oooooooooooooooooooooo Matematika III - 5. přednáška Optimalizační metody, lineární programování, intergrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21. 10. 2009 □ S O Literatura O Speciální optimalizační metody Q Lineární programování Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru » Integrace funkcí více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci Plán přednášky O Literatura Q Speciální optimalizační metody Lineární progi 'ani » Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných • Násobné integrály a Záměna souřadnic při integraci oooooooooooooooooooooc □ s oooooooooooooooooooooc Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. □ s - = ■€. -o<\(y • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach, Lineárne programovanie, Alfa, 1990. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach, Lineárne programovanie, Alfa, 1990. • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach, Lineárne programovanie, Alfa, 1990. • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Předmětové záložky v IS MU Literatura Speciální optimalizační meto dy Lineami programovaní Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Obsah první písemky -(D3) 29.10. v 17.00 (Dl), resp. 18.00 určování limit, resp. důkaz neexistence □ s - = ■€. -o<\(y Literatura Speciální optimalizační meto dy Lineami programovaní Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Obsah první písemky -(D3) 29.10. v 17.00 (Dl), resp. 18.00 • určování limit, resp. důkaz neexistence • výpočty parciálních a směrových derivací □ s - Literatura Speciální optimalizační meto dy Lineami programovaní Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Obsah první písemky -(D3) 29.10. v 17.00 (Dl), resp. 18.00 • určování limit, resp. důkaz neexistence • výpočty parciálních a směrových derivací • použití diferenciálu - aproximace, tečná nadrovina □ s - Literatura Speciální optimalizační meto dy Lineami programovaní Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Obsah první písemky -(D3) 29.10. v 17.00 (Dl), resp. 18.00 • určování limit, resp. důkaz neexistence • výpočty parciálních a směrových derivací • použití diferenciálu - aproximace, tečná nadrovina • využití Taylorovy věty a Hessianu pro aproximaci □ s - Literatura Speciální optimalizační meto dy Lineami programovaní Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Obsah první písemky -(D3) 29.10. v 17.00 (Dl), resp. 18.00 • určování limit, resp. důkaz neexistence • výpočty parciálních a směrových derivací • použití diferenciálu - aproximace, tečná nadrovina • využití Taylorovy věty a Hessiánu pro aproximaci • Jacobián zobrazení a jeho inverze (včetně důkazu existence) □ s - Literatura Speciální optimalizační meto dy Lineami programovaní Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Obsah první písemky -(D3) 29.10. v 17.00 (Dl), resp. 18.00 • určování limit, resp. důkaz neexistence • výpočty parciálních a směrových derivací • použití diferenciálu - aproximace, tečná nadrovina • využití Taylorovy věty a Hessiánu pro aproximaci • Jacobián zobrazení a jeho inverze (včetně důkazu existence) • určování lokálních a globálních extrémů (vázané extrémy nikoliv). □ s - Plán přednášky Q Literatura O Speciální optimalizační metody Lineární progi 'ani » Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných • Násobné integrály a Záměna souřadnic při integraci oooooooooooooooooooooc □ s Zmiňme se jen ve stručnosti o speciálních optimalizačních technikách, které se v dnešní praxi používají. Zájemce o bližší seznámení s nimi můžeme odkázat na další předměty MU, např.: • Optimalizace - PřF: M0160 (jaro) • Optimalizace - PV027 (jaro) • Lineární programování - PřF: M4110 (jaro) • Matematické programování - PřF: M5170 (podzim) Již dříve jsme zmínili, že funkce nejrychleji roste ve směru gradientu (a nejrychleji klesá ve směru opačném) - proto je přirozené se při hledání maxima vydat z daného bodu ve směru gradientu (analogie chození do kopce nejprudším svahem). Otázka je, jak dlouho „jít" a jak často gradient počítat (podrobněji viz např. