Čtvrtá zápočtová písemka z MB101 - verze A
V. Kubáň, 11.12.2008
1.  Určete kolmý průmět p E V vektoru w = (0,0, 0, 3) eR4na podprostor V prostoru E4. Podprostor V je generovaný bází:
{(1,0,1,-2),(0,1,-1,1),(1,-1,0,1)}.
Určete úhel, který svírá vektor w s podprostorem V a vzdálenost vektoru w od podprostoru V.
Poznámka: V průběhu řešení byste měli použít Gram-Schmidtův or-togonalizační proces. Během řešení se vyskytnou odmocniny, tak je pište před vektor, aby se to lip opravovalo (př: (V3, V3, V3, V3) = i/3 -(1,1,1,1)). Výsledek vyjde bez odmocnin.
2.  Určete vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory matice A. Nalezněte algebraickou a geometrickou násobnost vlastních čísel. Napište pod-prostory vlastních vektorů (Eigen (A)). Určete diagonalizaci matice A.
/ -1     4     0     2   \
-2502 2-4   1-2" \   0      0     0     1/
Poznámka: Měli byste při řešení použít Laplaceův rozvoj determinantu. Vlastní čísla vyjdou malá celá čísla (pro hádání kořenů). Ale lepší je rovnou vytknout společné členy při sestavování charakteristického polynomu: A2 + A = A • (A + 1).
1
Čtvrtá zápočtová písemka z MB101 - verze B
V. Kubáň, 11.12.2008
1.  Určete kolmý průmět p E V vektoru w = (0,0, 0, 3) eR4na podprostor V prostoru E4. Podprostor V je generovaný bází:
{(2,1,-1,0),(0,1,-1,0),(1,-1,0,1)}.
Určete úhel, který svírá vektor w s podprostorem V a vzdálenost vektoru w od podprostoru V.
Poznámka: V průběhu řešení byste měli použít Gram-Schmidtův or-togonalizační proces. Během řešení se vyskytnou odmocniny, tak je pište před vektor, aby se to lip opravovalo (př: (V3, V3, V3, V3) = i/3 -(1,1,1,1)). Výsledek vyjde bez odmocnin.
2.  Určete vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory matice B. Nalezněte algebraickou a geometrickou násobnost vlastních čísel. Napište podpro-story vlastních vektorů (Eigen (A)). Určete diagonalizaci matice B.
/   3     -2   0   -1 \
10     0-1 -12     2     1
\ o   o  o  2 y
Poznámka: Měli byste při řešení použít Laplaceův rozvoj determinantu. Vlastní čísla vyjdou malá celá čísla (pro hádání kořenů). Ale lepší je rovnou vytknout společné členy při sestavování charakteristického polynomu: A2 + A = A • (A + 1).
2
Čtvrtá zápočtová písemka z MB101 - verze C
V. Kubáň, 11.12.2008
1.   Určete kolmý průmět p E V vektoru w = (0,0, 0, 3) G E4 na podprostor V prostoru E4. Podprostor V je generovaný bází:
{(1,-1,1,-1),(1,0,1,0),(0,2,-1,0)}.
Určete úhel, který svírá vektor w s podprostorem V a vzdálenost vektoru w od podprostoru V.
Poznámka: V průběhu řešení byste měli použít Gram-Schmidtův or-togonalizační proces. Během řešení se vyskytnou odmocniny, tak je pište před vektor, aby se to lip opravovalo (př: (V3, V3, V3, V3) = i/3 -(1,1,1,1)). Výsledek vyjde bez odmocnin.
2.   Určete vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory matice C. Nalezněte algebraickou a geometrickou násobnost vlastních čísel. Napište podpro-story vlastních vektorů (Eigen (A)). Určete diagonalizaci matice C.
/ -4     6       0       3   \
-3     5       0       3
3     -6    -1    -3      '
\   0       0       0     -1 /
Poznámka: Měli byste při řešení použít Laplaceův rozvoj determinantu. Vlastní čísla vyjdou malá celá čísla (pro hádání kořenů). Ale lepší je rovnou vytknout společné členy při sestavování charakteristického polynomu: A2 + A = A • (A + 1).
3
Čtvrtá zápočtová písemka z MB101 - verze D
V. Kubáň, 11.12.2008
1.  Určete kolmý průmět p E V vektoru w = (0,0, 0, 3) eR4na podprostor V prostoru E4. Podprostor V je generovaný bází:
{(1,1,1,-1),(-1,2,1,0),(1,2,0,2)}.
Určete úhel, který svírá vektor w s podprostorem V a vzdálenost vektoru w od podprostoru V.
Poznámka: V průběhu řešení byste měli použít Gram-Schmidtův or-togonalizační proces. Během řešení se vyskytnou odmocniny, tak je pište před vektor, aby se to lip opravovalo (př: (V3, V3, V3, V3) = i/3 -(1,1,1,1)). Výsledek vyjde bez odmocnin.
2.  Určete vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory matice D. Nalezněte algebraickou a geometrickou násobnost vlastních čísel. Napište podpro-story vlastních vektorů (Eigen (A)). Určete diagonalizaci matice D.
/   2     -4   0   -2 \
2-4   0-2 -2402
\ o   o  o  o y
Poznámka: Měli byste při řešení použít Laplaceův rozvoj determinantu. Vlastní čísla vyjdou malá celá čísla (pro hádání kořenů). Ale lepší je rovnou vytknout společné členy při sestavování charakteristického polynomu: A2 + A = A • (A + 1).
4