1. Výpočet determinantu
5
1.8. Definice. Nechť A = (a^) je čtvercová matice řádu n; nechť je zvoleno k jejích řádků a sloupců k < n a 1 < i1 < i2 < • • • <ik < n, 1 < j1 < j2 < • • • < jk < n. Pak matice
M
(   Oiiiji      aiiJ2      ■ ■ ■ aí\jk ^
se nazývá submatice matice A určená řádky ii, ■ ■ ■, ik a sloupci ji, ■ ■ ■ ,jk. Její determinant
det M se nazývá minor řádu k matice A.
Zbývajícími (n — k) řádky a (n — k) sloupci je určena tzv. doplňková submatice M k sub-
matici M a její determinant det M se nazývá doplněk minoru detM.
Označme sm = h + iri + • • • + h + ji + jri + • • • + jk- Pak číslo (—1)SM det M se nazývá
algebraický doplněk minoru det M.
1.9. Veta. (Laplaceova veta) Nechť A = (aij) je čtvercová matice radu n, nechť je pevně zvoleno k radkuu matice A, kde 0 < k < n. Pak determinant matice A je roven sou čtu vsech (k) soucinU minoruu řádu k, vybraných ze zvolených k řadků, s jejich algebraickými doplnký.
Řešené příklady
Uloha 1: Spo čt e te determinant matice
A
V
0
2
0
-3
0
3
-1
1
(a) prevedením na schodovitý tvar pomocí elementárních áprav, které nemení hodnotu determinantu
(b) uz itím Laplaceovy vety
Řešení: (a) P revedeme na schodovití tvar. Nejprve ke t retímu rídku p ricteme -1 nísobek prvního radku a ke ctvrtemu radku pricteme -2 nísobek prvního radku. Pak ke čtvrtému řádku přičteme | násobek druhého řádku.
det
10
02 10
01
31 -1 1
det
10
02 00
\2  -3    1    0 /
0
3
-1
\
det
0 -3  1 -2
1 0 0 1
0 2 3 1
0 0 -1 0
Vo 0 £ -\j
6
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nyní p ři čteme ke čtvrtému ř ádku 5 násobek t ř etího řádku, č ímž dostáváme schodovitý tvar á determinant se rovná součinu prvku ná hlávní diagonále.
det
( 1 0 0     1 \
0 2 3 1
0 0 -10
Vo 0 0 -\
12(-1)(4)
1
(b) Uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku:
det
1
0
1
2
0 2 0
-3
0
3
-1
1
1
1 1
0
1 det
2 0
-3
3
-1 1
1 1 0
+ (-1)4+11det
0 2 3
1 0 -1
2 -3 1
(-9 - 3 - 2) - (-9 - 4 - 2)
1
Uloha 2: Rozvojem podle více řádků urCete determinant matice
A
10
30 41
-3 -1
20 -1 0
5 1
0 -2
Řešení: Vybereme si první a druhý řádek, protože tyto řádky obsahují nejvíce nul. V rozvoji pak musíme postupne procházet vSechny dvojice sloupcU. Vidíme, že vSechny cleny determinantu krom e druháeho jsou nulováe a vyápo cet se tedy velmi žjednodu sáí.
det(A) = (-1)1+2+1+2 det ( J  o )      ( [j  -2 ) + (-1)1+2+1+3 det ( J \
de^( -11   -12)+(-1)1+2+1+4 de^J  0 ) det ( -  0 ) +(-1)1+2+2+3
det ( 0  -1 ) det ( -'a + (-1)1+2+2+4        0  ^ -'a +
+ (-1)1+2+3+4 det( -21  0)de^ -4a  -\)=(-1)7 de^1  -2 J det ( ) =
= (-1)(-1 - 6) (-2 + 1) = -7
1. Výpočet determinantu
7
Uloha 3: Spočtěte determinant matice
A
rádu n.
