Čtvrtá zápočtová písemka z MB 101, verze A
Vojtěch Kubáň, 14.12.2009
1.   Určete ortogonální doplněk X1- k podprostoru Icl5
X = Span< (2,1,0,1,0),(-1,0,1,2,0) > .
2.   Najděte ortonormální bázi podprostoru
W = Span< (0,1,1,1), (1, ,-1,0,1), (1,2,1,0) >cR4.
3.   Najděte projekci vektoru s = (0,0,5,0) na podprostor
W = Span< (0,1,1,1), (1,, -1,0,1), (1,2,1,0) >cR4. Všimněte si, že je to stejný podporostor jako v přechozím příkladu.
4.   Určete vlastní čísla, prostory vlastních vektorů příslušných vlastním číslům, algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel matice A
/l      0    1
A= I   -1    2    1 \   1    —1   2
Je možné tuto matici diagonalizovat a proč?
5.  V okresu žije konstantně celkem 100 000 lidí. V okrese jsou města a vesnice. Každý rok se přestěhuje 15% z města na venkov a 5% z venkova do města. Jak se ustálí počty obyvatelstva ve městě a na vesnici po dostatečně dlouhé době? Uvažujte, že ve městě žije na začátku Mq a na vesnici Vo obyvatel a jejich součet je 100 000.
1
Čtvrtá zápočtová písemka z MB 101, verze B
Vojtěch Kubáň, 14.12.2009
1.   Určete ortogonální doplněk Y1- k podprostoru ľcl5
Y = Span< (0,1,1,0,1),(-1,0,2,-1,0),(1,1,-1,1,0) > .
2.   Najděte ortonormální bázi podprostoru
V = Span < (1,0,1, -1), (0,0,1,1), (1, 2,1, 0) >C M4.
3.   Najděte projekci vektoru r = (0,5,0,0) na podprostor
V = Span < (1,0,1, -1), (0,0,1,1), (1, 2,1, 0) >C M4. Všimněte si, že je to stejný podporostor jako v přechozím příkladu.
4.   Určete vlastní čísla, prostory vlastních vektorů příslušných vlastním číslům, algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel matice A
/ 2   2  0 \
ß=      122.
Je možné tuto matici diagonalizovat a proč?
5.  V okresu žije konstantně celkem 200 000 lidí. V okrese jsou města a vesnice. Každý rok se přestěhuje 10% z města na venkov a 10% z venkova do města. Jak se ustálí počty obyvatelstva ve městě a na vesnici po dostatečně dlouhé době? Uvažujte, že ve městě žije na začátku Mq a na vesnici Vo obyvatel a jejich součet je 200 000.
2