5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice 45 5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE
Teorie
5.1. Definice. Lineárni operátor je lineárni zobrazení </> : V — V, kde V je vektorový prostor.
5.2. Definice. Necht' </> : V — V je lineárni operátor, a = (vi, v2,..., vn) báze vektoroveho prostoru V. Pak matice operátoru </> v bázi a je matice (</>)«,« = ), kde ve sloupci j jsou souradnice vektoru </>(uj) v bázi a.
5.3. Veta. Nechť ^ : V — V je lineírní operítor, a = (vi, v2,..., vn), /// = u2,..., un) jsou dvě bíze vektorovího prostoru V. Pak pro matice zobrazení v bazích a a // plat/ tento vztah:
(</>W = (id)^,a • (<<<)a,a • (i'd)a;/3,
kde (id)a^ je matice prechodu od bíze /// k bízi a.
5.4. Definice. Řekneme, ze matice A a B jsou podobne, existuje-li regulárni matice P taková, ze B = P-i • A • P.
5.5. Definice. Necht' V je vektorový prostor a : V — V je lineárni operátor. Podprostor U C V se nazývá invariantni podprostor operátoru <<<, jestliže <<>(U) C U.
5.6. Definice. Vektor u = o, u G V, kde V je vektorový prostor, se nazývá vlastni vektor lineárního operátoru <<<, existuje-li cislo A G K takove, ze
^(u) = Au
Číslo A se pak nazývá vlastni číslo.
5.7. Poznámka. Je-li matice lineárního zobrazeni A, pak vlastni vektorý x jsou nenulová reseni rovnic
Ax = Ax.
Tato soustava je ekvivalentní se soustavou
(A - AE)x = 0,
coz je homogenní soustava rovnic, která má nenulove reseni prive tehdý kdýz
det(A - AE) = 0
5.8. Definice. Rovnice det(A — AE) = 0 se nazývá charakteristická rovnice matice A.
46
í. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
5.9. Veta. Vlastní čísla jsou prúvě koreny charakteristickú rovnice. Je-li číslo A0 vlastní číslo, pak vlastní vektory jsou rešením soustavy rovnic (A — A0E) = 0.
5.10. Definice. Algebraická násobnost vlastního (čísla je násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristické rovnice. Geometrická násobnost vlastního čísla je dimenže pod-prostoru Ker((( — A id).
5.11. Věta. Je-li A = a + bi vlastní číslo reálné matice A s vlastním vektorem u = Uí+iu2, kde U\,u2 E Rn, pak A = a — bi je taky vlastní číslo s vlastním vektorem u = u\— iu2.
5.12. Poznámka. Podprostor generovaný vektory u1,u2 v Rn ž predchoží vety je invariantní podprostor zobrazení (f. Platí, že
A • («i + iu2) = (a + ib)(u1 + iu2).
Rožepsáním na reálnou a imaginarní část rovnice dostávame
A • u1 =
A • U2 =
Zobražení (f má tedy v baži [u1, u2] matici
—bU2
au1
bu1 +au2
a —b ba
Číslo a + ib můžeme napsat v goniometrickém tvaru a + ib = \/a? + 62(cos a + i sin a), pak maá matice žobraženáí tvar
/ cos a sin a    cos a
sin a    cos a
Tento operátor pusobí jako otocení o áhel a složene se stejnolehlostí na dvourožmernem invariantním podprostoru žobražení (f.
5.13. Veta. Necht (f je linearní zobrazení a necht a = (v1,v2,..., vn) je baze tvorení vlastními vektory príslušnými vlastním císluum A1, A2,..., An. Pak matice linearního zobrazení v títo bazi mí tvar
(<()«,«
A1 0 0 A2
00
0
0
5.14. Veta. Vlastní vektory príslušní rUznym vlastním císluum jsou linearnč nezívislí.
5.15. Definice. Necht' U a V jsou dva euklidovske vektorove prostory. Zobražení (f : U — V se nažyvá ortogonální, práve když (f(u1), ff(u2)) = (u1, u2) pro Vu1, u2 G U.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
47
5.16. Veta. Necht </> : U — U je linearní operátor. Pak </> je ortogonální zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormílní bazi a platí, že A-1 = AT.
5.17. Definice. Matici A, pro kterou platí A-1 = AT, nazýváme ortogonální matici.
5.18. Definice. Necht' U a V jsou dva unitární vektorové prostory. Zobrazení </> : U — V se nazýva unitární prave kdýZ </>(u2)) = (u1,u2) pro Vu1,u2 G U.
5.19. Veta. Necht </> : U — U je linearní operítor. Pak </> je unitarní zobrazení, pravě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi a platí, že A-1 = A .