Riešení: Ke vS em radkum p r ičteme první rádek
/	1	2	3 ...	n- 1	n
	-1	0	3 ...	n- 1	n
	-1	-2	0 ...	n- 1	n
v	-1	-2	-3 . . .	-n + 1	0
det
1	2	3 ...	n- 1	n
-1	0	3 ...	n- 1	n
-1 1	-2 n	0 ...	n- 1 i i	n n
-1 -2 -3
-n
det
/1  2    3    ...    n -1     n \ 0  2  2.3  ...  2(n - 1) 2n 0  0   3    ...  2(n - 1) 2n
+ 1 0 y
0 0 0
0
n
n!
Uloha 4: Odvod'te rekurentní vztah pro výpo č et determinantu matice
(x + y xy 0 ... 0 1 x + y xy ... 0 0        1     x + y  ... 0
0 0 0
\
V
000
raádu n.
Riešení: Ude láme Laplaceuv rozvoj podle prvního sloupce
1  x + y y
det An = (x + y) det
(x + y xy 1     x + y
V
0
0
00
00
1 x + y y
+ (-1)2+1 det
xy 0 1   x + y
V
00
00
00
1 x+ y
8
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
První matice je vlastně shodná s původní maticí, pouze je o řád menší. U druhé matice provedeme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku. Pak dostáváme
det An = (x + y) det An _ 1 — xy det An_2.
Úloha 5: Určete determinant matice řádu n (tzv. VandermondUv determinant).
det
íl
1  x2 x2
i
\ 1    Xn Xn
vn—2 n — 1 „n—2     „n — i
\
„n—2     „n—i i
Řešení: Od každého sloupce, kromě prvního, odečteme x\ násobek předchozího sloupce. Budeme postupovat od posledního sloupce až ke druhemu.
Vn(„i ,„2, . . . ,„n) = det
/ 1       0 0
1    In      li    In      1 il n
\
„n — 2
n
„ i „2
n
Nyní udelame Laplaceův rozvoj podle prvního radku a jednotlive prvky determinantů upravíme vytykaním.
Vn(„i, „2> . . . > „n)
det
/ „2 — „i    „2 („2 — „i) „3 — „i    „3 („3 — „i)
„n—3(„3 — „i) „n—2(„3 — „o
V..' _        „i    „  („ _        „i ) „n  3 („ _        „i )    „n  2 („ _        „i ) /
Vytknemeli z kazdeho fadku, zustane nam determinant, ktery je Vandermonduv determinant fadu n — 1s parametry x2,..., xn.
Vn(„i, „2, . . . , In) = („2 — „i) („3 — „i) ... („n — „i) det
1 „2 1 „3
1 „n
„n 3 „n 2 „2 „2
„n 3 „n 2 „3 „3
„ nn     3        „ nn 2
A tedy
Vn^i,^, . . . ,„n) = („2 — „i) („3 — „i) ... („n — „i) K —i („2, . . . , „n)
0
0
1. Výpočet determinantu
9
Tím jsme získali rekurentní formuli, která platí pro n > 1. Indukcí ted' snadno nahledneme výsledne resení.
V„(Xi,X2, ...,£„) = (X2 — Xi) (£3 — Xl) . . . (x„ — Xi) (X3 — X2) . . . (x„ — £2)(x„ —
Vn(x1j X2? . . . , Xn) (xi      Xj)
Cvičení
1. SpoCtete poCet inverzí v dane permutaci:
(a) (2,1, 7, 9, 8, 6, 5, 3,4)
(b) (9, 8, 7, 6, 5,4, 3, 2,1)
2. Urcete paritu nasledujících permutací:
(a) (4, 6,1, 5, 3, 2)
(b) (6, 3,1, 2,4, 5)
(c) (3, 7, 6, 2,4,1, 5)
(d) (4,1,3,7,2,5,6)
3. Urcete x, y tak, aby poradí
(a) (1, 2, 7,4, x, 5, 6, y, 9) bylo sude.
(b) (5,1, y, 8, 9,4, x, 6, 3) bylo liche.