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent). Iterace: xn+i = xn + 7„ grád f(xn), pro dostatečně malé 7„, aby f(xn+i) > f(xn). oooooooooooooooooooooc Metoda gradientu Již dříve jsme zmínili, že funkce nejrychleji roste ve směru gradientu (a nejrychleji klesá ve směru opačném) - proto je přirozené se při hledání maxima vydat z daného bodu ve směru gradientu (analogie chození do kopce nejprudším svahem). Otázka je, jak dlouho „jít" a jak často gradient počítat (podrobněji viz např. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent). Iterace: xn+1 =xn + jn grád f(xn), pro dostatečně malé 7„, aby f(xn+i) > f(xn). Problémy: • náročný opakovaný výpočet 7, • velký počet iterací v případě velmi různorodé křivosti v různých směrech; např Rosenbrockova banánová funkce f(x,y) = (l-x)2 + 100(y-x2)2. Newtonova metoda je dobře známý numerický postup pro nalezení kořenů dané reálné funkce f . Známe-li bod xo „rozumně" blízko kořene, zkonstruujeme v bodě [xo, f(xo)] tečnu ke grafu funkce f a za bod xi zvolíme průsečík tečny s osou x. Tento postup opakujeme. Snadno je vidět, že platí rekurentní vztah x"+1-x" f>(xny Newtonova metoda je dobře známý numerický postup pro nalezení kořenů dané reálné funkce f . Známe-li bod xo „rozumně" blízko kořene, zkonstruujeme v bodě [xo, f(xo)] tečnu ke grafu funkce f a za bod xi zvolíme průsečík tečny s osou x. Tento postup opakujeme. Snadno je vidět, že platí rekurentní vztah x"+1-x" f>(xny Tento postup např. poskytuje efektivní postup pro výpočet \/2 s libovolnou přesností; pokud bychom ale chtěli hledat řešení rovnice x1/3 = 0, tak snadno vidíme, že metoda diverguje, ať začneme jakkoli blízko 0. oooooooooooooooooooooo Při hledání extrémů funkcí (i více proměnných) může být Newtona metoda využita pro nalezení stacionárních bodů - v nich musí být derivace nulová, proto jde vlastně o nalezení kořenů derivace iterativním postupem Xn+l (Mix»))-1 • grád f(xn). □ S oooooooooooooooooooooo Při hledání extrémů funkcí (i více proměnných) může být Newtona metoda využita pro nalezení stacionárních bodů - v nich musí být derivace nulová, proto jde vlastně o nalezení kořenů derivace iterativním postupem Xn+l (Hf(xn))-1 • grád f(xn). Výpočet inverze Hessiánu je časově náročná operace, proto se často místo toho využívá » metoda sdružených gradientů pro řešení příslušné soustavy, • různých tzv. /cvazZ-newtonovských metod, využívajících pouze přibližného Hessiánu (např. BFGS) -viz např. http://demonstrations.wolfram.com/ MinimizingTheRosenbrockFunction/ □ s Plán přednášky Q Literatura Q Speciální optimalizační metody Q Lineární programování » Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných • Násobné integrály a Záměna souřadnic při integraci oooooooooooooooooooooc □ s Úloha lineárního programování Pro daná c G M" řeší lineární programování úlohu optimalizovat (tj. maximalizovat nebo minimalizovat) lineární účelovou funkci f(x) = c ■ x = cixi H--------h cnxn Úloha lineárního programování Pro daná c G M" řeší lineární programování úlohu optimalizovat (tj. maximalizovat nebo minimalizovat) lineární účelovou funkci f(x) = c ■ x = cixi H--------h cnxn za daných (lineárních) omezení a\ ■ x < b\ ak- x < bk 3k+l ■ x = bk+i at-x = bt Lze ukázat, že každou (rozumnou) úlohu lineárního