Matice
Sbírka Úloh
* Sčítání a odčítání matic
* Násobení matic
* Inverzní matice
* Řešení soustavy rovnic pomocí matic
* Determinant a řešení rovnic s jeho pomocí
2007
Matyáš Richter a spol.
3.A
6.5.2007
M a t i c e Stránka 2
Sčítání a odčítání matic
Příklad 1.:
Vytvořte součet daných matic:
1.1/
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
1.2/
a.
b.
c.
d.
e.
f.
M a t i c e Stránka 3
g.
h.
i.
j.
Násobení matic
Příklad 2.:
Vynásobte dané matice:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
M a t i c e Stránka 4
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
Inverzní matice
Příklad 3.:
Utvořte inverzní matice:
3.1.1.:
3.1.2.:
3.1.3.:
3.1.4.:
3.1.5.:
3.1.6.:
3.1.7.:
M a t i c e Stránka 5
3.1.8.:
3.1.9.:
3.1.10.:
3.1.11.:
3.1.12.:
3.1.13.:
3.1.14.:
3.1.15.:
3.1.16.:
3.2.1.:
3.2.2.:
3.2.3.:
3.2.4.:
3.2.5.:
3.2.6.:
3.2.7.:
3.2.8.:
3.2.9.:
Řešení soustavy rovnic pomocí matic
Příklad 4.:
M a t i c e Stránka 6
Vypočtěte neznámé ze soustav rovnic pomocí matic:
4.1.:
4.2.:
4.3.:
4.4.:
4.5.:
4.6.:
4.7.:
4.8.:
4.9.:
4.10.:
4.11.:
4.12.:
4.13.:
4.14.:
4.15.:
4.16.:
4.17.:
4.18.:
4.19.:
M a t i c e Stránka 7
Determinant a řešení rovnic s jeho
pomocí
Příklad 5.1.:
Vypočtěte determinant:
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.1.5.
Příklad 5.2.:
Vypočtěte determinant matice třetího stupně:
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.
5.2.5.
M a t i c e Stránka 8
Užití determinantů k výpočtu soustav rovnic
K výpočtům kořenů rovnic využijeme Cramerovo pravidlo:
Soustava n rovnic o n neznámých, jejíž determinant soustavy D  0, má právě
jedno řešení.
Toto řešení lze psát ve tvaru : , kde Di je determinant, který vznikne
náhradou
i- tého sloupce sloupcem pravých stran
Příklad 5.3.:
1) vypočteme determinant D matice z pravé strany rovnice
D = 1(-3) 1 + 121 + 311 - 13(-3) - 211 - 111 = -3 +2 +3 +9 -2 -1 = 8
2) nahradíme 1. sloupec (x - ový) sloupcem hodnot pravé strany rovnice
Dx = 7(-3) 1 + 123 + 531 ­ 3(-3) 3 - 217 - 511 = -21+6+15+27­14- 5 =
8
3) nahradíme 2. sloupec ( y ­ ový) sloupcem pravých stran rovnice
Dy = 151 + 331 + 721 - 315 - 321 - 711 = 5+9+14-15-6-7 = 0
4) nahradíme 3. sloupec ( z ­ ový) sloupcem pravých stran rovnice
Dz = 1(-3) 3 + 151 + 711 - 7(-3) 1 - 511 - 311 = -9+5+7+21-5-3 = 16
5) Dle Cramerova pravidla vypočteme neznámé x,y,z
D = 8
Dx = 8 , x = 1
Dy = 0 , y = 0
M a t i c e Stránka 9
Dz = 16 , z = 2
Závěr : Rovnice má kořeny x = 1, y = 0, z = 2
Vypočtěte neznámé členy pomocí determinantů:
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
5.3.4.
Výsledky
1.1.a.
1.1.b.
1.1.c.
1.1.d.
1.1.e.
1.1.f.
1.1.g.
1.1.h.
1.1.i.
1.1.j.
1.2.a.
1.2.b.
1.2.c.
1.2.d.
1.2.e.
1.2.f.
1.2.g.
1.2.h.
1.2.i.
1.2.j.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
M a t i c e Stránka 10
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
3.1.1.:
3.1.2.:
3.1.3.:
3.1.4.:
3.1.5.:
3.1.6.:
3.1.7.:
3.1.8.:
3.1.9.:
3.1.10.:
3.1.11.:
3.1.12.:
3.1.13.:
3.1.14.:
3.1.15.:
3.1.16.:
3.2.1.:
3.2.2.:
3.2.3.:
3.2.4.:
3.2.5.:
3.2.6.:
3.2.7.:
3.2.8.:
3.2.9.:
4.1.: 4.2.:
M a t i c e Stránka 11
4.3.:
4.4.:
4.5.:
4.6.:
4.7.:
4.8.:
4.9.:
4.10.:
4.11.:
4.12.:
4.13.:
4.14.:
4.15.:
4.16.:
4.17.:
4.18.:
4.19.:
5.1.1. D = 0
5.1.2. D = -33
5.1.3. D = -7
5.1.4. D = 7
5.1.5. D = 11
5.2.1.: D = 0
5.2.2.: D = -86
5.2.3.: D = -5
5.2.4.: D = 1
5.2.5.: D = 22
5.3.1. X=1; y=1; z=2
5.3.2. X=1; y=3; z=5
5.3.3. X=7; y=5; z=-3
5.3.4. X=0; y=1; z=2
Autoři
Matyáš Richter: Design; tvorba; Příklad 1 - 3; 3.1.1 - 3.1.16
Eliška Miková: Příklad 4; 4.3 - 4.15
Martin Rajmon: 4.1; 4.2; 4.16 - 4.19
Veronika nováková: 1.1.a - 1.1.j; 1.2.a - 1.2.j
Petra Schánová: 3.2.1 ­ 3.2.9
Jan Laky: 2.1 ­ 2.21
Jan Bažant: Příklad 5; 5.1.1 ­ 5.3.4 + vše kolem determinantů