Algebra I, 1. termín, úloha 1, 15. 1. 2009
Jméno :
Necht' G = (G, •) je grupa a H její podgrupa.
a) Klademe
aH = ...................................., G/H = .............................................
Pozor : pokud nezvládnete část a), zbytek "řešení" teto úlohy se při oprave ignoruje.
b) Pro (G, •) = (Sa, o), H = {id, (1, 3)} doplňte
G/H = .........................................................
c) Pro a, b G G je ekvivalentní : aH = bH a b-1a G ...................
DUkaz. = :..........................................................
: ....................................................................
d) G/H je rozklad ňa rrmožme G :
(i) lib. trída je ňeprazdňa, ňebot' .......................................
(ii) ........................., ňebot' ......................................
(iii) ............................., ňebot' .................................
e) Podgrupa H je ňormálňí v G, je-li .......................................................
f) Necht' H je ňormalňí podgrupou grupy G. Na mňoziňe G/H defiňujeme operaci • vztahem
.................................................................... (*)
g) Korektňost defiňice : Máme ukazat, Ze ............................................... implikuje .................................
h) DUkaz korektňosti :
i) UkaZte, Ze pro (G, •) = (Sa, o), H = {id, (1, 3)} predpis (*) ňeňí korektňí.
Body : 3,3,7,7,2,2,4,7,5
Algebra I, 1. termín, úloha 2, 15. 1. 2009
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, M, N, O} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a,b,c}, kde
a : L, M ^ M, N ^ N, O ^ O, b : L, M ^ L, N, O ^ O, c : L, O ^ O, M, N ^ N.
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M. Pritom rádky i sloupce indexujte reprezentanty ve vojenskem usporadýní.
V monoidu M popiste relaci R a L, kde pro p,q G M :
p R q ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) .
Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 1. termín, úloha 3, 15. 1. 2009
Jméno :
a) Necht' A je množina. Tvoří {f : A — A \ \f (A)| > 2} podmonoid monoidu (T(A), o) ? (Odpoveď ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
b) Množina G = | ^ ^ | p, a G Q, p = ^| spolu s operací násobení matic tvoří
grupu (G, •).
í p  a \
Je zobrazení a : (  ^   ^  1 i—► p homomorfismem teto grupy do grupy (M*, •) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkaž/protipríklad: 6 bodu.)
c) Je okruh (Z2[x], +, ■)/(x2 + x + 1) izomorfní s okruhem (Z2[x], +, ■)/(x2 + 1) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení ižomořfismu/uvedení vlastnosti žachovávane ižo-morfismy, v níž se tyto monoidy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 2. termín, úloha 1, 28. 1. 2009
Jméno :
Necht' T (A) značí množinu vsech transformací množiny A a necht' S (A) značí množinu všech permutací množiny A ( = bijekcí A na A ). Necht' o je operace skládání zobrazení. Pro A = {1,... ,n} píšeme strucne Tn a Sn.
a) Pro ktera m, n G N je (Tm, o) izomorfní s podpologrupou grupy (Sn, o) ? Príve pro
Skutecne,
b) Cayleyho veta pro monoidy :
Libovolní monoid (M, •, e) je izomorfní.................... monoidu...........................
Dukaz : Skutecne, definujeme
p : M —► ............. , a ^ pa, kde
Pa : x — .......................
Pak pa G ......................... ,
c) Cayleyho veta pro grupy : Libovolna grupa (M, •) je izomorfní................
Dukaz : Vyuzijeme-li c), zbíva dokazat, ze A to platí, nebot' ........................................
d) Cayleyho veta pro pologrupy : Libovolní pologrupa (M, •) je izomorfní
Dukaz : Skutecne, ............................
e) Pro ktera n G N v (Sio, o) existuje podgrupa izomorfní se (Zn, +) ? Prave pro
Skutecne,
Body : 6,9,9,8,8
Algebra I, 2. termín, úloha 2, 28. 1. 2009
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, P,Q, R, S,T} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
a : L ^ P,  P ^ S,  R, S, T ^ T,  Q ^ R, b : L, Q, S, T ^ T,  P, R ^ Q.
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci R, kde pro p,q G M :
p R q ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) .
Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 2. termín, úloha 3, 28. 1. 2008
Jméno :
a) Necht' A je množina. Tvoří {f : A — A \ \f (A)| < \A\} podmonoid monoidu (T (A), o)?
(Odpoveď ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
b) Množina G = | ^ Q | p, a G Q, p = q| spolu s operací násobení matic tvoří monoid (G, •).
í p  a \
Je zobrazení a : (  q   ^ J ^ a homomorfismem tohoto monoidu do monoidu (R, •) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dUkaž/protipříklad: 6 bodu.)
c) Je okruh (Z2[x], +, ■)/(x2 + 1) izomorfní s okruhem (Z2[x], +, ■)/(x2 + x) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení ižomorfismu/uvedení vlastnosti žachovavane ižo-morfismy, v níž se tyto monoidy liší: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 3. termín, úloha 1, 11. 2. 2009
Jméno :
a) Definujte polynom nad komutativním okruhem (R, + , •). Je to posloupnost ...
b) Definujte součin dvou polynomu.
c) Jake vlastnosti má struktura (R[x], +) ?
d) Proč muzeme psát polynomy ve tvaru anxn + ... + a\x + a0 ?
e) Definujte násobnost kořene.
f) Definujte deriváci polynomu.
g) Necht' c G R je fc-nýsobný kořen polynomu f G R[x]. Pák c je álespon
h) Dokazte tvrzení z g) (na druhou stranu tohoto papíru). Potřebujete-li pomocný vztáh pro derivovaná soucinu, uved'te ho (bez dukazu).
i) Necht' (R, +, •) je teleso...................................
Necht' c G R je fc-násobný koren polynomu f G R [x]. Pák c je
j) Necht' f G C [x] je sesteho stupne s trojnásobným korenem a, dvojnásobným korenem b á jednoduchým korenem c. Co muzeme Hci o korenech polynomu f1 ?
Body : 3,3,4,4,3,3,3,10,3,4.
Algebra I, 3. termín, úloha 2, 11. 2. 2009
Jméno :
V monoidu T (A) vsech transformací množiny A = {L, P,Q, R, S,T} s operací skladaní generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
a : L — P, P,Q,R,T — Q, S — T, b : L — R, P,S,T — S, Q,R — Q. Vyísledek žadejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci R a L, kde pro p, q G M :
p R q ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) .
Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 3. termín, úloha 3, 11. 2. 2009
Jméno :
a) Nechť e = cos + i sin . Rozhodněte, zda množina { a + be \ a,b G Z } je podmono-idem monoidu (R, •).
(Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodu.)
b) Necht'
a : R[x] \ {0}     Z, «(/) = stupeň / .
Je to homomorfismus pologrupy (R[x] \ {0}, •) do pologrupy (Z, •) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipnklad: 6 bodu.)
c) Je multiplikativní pologrupa okruhu (Z2[x]/(x2), +, •) izomorfní s pologrupou (Z4, +) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení izomorfismu/uvedení vlastnosti zachovávane izo-morfismy, v níz se tyto pologrupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.