programování lze převést na tzv. kanonický tvar maximalizovat f (x) = c • x za podmínek a\ ■ x < b\ ak x < bk, kde x = (xi,..., xn), xi > 0,..., x„ > 0. oooooooooooooooooooooc Lineární programování Lze ukázat, že každou (rozumnou) úlohu lineárního programování lze převést na tzv. kanonický tvar maximalizovat f (x) = c • x za podmínek a\ ■ x < b\ ak x < bk, kde x = (xi,..., x„), xi > 0,..., x„ > 0. Převody: • minimalizace c • x —> maximalizace (—c) • x • nerovnice ^-> rovnice (doplnková proměnná, resp. nahrazení rovnice dvojici nerovnic) • reálná proměnná x —> nezáporné proměnné (substituce x = x+ - x", x+ > 0, x" > 0). Grafické řešení úlohy lineárního programování Úloha lineárního programování má pro 2 proměnné graficky názorný způsob řešení, vycházející z obdobného přístupu jako v případě vázaných extrémů. □ s Úloha lineárního programování má pro 2 proměnné graficky názorný způsob řešení, vycházející z obdobného přístupu jako v případě vázaných extrémů. V rovině si znázorníme množinu, vyhovující všem omezujícím podmínkám a pomocí vrstevnic účelové funkce najdeme bod(y) této množiny, kde nabývá účelová funkce extrémů. Úloha lineárního programování má pro 2 proměnné graficky názorný způsob řešení, vycházející z obdobného přístupu jako v případě vázaných extrémů. V rovině si znázorníme množinu, vyhovující všem omezujícím podmínkám a pomocí vrstevnic účelové funkce najdeme bod(y) této množiny, kde nabývá účelová funkce extrémů. Podrobněji ukážeme (spolu s řešením pomocí tzv. simplexové metody) s využitím appletu z http://www.uni-leipzig.de/ ~wifaor/orschuhr/Simplex/InitOSI.html. oooooooooooooooooooooc Simplexová metoda Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). □ S Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Úvodní fáze spočívá v nalezení nějakého vrcholu na polytopu (zobecnění polyedru na více dimenzí), který je tvořen body vyhovujícími podmínkám. V dalších krocích postupuje po hranách do vrcholů s vyšší hodnotou účelové funkce. Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Úvodní fáze spočívá v nalezení nějakého vrcholu na polytopu (zobecnění polyedru na více dimenzí), který je tvořen body vyhovujícími podmínkám. V dalších krocích postupuje po hranách do vrcholů s vyšší hodnotou účelové funkce. Sice je ukázán příklad podmínek, kdy simplexová metoda projde nešikovně všech 2" vrcholů (jde o příklad zborcené n-rozměrné krychle), a tedy metoda je v nejhorším případě exponenciální, ale v praxi je obvykle pozoruhodně úspěšná (kolem roku 2000 bylo dokázáno, že očekávaný čas běhu na náhodném vstupu je polynomiální). Řešení Převedeme úlohu z kanonického do standardního tvaru - k tomu stačí zavést doplň kove proměnné u, v, w. Maximi sužujeme 4x-3y +Z+U = 3 x + y +z +v = 10 2x + y —z + w = 10 -2x + 3y -4z +f = 0 Úlohu přepíšeme do tzv. simplexové tabulky. x y z u v w u 4 -3 1 1 0 0 3 v 1 1 1 0 1 0 10 w 2 1 -1 0 0 1 10 f -2 3 -4 0 0 0 0 V posledním řádku odpovídajícím účelové funkci najdeme některou zápornou hodnotu {heuristika: největší v abs. hodnotě), což odpovídá tomu, že se snažíme postupovat po hraně ve směru proměnné odpovídající příslušnému sloupci. Krajní vrchol této hrany najdeme tak, že najdeme minimum z podílů 3/1,10/1 absolutních členů a kladných koeficientů u proměnné, v jejímž směru se snažíme postupovat. V našem případě půjde o sloupec proměnné z a eliminovat budeme pomocí 1. řádku („pivot" je 1). Tento řádek označíme stejně jako dotyčný sloupec (proměnná oooooooooooooooooooooo Řešení (pokračování) X y z u \/ w z 4 -3 1 1 0 0 3 v -3 4 0 -1 1 0 7 w 6 -2 0 1 0 1 13 f 14 -9 0 4 0 0 12 Nyní máme jediný záporný prvek v posledním řádku (sloupec y) a v něm jediný kladný