Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy MB102 ­ 9. přednáška a demonstrovaná cvičení Neurčitý integrál Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18.11. 2009 Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Plán přednášky 1 Newtonův integrál 2 Riemannův integrál 3 Integrace ,,po paměti 4 Integrace per partes a substitucí 5 Návodné úlohy Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou nebo komplexní funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F (x) = f (x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = x0 < x1 < < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xi výrazy f (x) F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi dostáváme součtem F(b)-F(a) = n-1 i=0 F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi (xi+1-xi ) n-1 i=0 f (xi )(xi+1-xi ). Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou nebo komplexní funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F (x) = f (x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = x0 < x1 < < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xi výrazy f (x) F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi dostáváme součtem F(b)-F(a) = n-1 i=0 F(xi+1) - F(xi ) xi+1 - xi (xi+1-xi ) n-1 i=0 f (xi )(xi+1-xi ). Funkci F nazýváme antiderivace nebo neurčitý integrál k funkci f . Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Antiderivace reálné funkce f (x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f , souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Antiderivace reálné funkce f (x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f , souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). Dá se tedy očekávat, že takovou plochu skutečně spočteme jako rozdíl hodnot antiderivace v krajních bodech intervalu. Tomuto postupu se také říká Newtonův integrál. Píšeme b a f (x)dx = [F(x)]b a = F(b) - F(a). V případě komplexní funkce f je i reálná a imaginární část jejího integrálu jednoznačně dána reálnou a imaginární částí f , budeme proto v dalším pracovat výhradně s reálnými funkcemi. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Poznámka V dalším skutečně ukážeme, že lze rozumně definovat pojem plocha v rovině tak, aby ji bylo možné počítat právě uvedeným způsobem. Newtonův integrál má ale jednu podstatnou vadu -- jeho vyčíslení vyžaduje znalost antiderivace. Tu obecně není snadné spočíst i když ukážeme, že ke všem spojitým funkcím f existuje. Proto budeme napřed diskutovat jinou definici integrálu. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F (x) = G (x) = f (x), pak Taylorův rozvoj prvního řádu se zbytkem v bodě a dává F(x) - G(x) = F(a) - G(a) + (f (c) - f (c))(x - a) = F(a) - G(a) na nějakém okolí bodu a. Pokud by ale x0 < b bylo supremem hodnot, pro které tento vztah ještě platí, opětovnou volbou tohoto bodu za a dosáhneme rozšíření tohoto vztahu i napravo od něj. Musí tedy platit na celém intervalu. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F (x) = G (x) = f (x), pak Taylorův rozvoj prvního řádu se zbytkem v bodě a dává F(x) - G(x) = F(a) - G(a) + (f (c) - f (c))(x - a) = F(a) - G(a) na nějakém okolí bodu a. Pokud by ale x0 < b bylo supremem hodnot, pro které tento vztah ještě platí, opětovnou volbou tohoto bodu za a dosáhneme rozšíření tohoto vztahu i napravo od něj. Musí tedy platit na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru F(t) = f (x)dx + C. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Plán přednášky 1 Newtonův integrál 2 Riemannův integrál 3 Integrace ,,po paměti 4 Integrace per partes a substitucí 5 Návodné úlohy Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterou jsme v minulém odstavci odůvodňovali souvislost Newtonova integrálu s velikostí plochy. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterou jsme v minulém odstavci odůvodňovali souvislost Newtonova integrálu s velikostí plochy. Uvažme reálnou funkci f definovanou na intervalu [a, b] a zvolme dělení tohoto intervalu, spolu s výběrem reprezentantů i jednotlivých částí, tj. a = x0 < x1 < < xn = b a zároveň i [xi-1, xi ], i = 1, . . . , n. Normou takového dělení nazýváme číslo min{xi - xi-1}. Riemannův součet odpovídající zvolenému dělení = (x0, . . . , xn) a reprezentantům je dán výrazem S, = n i=1 f (i ) (xi - xi-1) Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Řekneme, že Riemannův integrál funkce f na intervalu [a, b] existuje, jestliže pro každou posloupnost dělení s reprezentanty (k, k) s normou dělení jdoucí k nule existuje limita lim k Sk ,k = S, jejíž hodnota navíc nezávisí na volbě posloupnosti dělení a reprezentantů. Píšeme v takovém případě opět S = b a f (x)dx. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Řekneme, že Riemannův integrál funkce f na intervalu [a, b] existuje, jestliže pro každou posloupnost dělení s reprezentanty (k, k) s normou dělení jdoucí k nule existuje limita lim k Sk ,k = S, jejíž hodnota navíc nezávisí na volbě posloupnosti dělení a reprezentantů. Píšeme v takovém případě opět S = b a f (x)dx. Tato definice nevypadá příliš prakticky, nicméně nám dovolí sformulovat a dokázat některé jednoduché vlastnosti Riemannova integrálu. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Theorem (1) Je-li f omezená reálná funkce definovaná na reálném intervalu [a, b] a c [a, b] nějaký vnitřní bod, potom integrál b a f (x)dx existuje tehdy a jen tehdy když existují oba integrály c a f (x)dx a b c f (x)dx. V takovém případě pak také platí b a f (x)dx = c a f (x)dx + b c f (x)dx. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Theorem (1) Je-li f omezená reálná funkce definovaná na reálném intervalu [a, b] a c [a, b] nějaký vnitřní bod, potom integrál b a f (x)dx existuje tehdy a jen tehdy když existují oba integrály c a f (x)dx a b c f (x)dx. V takovém případě pak také platí b a f (x)dx = c a f (x)dx + b c f (x)dx. (2) Jsou-li f a g dvě reálné funkce definované na intervalu [a, b], a existují-li integrály b a f (x)dx a b a g(x)dx, pak existuje také integrál jejich součtu a platí b a (f (x) + g(x))dx = b a f (x)dx + b a g(x)dx. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Theorem (pokračování) (3) Je-li f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], C R konstanta a existuje-li integrál b a f (x)dx, pak existuje také integrál b a C f (x)dx a platí b a C f (x)dx = C b a f (x)dx. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Důkaz. (1) Předpokládejme nejprve, že existuje integrál přes celý interval. Při jeho výpočtu se omezíme na limity Riemannových součtů, jejichž dělení mají bod c mezi svými dělícími body. Každý takový součet dostaneme jako součet dvou dílčích Riemannových součtů. Pokud by tyto dílčí součty v limitě závisely na zvolených rozděleních a reprezentantech, pak by celkové součty nemohly být v limitě na volbách nezávislé (stačí ponechat jednu posloupnost dělení podintervalu stejnou a druhou měnit tak, aby se limita změnila). Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Důkaz. (1) Předpokládejme nejprve, že existuje integrál přes celý interval. Při jeho výpočtu se omezíme na limity Riemannových součtů, jejichž dělení mají bod c mezi svými dělícími body. Každý takový součet dostaneme jako součet dvou dílčích Riemannových součtů. Pokud by tyto dílčí součty v limitě závisely na zvolených rozděleních a reprezentantech, pak by celkové součty nemohly být v limitě na volbách nezávislé (stačí ponechat jednu posloupnost dělení podintervalu stejnou a druhou měnit tak, aby se limita změnila). Naopak, jestliže existují oba integrály na podintervalech, jsou libovolně přesně aproximovatelné Riemannovými součty a to navíc nezávisle na jejich volbě. Pokud do libovolné posloupnosti Riemannových součtů přes celý interval [a, b] přidáme jeden dělící bod c navíc, změníme hodnotu celého součtu i částečných součtů přes intervaly patřící do [a, c] a [c, b] nejvýše o násobek normy dělení a možných rozdílů omezené funkce f na celém [a, b]. To je libovolně blízko k nule při zmenšující se normě dělení. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy pokračování. (2) V každém Riemannově součtu se součet funkcí projeví jako součet hodnot ve vybraných reprezentantech. Protože je násobení reálných čísel distributivní, vyplývá odtud právě dokazované tvrzení. (3) Stejná úvaha jako v předchozím případě. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Theorem Pro každou spojitou funkci f na konečném intervalu [a, b] existuje její Riemannův integrál b a f (x)dx. Navíc, je funkce F(t) zadaná na intervalu [a, b] pomocí Riemannova integrálu F(t) = t a f (x)dx antiderivací funkce f na tomto intervalu. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Theorem Pro každou spojitou funkci f na konečném intervalu [a, b] existuje její Riemannův integrál b a f (x)dx. Navíc, je funkce F(t) zadaná na intervalu [a, b] pomocí Riemannova integrálu F(t) = t a f (x)dx antiderivací funkce f na tomto intervalu. Důkaz. Docela složitý . . . Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Poznámky (1) Předchozí dvě věty nám říkají, že integrál je lineární zobrazení : C[a, b] R vektorového prostoru spojitých funkcí na intervalu [a, b] do reálných čísel (tj. lineární forma). Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Poznámky (1) Předchozí dvě věty nám říkají, že integrál je lineární zobrazení : C[a, b] R vektorového prostoru spojitých funkcí na intervalu [a, b] do reálných čísel (tj. lineární forma). (2) Dokázali jsme, že každá spojitá funkce je derivací nějaké funkce. Newtonův a Riemannův integrál tedy jako koncepty pro spojité funkce splývají. Riemannův integrál spojitých funkcí lze proto spočíst pomocí rozdílu hodnot F(b) - F(a) antiderivace F. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy (3) Nechť f je [a, b] spojitá po částech spojitá, tj. všude kromě konečně mnoha bodů nespojitosti ci , a < ci < b. Vzhledem k aditivnosti integrálu vůči intervalu přes který se integruje existuje podle poslední věty v takovém případě integrál F(t) = t a f (x)dx pro t [a, b] a derivace funkce F(t) existuje ve všech bodech t, ve kterých je f spojitá. Ve zbývajících bodech je funkce F(t) spojitá, je to tedy spojitá funkce na celém intervalu [a, b]. Pokud zvolíme antiderivace tak, aby na sebe navazovaly, pak bude i celý integrál vyčíslen jako rozdíl v krajních hodnotách. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy (3) Nechť f je [a, b] spojitá po částech spojitá, tj. všude kromě konečně mnoha bodů nespojitosti ci , a < ci < b. Vzhledem k aditivnosti integrálu vůči intervalu přes který se integruje existuje podle poslední věty v takovém případě integrál F(t) = t a f (x)dx pro t [a, b] a derivace funkce F(t) existuje ve všech bodech t, ve kterých je f spojitá. Ve zbývajících bodech je funkce F(t) spojitá, je to tedy spojitá funkce na celém intervalu [a, b]. Pokud zvolíme antiderivace tak, aby na sebe navazovaly, pak bude i celý integrál vyčíslen jako rozdíl v krajních hodnotách. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Plán přednášky 1 Newtonův integrál 2 Riemannův integrál 3 Integrace ,,po paměti 4 Integrace per partes a substitucí 5 Návodné úlohy Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Neurčitý integrál nám formálně dovoluje spočíst Riemannův integrál pro každou spojitou funkci. Nicméně prakticky bývá zejména použitelný tam, kde v integrované funkci umíme derivaci přímo uvidět. K tomu v jednoduchých případech stačí číst tabulky pro derivace funkcí v našem zvěřinci naopak. Dostáváme tak např. následující tvrzení pro všechna a R a n Z, n = -1: a dx = ax + C axn dx = a n + 1 xn+1 + C eax dx = 1 a eax +C Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy a x dx = a ln x + C a cos bx dx = a b sin bx + C a sin bx dx = - a b cos bx + C a cos bx sinn bx dx = a b(n + 1) sinn+1 bx + C a sin bx cosn bx dx = - a b(n + 1) cosn+1 bx + C a tg bx dx = - a b ln(cos bx) + C a a2 + x2 dx = arctg x a + C Pozor definiční obor, na kterém je neurčitý integrál dobře definován! Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy K takovýmto tabulkovým hodnotám lze relativně snadno dodávat další jednoduchými pozorováními vhodné struktury integrovaných funkcí. Např. f (x) f (x) dx = ln f (x) + C. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Plán přednášky 1 Newtonův integrál 2 Riemannův integrál 3 Integrace ,,po paměti 4 Integrace per partes a substitucí 5 Návodné úlohy Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Výpočet integrálu pomocí antiderivace (neurčitého integrálu), spolu s pravidlem (F G) (t) = F (t) G(t) + F(t) G (t) pro derivaci součinu funkcí, dává následující formuli pro neurčitý integrál F(x) G(x) + C = F (x)G(x) dx + F(x)G (x) dx. Tato formule se většinou používá v případě, že jeden z integrálů napravo máme počítat, zatímco druhý umíme počítat lépe. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Uveďme si nějaké příklady. Nejprve spočteme I = x sin x dx. V tomto případě pomůže volba F(x) = x, G (x) = sin x. Odtud G(x) = - cos x, proto také I = -x cos x - - cos x dx = -x cos x + sin x + C. Obvyklým trikem je také použít tento postup s F (x) = 1: ln x dx = 1 ln x dx = x ln x - 1 x x dx = x ln x - x + C. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Je-li F (y) = f (y) a y = (x), potom dF((x)) dx = F (y) (x) a tedy F(y) + C = f (y) dy lze spočíst jako F((x)) + C = f ((x)) (x) dx. Dosazením x = -1(y) pak dostaneme původně požadovanou antiderivaci. Častěji zapisujeme tuto skutečnost takto: f (y) dy = f ((x)) (x) dx a hovoříme o substituci za proměnnou y. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Je-li F (y) = f (y) a y = (x), potom dF((x)) dx = F (y) (x) a tedy F(y) + C = f (y) dy lze spočíst jako F((x)) + C = f ((x)) (x) dx. Dosazením x = -1(y) pak dostaneme původně požadovanou antiderivaci. Častěji zapisujeme tuto skutečnost takto: f (y) dy = f ((x)) (x) dx a hovoříme o substituci za proměnnou y. Pro Riemannovy součty je možné substituci porozumět snadno tak, že přírůstky v proměnné y a v x jsou vzájemně ve vztahu dy = (x) dx který odpovídá vztahu dy dx = (x) a snadno jej spočítáme výpočtem derivace. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Jako příklad: I = 1 1 - x2 dx zvolíme substituci x = sin t. Odtud dx = cos t dt a dostáváme I = 1 1 - sin2 t cos t dt = 1 cos2 t cos t dt = dt = t + C. Zpětným dosazením t = acrsin x dopočítáme již známý vzorec I = arcsin x + C. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Jako příklad: I = 1 1 - x2 dx zvolíme substituci x = sin t. Odtud dx = cos t dt a dostáváme I = 1 1 - sin2 t cos t dt = 1 cos2 t cos t dt = dt = t + C. Zpětným dosazením t = acrsin x dopočítáme již známý vzorec I = arcsin x + C. Při substitucích je třeba dát pozor na skutečnou existenci inverzní funkce k y = (x) a při výpočtu určitého integrálu je třeba řádně přepočítávat i meze. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Často vede použití substitucí a metody per partes k rekurentním vztahům, ze kterých teprve lze dopočíst hledané integrály. Spočtěme si alespoň jeden příklad. Metodou per partes počítáme Im = cosm x dx = cosm-1 x cos x dx = cosm-1 x sin x - (m - 1) cosm-2 x(- sin x) sin x dx = cosm-1 x sin x + (m - 1) cosm-2 x sin2 x dx. Odtud díky vztahu sin2 x = 1 - cos2 x dostáváme mIm = cosm-1 x sin x + (m - 1)Im-2 a počáteční hodnoty jsou I0 = x, I1 = sin x. Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Plán přednášky 1 Newtonův integrál 2 Riemannův integrál 3 Integrace ,,po paměti 4 Integrace per partes a substitucí 5 Návodné úlohy Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, 4 sin3 (x) dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, 4 sin3 (x) dx, 5 arcsin(x) dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, 4 sin3 (x) dx, 5 arcsin(x) dx, 6 1 sin2(x) cos2(x) dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, 4 sin3 (x) dx, 5 arcsin(x) dx, 6 1 sin2(x) cos2(x) dx, 7 1 - x2 dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, 4 sin3 (x) dx, 5 arcsin(x) dx, 6 1 sin2(x) cos2(x) dx, 7 1 - x2 dx, 8 x2 ln(x) dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, 4 sin3 (x) dx, 5 arcsin(x) dx, 6 1 sin2(x) cos2(x) dx, 7 1 - x2 dx, 8 x2 ln(x) dx, 9 x3e2x dx, Newtonův integrál Riemannův integrál Integrace ,,po paměti Integrace per partes a substitucí Návodné úlohy Určete následující integrály: 1 1 x dx, 2 tan(x) dx, 3 sin2 (x) dx, 4 sin3 (x) dx, 5 arcsin(x) dx, 6 1 sin2(x) cos2(x) dx, 7 1 - x2 dx, 8 x2 ln(x) dx, 9 x3e2x dx, 10 1 cos2 x sin2 x dx.