Iterované procesy ­ řešený příklad (pro studenty předmětu Matematika I, FI MU Brno) pozn.: příklad vypadá složitě, vede však okamžitě na výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice, což je věc velmi jednoduchá a na provedení diagonalizace matice (což je také velmi jednoduché). A nic víc tady prakticky není. Je to hodně rozepsané, protože je to materiál k samostudiu. Jinak je to příklad na 10 minut Zadání: Na ostrově Slonová Kost žije stálý počet lidí (1.000.000). Někteří žijí ve městech, ostatní na vesnici. Každý rok se 15% lidí z měst přestěhuje na vesnici a zároveň 10% lidí z vesnice se přestěhuje do města. Určete, v jakém poměru se ustálí počet lidí ve městech a na vesnici za mnoho let. Řešení: Provedeme základní označení: Mo ­ počáteční počet lidí ve městech Vo ­ počáteční počet lidí na vesnicích Mk ­ počet lidí ve městech na konci k-tého roku Vk ­ počet lidí na vesnici na konci k-tého roku (pozn.: protože celkový počet lidí na ostrově se s časem nemění, musí pro každý rok platit Mk + Pk = 1.000.000, ale to je asi jasné ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kolik lidí bude ve městech na konci prvního roku? Na začátku jich bylo Mo, ale 15% z nich se odstěhovalo ­ zbývá nám tedy už jen Mo ­ 0,15 Mo = 0,85 Mo. K nim se ale přistěhovalo 10% lidí z vesnice (0,1 Vo). Celkem tedy: M1 = 0,85 M1 + 0,1 V1 Obdobně pro počet lidí na vesnici na konci prvního roku dostaneme: V1 = 0,15 Mo + 0,9 Vo Když nebudeme uvažovat konec prvního roku, ale konec (k+1)-ního roku, dostaneme: Mk+1 = 0,85 Mk + 0,1 Vk Vk+1 = 0,15 Mk + 0,9 Vk Získané rovnice zapíšeme maticově, ať vypadáme jako profesionálové : = + + k k 1k 1k V M 9,015,0 1,085,0 V M zkrácený zápis: xk+1 = A.xk Na konci k-tého roku bude počet lidí ve městě vzhledem k počtu lidí na začátku = o o k k k V M 9,015,0 1,085,0 V M (protože x1 = A.xo, x2 = A.x1, ..., xk = A.xk-1, dosadíme li všechny vztahy do sebe, dostaneme xk = Ak .xo.) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Naším úkolem je tedy najít k-tou mocninu (Ak ) matice = 9,015,0 1,085,0 A . To provedeme tak, že nejprve nalezneme vlastní čísla a vlastní vektory této matice: vlastní čísla: ( )( ) 075,075,1015,09,085,0765,015,01,09,085,0 9,015,0 1,085,0 22 =+-=-+--=---= - - ( ) ( ) ( ) 75,0 2 5,1 2 25,075,1 1 2 2 2 25,075,1 2 25,075,1 2 75,01475,175,1 12 75,01475,175,1 a2 ac4bb 12 1 222 2,1 == - = == + = = - = --- = -- = vlastní vektory: 11 = 0V2M3 0V10M15 0 0 0 10 0 15 0 0 1,0 1,0 15,0 15,0 0 0 19,0 1,0 15,0 185,0 0 0 9,0 1,0 15,0 85,0 kk kk =- =- - - - - - - - zvolíme Vk = 3t (například; jako Vk jsme mohli zvolit třeba 876,5t... ) t2M t6M3 0t32M3 0V2M3 k k k kk = = =- =Vlastní vektor je tedy (2; 3). 75,02 = 1VM 0 0 0 1 0 1 0 0 15,0 1,0 15,0 1,0 0 0 75,09,0 1,0 15,0 75,085,0 0 0 9,0 1,0 15,0 85,0 kk =+ - - - - zvolíme Vk = t tM 0tM 0VM k k kk -= =+ =+ Vlastní vektor je tedy (-1; 1). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Matice = 9,015,0 1,085,0 A má dvě vlastní hodnoty a dva vlastní vektory, je tedy diagonalizovatelná ­ čili dá se napsat ve tvaru A = P.D.P-1 ; Ak , které hledáme, je pak Ak = P.Dk .P-1 . Matice P je sestavena z vlastní vektorů matice (vektory ve sloupcích) A ... - = 13 12 P Matice D je diagonální matice, v jejíž diagonále jsou vlastní čísla matice A ... = 4 3 0 01 D ( ) ( ) = = k 4 3k 4 3k kk k 0 01 0 01 D Nyní stačí vypočítat P-1 : ( ) ( ) ( ) ( ) - = - - - - -- - - - -- - - - - 23 11 P 1 0 0 1 5: 10: 2 2 3 2 5 0 0 105 2 0 3 1 5 1 0 2 2 3 1 0 0 1 1 1 3 2 5 11 5 2 5 1 5 3 5 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ak = P.Dk .P-1 = ( ) - - 23 11 0 01 13 12 5 1 k 4 3 Důležitá a stěžejní věc tohoto příkladu!!! V zadání příkladu po nás chtějí, abychom zjistili, jak bude vypadat stav po mnoha letech, tzn. pro velké k. Se zvyšujícím se k jde hodnota výrazu ( )k 4 3 k nule. Čili: ( ) 00 01 0 01 k 4 3 Vrátíme se zpět k výpočtu Ak : Ak = P.Dk .P-1 = = - = - - 6,06,0 4,04,0 33 22 23 11 03 02 23 11 00 01 13 12 5 1 5 1 5 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dostáváme tedy: = o o k k k V M 9,015,0 1,085,0 V M = o o k k V M 6,06,0 4,04,0 V M Maticový zápis rozepíšeme opět do rovnic: ook ook V6,0M6,0V V4,0M4,0M += += ( ) ( )ook ook VM6,0V VM4,0M += += 000.600000.000.16,0V 000.400000.000.14,0M k k == == ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Závěr: Nezávisle na počátečním rozdělení obyvatel mezi města a vesnice se stav po mnoha letech ustálí tak, že ve městech bude žít 40% obyvatel a na vesnici 60% obyvatel.