prvek, proto pivotujeme podle 4 ve 2. řádku. □ s oooooooooooooooooooooo Řešení (dokončení) X ľ z u V W z 7 4 0 1 i 4 3 4 0 33 4 y 3 4 1 0 1 4 1 0 7 4 w 9 2 0 0 1 2 i 1 33 2 f 29 4 0 0 / 4 I 1 111 4 Nyní již máme všechny prvky v posledním řádku kladné, dosáhli jsme tedy maxima 4 33 7 33 n» i ' ~ pro z = ^, y = 2f a w = ^. Původní proměnna x je nyní nebazická (x není uvedeno jako označení žádného řádku nebo ekvivalentně: sloupec x není eliminovaný), což odpovídá x = 0. □ s Plán přednášky Q Literatura Q Speciální optimalizační metody Lineární progi 'ani Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru » Integrace funkcí více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci oooooooooooooooooooooo Pripomenutí: Riemannuv integrál Motivace: výpočet plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x na uzavřeném intervalu. Funkce f : R —> R jedné proměnné ohraničená na uzavřeném intervalu [a, b]). HA X •A*« J-i J' □ s Zvolíme dělení D = {xi = a,... ,x„ = b} intervalu [a, b] a hledaný integrál (tj. plochu pod grafem) aproximujeme součtem / /Xx)dx*£y(č/)(*/+i-*/), kde (j G [x/,x/+1] je libovolný. (Součet ploch obdélníků pod křivkou). □ s Zvolíme dělení D = {xi = a,... ,x„ = b} intervalu [a, b] a hledaný integrál (tj. plochu pod grafem) aproximujeme součtem / /Xx)dx*£y(č/)(*/+i-*/), kde (j G [x/,x/+1] je libovolný. (Součet ploch obdélníků pod křivkou). Je-li norma dělení (tj. maximum z délek intervalů [x/,x/+1]) malá, pak výše uvedená suma je velmi blízko zmíněné ploše (přesněji pomocí nulové posloupnosti delenia limit). □ s Pripomenutí: Riemannuv integrál Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. □ s Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí Ja [f(x) — g(x)]dx, Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí Ja [f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky f£ ^íp'(t)2 + tp'(t)2dt, Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí Ja [f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky f£ ^íp'(t)2 + tp'(t)2dt, • objem rotačního tělesa tt fa f2(x)dx, Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí Ja [f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky f£ ^íp'(t)2 + tp'(t)2dt, • objem rotačního tělesa tt Ja f2(x)dx, 9 povrch pláště rotačního tělesa 2tt Ja f(x)\Jl + [f'(x)]2dx. Jestliže integrujeme podle jedné proměnné x funkci n + 1 proměnných f(x,y\,... ,yn), potom výsledek bude funkcí F(yi,... ,yn) ve zbývajících n proměnných. Integrály závislé na parametru Jestliže integrujeme podle jedné proměnné x funkci n + 1 proměnných f(x,y\,... ,yn), potom výsledek bude funkcí F(yi,... ,y„) ve zbývajících n proměnných. Věta (O záměně derivace a integrálu) Pro spojitě diferencovatelnou funkci f(x,yi,... ,yn) definovanou pro x z konečného intervalu [a,ß] a na nějakém okolí bodu a = [ai,...,a„] e£„ uvažujme integrál ŕ F{yi,---,yn) = j f{x,yi,...,yn)dx. Ja Potom platí pro všechny indexy j = 1,..., n dF ŕ df TT (a) = / T—{x,3i,-..,an)dx. dyj Ja dyj Obdobně jako v případě jedné proměnné můžeme potřebu zavedení integrálu více proměnných motivovat výpočtem objemu trojrozměrného prostoru pod grafem funkce z = f(x,y) dvou proměnných. M ísto výběru malých intervalů [x/,x,-+i] dělících celý interval, přes který integrujeme, a přiblížením příslušné části objemu ploškou obdélníku s výškou danou hodnotou funkce f v reprezentantu tohoto intervalu £;, tj. výrazem f(6)(*/+i - */) budeme pracovat s děleními v obou proměnných a hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Obdobně jako v případě jedné proměnné můžeme potřebu zavedení integrálu více proměnných motivovat výpočtem objemu trojrozměrného prostoru pod grafem funkce z = f(x,y) dvou proměnných. M