních bazích a pomocí ní nalezněte nějakou bázi podprostorů Ker/ a Im/. (4 body)
b)  V prostoru E4 mějme bázi a = [(1, 0, 0, 0), (1, 0,1, 0), (1,1, 0, 0), (1, 0, 0,1)], v prostoru E3 pak bázi ß = [(1, 0, —1), (0, —1,1), (1,1, —1)]. Nalezněte (f)ßa - matici zobrazení / v bazích a a ß. Pomocí ní vypočtěte souřadnice vektoru f{u) v bázi ß, jestliže souřadnice vektoru u v bázi a jsou (1, —2,1, 2)T. (5 bodů)
c)  V prostoru E4 dále uvažme bázi
7 =[(0,2,1,0), (1,1,0,0), (-1,1,0,0), (0,0,0,1)].
Nalezněte matici (iď)ai - matici přechodu od báze 7 k bázi a. (Kde a je báze popsaná výše.) (3 body)