Algebra I, 1. termín, skupina A, úloha 1, 19. 1. 2010
Jméno :
a) Polynomem nad tělesem (R, + , •) rozumíme posloupnost f = (fo, fi, f2,...), kde
b) Na mnozine R [x] vSech polynomu nad (R, +, •) klademe
{f0ji,f2,--- ) + (go,gi,g2, - - - ) = .............................................................................. a
(foJi,f2,---) ^ (9o,gi ,92,-■■) =..............................................................................
c) Polozíme-li x =.............................................., můžeme psat
f = ...............................................
d) Takto dostaváme komutativní okruh (R[x], +, •). V nem je ideal generovaný polynomem f roven
(f) =.......................................................
e) Klademe
R[x]/(f ) =..................................................., kde.................................................
f) Na teto množine definujeme scítamí a nasobení vztahy
g) Ukazte, ze vase definice sčítaní je korektní:
h) Pro nekonstantní polynom f je zobrazení ....................
"přirozenou" bijekcí mnoziny R[x]/(f) na mnozinu R'".
i) Aby se jednalo o izomorfismus (R[x]/(f), +, •) na (R''', +, •), polozíme
(ao, ■ ■ ■ ,a„) + (bo, ■ ■ ■ ,b..) =........................................................... a
(ao,---,a''J • (bo,---,b.,,) =...........................................................
j) Konečne, prvek....................................... ma v (R[x]/(f), +, •) inverzi prave kdyz
Dokazte ("z vody") nekterou z implikací; uved'te, kterou dokazujete.
Algebra I, 1. termín, skupina B, úloha 1, 19. 1. 2010
Jméno :
a) Polynomem nad tělesem (T, +, •) rozumíme posloupnost p = (p0,p1,p2, ■ ■ ■), kde
b) Na mnozine T [x] vSech polynomu nad (T, +, •) klademe
(po,pi,p2,...) + (qo,qi,q2,...) =.............................................................................. a
(p0,p1,p2,^ ) ^ (q0,q1,q2) = ..............................................................................
c) Polozíme-li x =.............................................., můžeme psat
p =
d) Takto dostaváme komutativní okruh (T[x], +, •). V nem je ideál generovaný polynomem p roven
(p) = ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
e) Klademe
T [x]/(p) =..................................................., kde.................................................
f) Na teto množine definujeme sčítámí a nasobení vztahy
g) Ukazte, ze vase definice sčítaní je korektní:
h) Pro nekonstantní polynom p je zobrazení ..................................................
............................. "přirozenou" bijekcí mnoziny T [x]/(p) na mnozinu T "\
i) Aby se jednalo o izomorfismus (T[x]/(p), +, •) na (T-, +, •), polozíme
(fo, ■ ■ ■,/...) + (go, ■ ■ .,9..) =........................................................... a
(fo,...,f...) ^ (g0,■■■,g..) = ...........................................................
j) Konečně, prvek....................................... má v (T[x]/(p), +, •) inverzi právě když
Dokažte ("z vody") některou z implikáčí; uved'te, kterou dokazujete.
Algebra I, 1. termín, skupina A, úloha 2, 19. 1. 2010
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {1, 2, 3, 4} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a,b}, kde
	1	2	3	4
a	2	4	4	4
b	3	1	3	4
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M. Pritom rádky i sloupce indexujte reprezentanty ve vojenskem usporadaní.
Je treba tež uvest prepisující pravidla.
Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 1. termín, skupina B, úloha 2, 19. 1. 2010
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {1, 2, 3,4, 5} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a,b}, kde
	1	2	3	4	5
a	2	2	4	2	4
b	3	2	3	5	2
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M. Pritom rádky i sloupce indexujte reprezentanty ve vojenskem usporadýní.
Je treba tež uvest prepisující pravidla.
Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 1. termín, skupina A, úloha 3, 19. 1. 2010
Jméno :
a) Nechť zobrazení a : Z — Z5 je dáno předpisem a (a) = [a5]5. Je zobrazení a homo-morfismus grupy (Z, +) do grupy (Z5, +) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dUkaz/proťipríklad: 6 bodu.)
b) Bud' H podmnožina grupy permutací (§10, o) daná takto:
H = { s E §10 I (V x E {!,..., 10} )(2 | (s(x) - x)) }
Je H normainí podgrupa grupy (§10, o) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
c) Je grupa (Q+, •) izomorfní grupe (Q, +) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení ižomorfismu/uvedení vlastnosti žachovávane ižo-morfismy, v nížž se tyto grupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimálni možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 1. termín, skupina B, úloha 3, 19. 1. 2010
Jméno :
a) Nechť zobrazení (3 : Z — Z4 je dáno předpisem a (a) = [a4]4. Je zobrazení (3 homo-morfismus grupy (Z, +) do grupy (Z4, +)?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaz/proťipríklad: 6 bodu.)
b) Bud' N podmnožina grupy permutací (S10, o) daná takto:
N = { s E Sio | (V x E {!,..., 10} )(5 | (s(x) - x)) }
Je N normainí podgrupa grupy (S10, o) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
c) Je grupa (Q*, •) izomorfní grupe (Q, +) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení ižomorfismu/uvedení vlastnosti žachovávane ižo-morfismy, v nížž se tyto grupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimálni možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 2. termín, úloha 1, 26. 1. 2010
Jméno :
a) Definujte polynom nad komutativním okruhem (R, + , •). Je to posloupnost ...
b) Definujte součin dvou polynomu.
c) Proč muzeme psát polynomy ve tvaru anxn + ... + a1x + a0 ?
d) Definujte primitivní polynom (nad Z).
e) Formulujte vetu o součinu dvou primitivních polynomu.
f) Dokažte tvrzení z e).
g) Doplňte : f = anXn + ... + aix + ao G ......, an = 0, p G       q G       f (p/q)
0, ................................ > p | ........................................
h) Dokaňzte tvrzení z g).
i) Doplnte : f G ......, p G      q G      r G       f (p/q) = 0   => ......        1 f
j) Dokaňzte tvrzení z i).
Body : 2,2,2,2,2,8,3,8,3,8.
Algebra I, 2. termín, úloha 2, 26. 1. 2010
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {1, 2, 3, 4, 5,6} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
	1	2	3	4	5	6
a	2	6	6	5	6	6
b	3	4	6	6	4	6
Vásledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M. Pritom rádky i sloupce indexujte reprezentanty ve vojenskem usporadáná
Je treba tež uvest prepisující pravidla.
V monoidu M popiste relace R a L, kde pro p,q G M :
p R q ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) .
Pozor : transformace aplikujeme zprava.
Algebra I, 2. termín, úloha 3, 26. 1. 2010
Jméno :
a) Necht' zobrazení a : Z6 — S6 je dáno předpisem a([a]e) = (1, 2)a o (3,4,5)a. Je zobrazení a homomorfismus grupy (Z6, +) do grupy (S6, o) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dUkaz/protipríklad: 6 bodU.)
b) Bud' grupa (G, ©) dána jako součin spočetně mnoha kopií grupy (Z, +), tj. G = ZN (= množina vSech zobrazení N do Z) a operace © je definovana pro f,g G G takto: f © g : N — Z je zobrazení dane predpisem (f © g)(i) = f (i) + g(i), pro i G N.
Bud' F = { f G G  |  (3 n G N)(V i G N)(i > n f (i) = 0) }. Je F normalní
podgrupa grupy (G, ©)?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaz/protipríklad: 6 bodu.)
c) Je grupa (S3, ◦) x (S5, o) izomorfní grupe (S6, ◦) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení izomorfismu/uvedení vlastnosti začhovívane izo-morfismy, v nízz se tyto grupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 3. termín, úloha 1, 9. 2. 2010
Jméno :
a) Definujte polynom nad komutativním okruhem (R, + , •). Je to posloupnost ...
b) Definujte součin dvou polynomu.
c) Proč muzeme psát polynomy ve tvaru anxn + ... + a1x + a0 ?
d) Definujte primitivní polynom (nad Z).
e) Formulujte vetu o součinu dvou primitivních polynomu.
f) Dokažte tvrzení z e).
g) Doplňte : f = anXn + ... + aix + ao G ......, an = 0, p G       q G       f (p/q)
0, ................................ > p | ........................................
h) Dokaňzte tvrzení z g).
i) Doplnte : f G ......, p G      q G      r G       f (p/q) = 0,................................... =>
. I f (r).
j) Dokaňzte tvrzení z i).