ísto výběru malých intervalů [x/,x,-+i] dělících celý interval, přes který integrujeme, a přiblížením příslušné části objemu ploškou obdélníku s výškou danou hodnotou funkce f v reprezentantu tohoto intervalu £;, tj. výrazem f(6)(*/+i - */) budeme pracovat s děleními v obou proměnných a hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Co jsou obory integrace? Nejjednodušším přístupem je uvažovat pouze obory integrace S, které jsou dány jako součiny intervalů, tj. jsou zadány rozsahem x G [a, b] a y e [c, d]. Hovoříme v této souvislosti o vícerozměrném intervalu. ooooo«oooooooooooooooo Pokud je S jiná ohraničená množina v R2, pracujeme místo ní s dostatečně velikou oblastí [a, b] x [c, d], ale upravíme naši funkci tak, že f(x,y) = 0 pro všechny body mimo S. Definice Riemannova integrálu věrně sleduje náš postup pro jednu proměnnou. □ s ooooo«oooooooooooooooo Pokud je S jiná ohraničená množina v R2, pracujeme místo ní s dostatečně velikou oblastí [a, b] x [c, d], ale upravíme naši funkci tak, že f(x,y) = 0 pro všechny body mimo S. Definice Riemannova integrálu věrně sleduje náš postup pro jednu proměnnou. Integrál existuje, jestliže pro každou volbu posloupnosti dělení E (nyní ve všech proměnných zároveň) a reprezentantů jednotlivých krychliček 6,...j e [x/,x/+i] [zj,zJ+1] C s maximální velikostí mezi všemi použitými intervaly jdoucí k nule, budou integrální součty f(6,...j)(*/+i - */) • • • (zj+i - zj). konvergovat k jedné hodnotě, kterou zapisujeme / f(x,... ,z)dx... dz □ s - OOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOO Pro všechny spojité funkce f lze opět dokázat existenci Riemannova integrálu a tento výsledek lze snadno rozšířit pro dostatečně spojité funkce na dostatečně rozumných oborech integrace. □ s OOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOO Pro všechny spojité funkce f lze opět dokázat existenci Riemannova integrálu a tento výsledek lze snadno rozšířit pro dostatečně spojité funkce na dostatečně rozumných oborech integrace. Definice Omezenou množinu S C En označujeme za Riemannovsky měřitelnou, jestliže je její charakteristická funkce, definovaná X(x) = 1 pro x G S a %(x) = 0 jinak, Riemannovsky integrovatelná. □ s ooooooo«oooooooooooooo Definice Riemannova integrálu sice nedává rozumný návod, jak hodnoty integrálů skutečně vypočíst (kromě využití výpočetní techniky, kdy je přímé použití definice na místě), okamžitě ale vede k základním vlastnostem Riemannova integrálu (srovnejte s vlastnostmi integrálu v jedné proměnné): □ s ooooooo«oooooooooooooo Definice Riemannova integrálu sice nedává rozumný návod, jak hodnoty integrálů skutečně vypočíst (kromě využití výpočetní techniky, kdy je přímé použití definice na místě), okamžitě ale vede k základním vlastnostem Riemannova integrálu (srovnejte s vlastnostmi integrálu v jedné proměnné): Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí na vícerozměrném intervalu S C En Je vektorovým prostorem a Riemannův integrál Je na něm lineární formou. Pokud je obor integrace S zadán jako disjunktní sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných oborů Sj, je integrál funkce f přes S dán součtem integrálů přes obory Sj. □ s oooooooo»ooooooooooooo Příklad Vypočtěte dvojný integrál '[0,l]x[0,l] jako limitu integrálního součtu. xy dxdy n S - = -E -00*0 4 oooooooo»ooooooooooooo Příklad Vypočtěte dvojný integrál jako '[0,l]x[0,l] integrálního součtu. xy dxdy Řešení Za nulovou posloupnost dělení uvážíme posloupnost (Dn)^L1, kde n-té dělení dostaneme pomocí přímek x = i/n, y = j/n pro i, j = 1, 2,..., n — 1, přičemž hodnoty £;j budeme vybírat z pravých horních rohů dělících čtverečků. □ s 4 Řešení (dokončení) ooooooooo«oooooooooooo lim V n—>oo ^—-' (/ + i)0- + i)ii 0oo i<'j<« ,!