4. Zjistete paritu nísledujících permutací.
(a) (n,n — 1,2,1)
(b) (1, 3, 5,..., 2n — 3, 2n — 1, 2,4,..., 2n)
(c) (2, 4, 6,..., 2(n — 1), 2n, 1, 3,..., 2n — 1)
(d) (2, 5, 8,..., 3n — 1,1, 4, 7,..., 3n — 2, 3, 6, 9,..., 3n)
(e) (2,1,4, 3,..., 2n, 2n — 1)
5. Rozhodnete, zda se dany soucin vyskytuje v determinantu matice A radu n.
(a) n = 6,        «43 «14 «52 «66 «25
(b) n = 8        «17 «43 «21 «64 «35 «56
6. Urcete vsechny cleny determinantu matice A rídu 4, ktere obsahují prvky a12, a34.
10
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
7. Spočtěte determinant matice podle definice.
A
(-24)
B
3    -2 -4 1     3 2 -2  -4 6
C
3
-1 2
-1
3
4
4
-2 1
D
4 -3 5 -3    2 -8
1  -7 -5
E
031 112
324
F
1
-i
-i   1 + i
8. Spočtete determinant úpravou na schodovitý tvar.
A
C
E
G
K
í	3
	-3
	2
	-1
í	2
	-4
	3
	2
	-1
í	1
	5
	-1
	2
í	0
	1
	3
\	1 3
-2 -5
1
0
1 -2\
20
-2 -4 31
B
1
3 5
2 2
-1
2
-2 -1
3
2
-1 1
3 1
J
-1
1
-2 -1
3
-3
-5 4
7
9
8
-5 -3 -2 -8 -4 -5
H
-2  3 1 -9  6 3 2  -6 -2 861
l-   1 i
2     j 2
Í I o I o oy
/  1 2 3 4 \
-3 2 -5 13
1 -2 10 4
-2 9 -8 25
( 7 6 9 4 -4 \
1 0 -2 6 6
7 8 9 -1 -6
1 -1 -2 4 5
-7 0 -9 2 -2
F
		2	1	0	2	1	
		1	0	2	1	2	
D	=	1	2	1	0	2	
		0	2	2	1	1	1
		2	1	1	2	0	)
2		1	3	1 \			
	1	0	1	1			
	0	2	1	0			
	0	1	2	3			
1		3	1	5	3	\	
-2 -7			0	-4	2		
0		0	1	0	1		
0		0	2	1	1		
0		0	0	1	1	)	