Body : 2,2,2,2,2,8,3,8,3,8.
Algebra I, 3. termín, úloha 2, 9. 2. 2010
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {1, 2, 3, 4, 5,6} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
	1	2	3	4	5	6
a	3	4	6	6	4	6
b	2	6	6	5	6	6
Vásledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M. Pritom rádky i sloupce indexujte reprezentanty ve vojenskem usporadáná
Je treba tež uvest prepisující pravidla.
V monoidu M popiste relace R a L, kde pro p,q G M :
p R q ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) .
Pozor : transformace aplikujeme zprava.
Algebra I, 3. termín, úloha 3, 9. 2. 2010
Jméno :
a) Nechť zobrazení a : Z[x] — Z[x] je dáno předpisem a(f) = f2. Je zobrazení a homomorfismus z okruhu (Z[x], + , •) do sebe ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dUkaz/proťipříklad: 6 bodu.)
b) Uvazujme grupu permutací S(N) nekonečné množiny N. Bud'
H = {f e S(N) I (3 n e N)(/ra = id) } .
Je H normální podgrupa grupy (S(N), o) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaz/protipríklad: 6 bodu.)
c) Existuje injektivní homomorfismus z grupy (S4, o) do grupy (S3, o) x (S3, o) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení homomorfismu / dukaz neexistence : 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, náhradní termín, úloha 1, 11. 2. 2010
Jméno :
Necht' T (A) značí množinu vsech transformací množiny A a necht' S (A) značí množinu všech permutací množiny A ( = bijekcí A na A ). Necht' o je operace skládaní zobrazení. Pro A = {1,... ,n} píšeme strucne Tn a Sn.
a) Pro ktera m, n G N je (Tm, o) izomorfní s podpologrupou grupy (Sn, o) ? Príve pro
Skutecne,
b) Cayleyho veta pro monoidy :
Libovolní monoid (M, •, e) je izomorfní.................... monoidu...........................
Dukaz : Skutecne, definujeme
p : M — ............. , a ^ pa, kde
Pa : x — .......................
Pak pa G ......................... ,
c) Cayleyho veta pro grupy : Libovolna grupa (M, •) je izomorfní.................
Dukaz : Vyuzijeme-li b), zbyva dokazat, ze A to platí, nebot' ........................................
d) Cayleyho veta pro pologrupy : Libovolní pologrupa (M, •) je izomorfní
Dukaz : Skutecne, ............................
e) Pro kterí n G N v (Sio, o) existuje podgrupa izomorfní se (Zn, +) ? Prave pro
Skutecne,
Body : 6,9,9,8,8
Algebra I, náhradní termín, úloha 2, 11. 2. 2010
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {1, 2, 3, 4, 5,6} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
	1	2	3	4	5	6
a	3	4	6	6	4	6
b	2	6	6	5	6	6
Vásledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M. Pritom rádky i sloupce indexujte reprezentanty ve vojenskem usporadáná
Je treba tež uvest prepisující pravidla.
V monoidu M popiste relace R a L, kde pro p,q G M :
p R q ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) .
Pozor : transformace aplikujeme zprava.
Algebra I, náhradní termín, úloha 3, 11. 2. 2010
Jméno :
a) Nechť zobrazení a : Z2[x] — Z2[x] je dáno předpisem a(f) = /2. Je zobrazení a homomorfismus z okruhu (Z2[x], +, •) do sebe ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dUkaz/proťipříklad: 6 bodu.)
b) Uvazujme grupu permutací S(N) nekonečné množiny N. Bud'
H = { f e S(N) I (3 n e N)( /ra = id) } .
Je H normální podgrupa grupy (§(N), o) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaz/protipríklad: 6 bodu.)
c) Existuje injektivní homomorfismus z grupy (S5, o) do grupy (S4, o) x (S4, o) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení homomorfismu / dukaz neexistence : 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.