<'<« / \loo n 'n(n + l)" 1 4' □ g - = Riemannovsky integrovatelne množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y e [ • • •, xn) CÍXi j ... j cíxn nezávislý na pořadí, ve kterém postupně integraci provádíme. □ s oooooooooooo«ooooooooo Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál / = / 3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2 dxdy. '[0,1] X [0,3] n S - = -E -00*0 oooooooooooo«ooooooooo Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál 1=1 3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2 dxdy. J [0,1] X [0,3] Řešení S využ tím předchozí věty dostává me Jo {£** -1)2 + (y- 2)2 + 2dx) dy = = / Jo [(x - l)3 + R spojitá funkce. Potom platí / f(x1,...,xn)dx1 ...xn = j f(G(t1}..., tn))\ detíD^íri,..., tn))\dt!... dtn. Podrobný formální důkaz nebudeme uvádět, je však přímočarou realizací výše uvedené úvahy ve spojení s definicí Riemannova Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f(x,y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme / f(x,y)dxdy= í f(g(s,t),h(s,t)) JG(T) JT dg dh dg dh ds dt dt ds dsdt. □ S Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f(x,y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme f(x,y)dxdy G(T) f(g(s,t),h(s,t)) dg dh dg dh ds dt dt ds dsdt. Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. □ s Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f(x,y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme f(x,y)dxdy G(T) f(g(s,t),h(s,t)) dg dh dg dh ds dt dt ds dsdt. Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = rcostp, y = r sin ip nl_ (cosLp — rsint£>N ^s\n Lp rcosip Proto je determinant z této matice roven det D1 G(r, 0,

■ E3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = r s\nip, z = z, (http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral# Change_of_variables) Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, (p, z]; r > 0,

■ E3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = r s\nip, z = z, a tedy ícosLp — rs\r\ip 0\ D1 G = s\r\íp rcosíp 0 . (http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral# Change_of_variables) Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, (p, z]; r > 0,

■ E3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = r s\nip, z = z, a tedy (cosíp — rs\r\ip 0\ s\r\íp rcosíp 0 . 0 1/ Proto je det D1 G = r. Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, 0, 9 G [0, tt], (p G [0, 27r]} —> E3 je dáno předpisem x = r sin 9 cos íp, y = r sin ösin uo, z = rcos9, Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, 0, 9 G [0, tt], (p G [0, 27r]} —> E3 je dáno předpisem x = r sin 9 cos íp, y = r sin ösin ip, z = rcos9, a tedy (sin#cos(£> rcos#sint£> —rsin #sin t/A sinösint/? rcos#sint£> r s\r\ 9 cos Lp cos9 —rs\r\9 0 / Časté transformace spouřadnic v £3 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, p]; r > 0,9 G [0,7r],

E3 je dáno předpisem a tedy r s\r\6cosp, y = r s\r\6s\np, z = r cos 6, ŕs\r\6cosp rcos6s\np — r sin ö sin ^ D1G= I s\r\9s\r\p rcos9s\r\p rs\r\9cosp cos9 —rs\r\9 0 Proto je det D1 G = r2 sin3 9 sin2 p + r2 cos2 9 sin 9 cos2 p+ 0 0 O O "3 o + r cos í? sin 9 sin (/? + r sin öcos p = = r2 sin3 9 + r2 cos2 61 sin 9 = r2 sin 9. □ g - = Příklad Vypočtěte integrál / = / ./x2 + y2 +z2 dx dy dz, 'v kde množina V je vymezena plochou x + y + z = z. □ s Příklad Vypočtěte integrál / = / ./x2 + y2 +z2 dx dy dz, Jv kde množina V je vymezena plochou x2 + y2 + z2 = z. Řešení Transformací do sférických souřadnic dostáváme (grafem plochy je koule se středem v [0,0,1/2] a poloměrem 1/2) - promyslete meze! r2ir fx/2 /-COSÖ /= / / / rr2šm6drd6dv = Jo Jo Jo TT