EUKLIDOVSKÝ PROSTOR
Euklidovský prostor je vektorový prostor Rn spolu se skalárním součinem
(uv = vu). (Poskytuje možnost zistit více informací, napr. vzájemná poloha
podprostoru, délky, vzdálenosti, úhly.)
Délka (norma) vektoru
u :=

u  u = u2
1 + . . . + u2
n
Úhel dvou vektoru
cos  = uv
u  v
(Na délku a úhel jsme už příklady počítali dříve)
Vektory u, v jsou navzájem kolmé (ortogonální), značíme uv, když jejich
vektorový součin je 0 (nastane pokud cos  = 0 tj. svírají pravý úhel).
Příklad 1 Uvědomte si, že nulový vektor je kolmý na libovolný vektor.
Příklad 2 Rozhodněte, zda vektory (1, -1, 2) (-1, 1, 1) jsou na sebe kolmé.
Řešení: u  v = -1 - 1 + 2 = 0 tyhle vektory jsou na sebe kolmé
Příklad 3 Ukažte, že vektory standardní báze e = (e1, . . . , en) jsou navzájem
kolmé, tj. eiej pro libovolný i = j.
Řešení: ei  ej = 0 + . . . + 0 + 0  1 + 0 + . . . + 0 + 0  1 + 0 + . . . + 0 = 0
Ortogonální podprostory
Dva podprostory X, Y jsou navzájem kolmé (ortogonální) pokud
u  X, v  Y : uv tj. u  v = 0
Příklad 4 Uvědomte si, že stejně jako jsou na sebe kolmé vektory standardní
báze, jsou na sebe kolmé i vektorové podprostory generované jednotlivými
vektory, a taky podprostory generované ruznými vektory standardní
báze (Span e1, e2 a Span e3 v R3).
Příklad 5 Jsou následující podprostory R4 kolmé?
U = Span (1, 2, 3, 0)T , (1, -1, 0, 0)T V = Span (2, 2, -2, 5)T
Řešení: Stačí ukázat, že jsou na sebe kolmé vektory báze, teda
(1, 2, 3, 0)  (2, 2, -2, 5) = 2 + 4 - 6 + 0 = 0
(1, -1, 0, 0)  (2, 2, -2, 5) = 2 - 2 + 0 + 0 = 0
1
Podprostory jsou na sebe kolmé.
Ortogonální doplněk
X podprostor Euklidovského prostoru Rn, potom se množina
X = {u  Rn, uv pro všechny v  X}
nazývá ortogonální doplněk podprostoru X v Rn (opět podprostor).
Toto by měli vědet z přednášky ale je dobré to mít sebou:
* triviální podprostory {0}, Rn tvoří navzájem ortogonální doplňky
* prunik na sebe kolmých podprostoru je nulový vektor
* dimX + dimX = n
* (X) = X
* Rn = X  X (přímý součet = libovolný prvek Rn se dá vyjádřit jako
součet dvou prvku ­ jeden z X, druhý z X)
Příklad 6 Opět uvědomte si, že ortogonální doplněk lineárního obalu
některých vektoru standardní báze je lineární obal zvyšných vektoru z této
báze.
Příklad 7 Určete ortogonální doplněk X = Span (1, -1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1),
(1, 1, 0, -1, 1) v R5
Řešení: Ortogonální doplněk je množina všech vektoru kolmých na všechny
vektory zadaného podprostoru. Je zřejmé, že stačí najít množinu všech vektoru
kolmých na vektory báze.
x  X  x  v1 = 0; x  v2 = 0; x  v3 = 0
x1 - x2 + x3 = 0
x1 + x3 + x5 = 0
x1 + x2 - x4 + x5 = 0


1 -1 1 0 0 | 0
1 0 1 0 1 | 0
1 1 0 -1 1 | 0

  . . . 


1 -1 1 0 0 | 0
0 1 0 0 1 | 0
0 0 1 1 1 | 0


Vychází nám tedy pro parametry s, t  R
x5 = s x4 = t x3 = -s - t x2 = -s x1 = t
X = {(t, -s, -s - t, t, s); s, t  R} = Span (1, 0, -1, 1, 0), (0, -1, -1, 0, 1)
2
Fundamentální podprostory matice
A matice typu m × n
* jádro KerA  Rn je množina všech řešení Ax = 0
* řádkový prostor R(A)  Rn je množina všech lineárních kombinací
řádku matice A
* sloupcový prostor ImA  Rm je množina všech lineárních kombinací
sloupcu matice A
* k nim se ještě přiřazují fundamentální podprostory matice AT
* platí pro ně mnoho rovností (skripta), nemyslím ale, že by patřili na
cvika...
Příklad 8 Určete KerA, R(A), ImA
A =


1 1 -1 2
-1 0 1 3
1 2 0 4


Řešení: Nejdřív najdeme KerA jako řešení Ax = 0
A =


1 1 -1 2
-1 0 1 3
1 2 0 4

  . . . 


1 1 -1 2
0 1 0 5
0 0 1 -3


x4 = t x3 = 3t x2 = -5t x1 = 6t
KerA = (6t, -5t, 3t, t); t  R = Span (6, -5, 3, 1)
R(A) = Span (1, 1, -1, 2), (-1, 0, 1, 3), (1, 2, 0, 4)
ImA = Span (1, -1, 1), (1, 0, 2), (-1, 1, 0)
3