í
1 -1 13 -1 -1 -3 0
1 -2
-1 3 43 -8 -13
1
1 - i 0
\
L
4 4 -1 0 -1 8
2 3 7 5 2 3
3 2 5 7 3 2 1 2 2 1 1 2
1 7 6 6 5 7
2 1 1 2 2 1
0
1
J
1. Výpočet determinantu
11
M
(	1	5	3	5	-4
	3	1	2	9	8
	-1	7	-3	8	-9
	3	4	2	4	7
{	1	8	3	3	5
N
-5 -7 -2
0
2
6
5
3
04 0 -2 46 -4 10 0 -2
2 0 0
-2 16
-5 2
0 0
-1 15 -5
1 0
14 3
6
0
O
4335 3432 3254 2423
í
Q
3
4
5
-3
2
-3
4 2
p
5
-4
4 -2 0 5
3 2 -2 1
-2 1 3 -1
2 3 -6 -3
-2 -3 -7 429
R
63 56 03
41
8 4 4
-4
-4
2 2
6
9. Spočtěte determinant matice pouze užitím Laplaceovy věty a definice.
123456 654321 123400 432100 120000 210000
A
B
10. Spočtěte determinant řádu n > 1.
A
f a xc xc
xx a cc
cc xx a
rp rY> rp
•A iA iA
x x \ x a
B
10		2	0	3	0	
51		4	2	7	3	
	10	4	0	9	0	
81		5	3	7	6	
91		5	4	3	8	
\	10	7	0	9	0	
	/ x	y	0		0	
	0	x	y		0	0
	0	0	x		0	0
	0	0	0		x	y
	{ y	0	0		0	x J
C
í a0 1 1 1 ai 0 1    0 a2
100
11
00 00
0  an J
D
ai
an-1
\ an
-1 0
x —1 0 x
0 0
0 0
0 0
—1
0 0
00 00 00
x
0
—1
x
12
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
	( ao	a1	a2	• • •    an —1	an \
			0	... 0	0
E =	0	—y2 n	n	• •• 0	0
\ y    0 0
11. Spočtěte determinant matice řádu n > 1 úpravou na schodovitý tvar
A
C
E
G
/ 0   1 1
n n n
1
a1 a2
11
a2	1	0	... 0	0
a3	0	1	... 0	0
an	0	0	... 0	1
í 2	2	2	. . . 2	3 ^
2	2	2	... 3	2
2	2 n	2 n	. . . 2 n	2 o
	3	2	2	. . . 2	2
	1	n	n	. . . n	n
	n	2	n	. . . n	n
=	n	n	3	. . . n	n
F
nn
11
a1 a1 — b1 a2 — b2 a2
an
an
1
1	2	3		a—1	a
—1	0	3		a—1	a
—1	—2	0		a—1	a
—1	—2	—3		—a + 1	0
—	n	1	1	. . . 1	
1	1	—n	1	. . . 1	
1		1	1—	n  ... 1	
1		1	1	. . . 1	1
x1	a12	a13		a1(n-1)	a1n
x1				a2(n-1)	a2n
x1	X2	X3		a2(n-1)	a3n
n
y X1     X2 X3
1
a1
a2
an
H
123
2 3 4
3 4 5
nnn
n— 2  n— 1 n n— 1     n n n       n n
n
nn
	1	a1	a2     . . .	an
	1		a2     . . .	an
I =	1 1	a1	a2 + b2 ...	an i i.
\ 1     ai «2      ...  a„ + bn J
12. Odvoďte rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice.
1. Výpočet determinantu
13
í 2	1	0	... 0\
1	2	0	... 0
0	1	2	. . . 0
Bn
0	0	0		2	J		
f 5	6	0	0	0		0	
4	5	2	0	0		0	0
0	1	3	2	0		0	0
0	0	1	3	2		0	0
0 0 0 0 0 ... 3 2 0 0  0  0  0  ...  1 3
3	2	0 . . .	0
1	3	2 . . .	0
0	1	3 . . .	0
0	0	0 . . .	3
		í1	20
0	. . . 0	0
0	. . . 0	0
0	. . . 0	0
3	. . . 0	0
0 0 0 0 0 . . . 5 3 0 0 0 0 0 . . . 2 5
En
í 7 5 0 2 7 5 0  2 7
00 00 00
V
000
G2n
í x 0 0 x
0 y V y 0
13. Re s te rovnici:
27 0 y A
y0
x0 0x
(x + 1 x 1      x + 1
F
n
\
0
0
1
0
0
x
x+1 0
0 0 0
0 0 0
1 x+ 1
Hn
1100 1110 0111
0000
00 00 00
11
(a) det
í x - 1 -3 \ ^ 2 - x   5 )
3
(b) det
(
sin x cos x
-3 cos x sin x
)
2 sin2
14. Spo Ct ete determinant (užijte postupu z úlohy 5).
í 1 -11 -1 \       t 1 1 1 1
2222
A
12   4 8
V 1 -2 4 -8 y
í1
xi + 1
B
1
2  1 -2 3 -1
4   14    9 1
8 1 -8 27 -1 16 1 16 81 1
C
x2i + xi
1
x2 + 1 x22 + x2
xn-1 + xn-2    xn-1 + xn-2
xi        + xi x2        + x2
1
xn + 1
2
2
nn
xn-1 + xn-2
xn    + xn
14
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
15. Laplaceovým rozvojem podle třetího sloupce spočtěte determinant matice
A
fx -10     0 \
0 x -10
0 0    x -1
\^ a0 Qi     (12     a3 )
16. Vyjádřete polynom stupne n pomocí determinantu stupně n — 1. (Využijte výsledku předchozího příkladu.)