5.20. Definice. Matici A, pro kterou platí A-1 = A , nazýváme unitární maticí
5.21. Veta. Je-li matice A unitírní, pak | det A| = 1 a její vlastní čísla mají absolutní hodnotu rovnu 1.
5.22. Veta. Necht </> : U — U je unitírní zobrazení. Pak v U existuje ortonormaalní baze a tvoěrenía vlastními vektory takovía, ěze v tíeto bíazi mía matice zobrazení diagonaílní tvar
(</>)«,«
/ A1   0   ...   0 \ 0   A2  ... 0
V 0    0   ...  \n j
5.23. Poznamka. Každá ortogonální matice A je unitární. Má-li A reálná vlastní Čísla, pak jsou to 1 nebo -1.
Ma-li komplexní vlastní Číslo a + ib, pak má take vlastní Číslo a — ib, a protože |a + ib| = 1, tak a2 + b2 = 1. Je-li u1 + iu2 vlastní Číslo, pak u1 — iu2 je take vlastní Číslo. Z toho, že (u1 + iu2) _L (u1 — iu2) plýne, že = ||u2|| a u1 _L u2. u1, u2 tedý tvorí ortogonální bazi dvourozm erníeho invariantníího podprostoru.
A(u1 + iu2) = (a + ib)(u1 + iu2)
Z toho plýne
V bazi u1, u2 je tedý matiČe tohoto zobrazení (tuto bázi nazývame kanoniČká baze)
(a  — b \ = / čos a  — sin a \ \b   a J     \ sin a    cos a  J '
Toto zobrazení je tedý otočení o uhel a .
Z toho plýne, z e kaz da ortogonální matice r ádu 3 reprezentuje geometrický oto C ení kolem osý slo z ene p r ípadn e se sýmetrií podle roviný kolme k teto ose prochazející po C atkem.
48
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
_Řešené příklady
"Úloha 1: Najdete vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru zadaného maticí
A = (:Í 1Í)
ve standardní bazi.
Řešení: Podle vety 5.9. jsou vlastní čísla resením charakteristicke rovnice det(A — XE) = 0. Spocteme tedy tento determinant, položíme ho roven nule a resíme charakteristickou rovnici.
/l : X    —1       1 \
det      —1    1 — X     1 =0
z toho plyne
(1 — X)2(3 — X) + 1 + 1 + (1 — X) + (1 — X) — (3 — X) = 0 (1 — X)(2 — X)2 = 0
Jako resení charakteristicke rovnice dostívíme dve vlastní císla, Xi = 1 s algebraickou nasobností 1, X2 = 2 s algebraickou nasobností 2. Podle vety 5.9. jsou vlastní vektory re seníím homogenníí soustavy rovnic (A — XE) = 0.
Pro Xi = 1 mía homogenníí soustava tvar
0    —11   |  0 \      / 1    0    —1   |  0 \ —1    0   1   |  0     ~     0   1    —1   |  0 .
—1 —1 2 | 0        0 —1  1   | 0
Zavedeme parametr t, x3 = t, pak x2 = t, x1 = t.
Resením je podprostor generovaní vektorem (1,1,1)T, tedy podprostor vlastních vektoru
[(1,1,1)T ].
Geometrickí nasobnost vlastního císla X1 je 1. Pro X2 = 2 mía homogenníí soustava tvar
—1 —1 1 | 0        —1 —1 1 | 0
—1   —11   |  0     ~      0     0   0  |  0 .
—1 —1 1 | 0 0   0  0 | 0
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
49
Zavedeme parametry t a s, x3 = t, x2 = s, pak x\ = t — s.
Řešením je podprostor generovaný vektory (1, 0,1)T, (—1,1, 0)T, tedy podprostor vlastních vektorů
[(1, 0,1)T, (—1,1, 0)T]. Geometrická nasobnost vlastního Čísla A2 je 2 .
Všimnete si, ze v bazi a : zobrazení diagonální
[(1,1,1)T, (1, 0,1)T, (—1,1, 0)T] 100
je matice daníeho lineaírního
100 020 002
"Úloha 2: Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů matice
A
\
1 i v2 \
2 2 2 1
1 1 V2
2 2 2
f f o y
zjistete, jake geometricke zobrazení eůklidovskeho prostorů R3 popisuje linearní operátor daný toůto maticí. Určete matici operatorů ve vhodne ortogonalní bazi.
Řešení: Lehce overíme, ze A • AT = E a tedy matice A je ortogonílní. Nejprve hledíme vlastní císla, to znamena, ze najdeme charakteristickí polynom.
\
det
^  2 _ A 2
1 1 X
2 2 _ A
2 2
V2 2
2
+ 1 + ! + (J-a) + 1a = -a3 + a2-a + i
4   4    2 4
Ře seníím charakteristickíe rovnice jsoů vlastníí cíísla
Ai = 1      A2 = i      A3 = —i. Dale hledíme vlastní vektory, tj. resíme vzdy homogenní soůstavů rovnic (A — AE) = 0. Pro Ai:
/ \
v2
2
1
2 _ 1
2 v2
2
v2 2 v2 2	0	\
	0	
—1	0	/
Řesením teto soůstavy je podprostor vlastních vektorů [(1,1, 0) Pro A2 = i:
Ti
/	1 -i 1 2 ' 2	v2 2	0	\
	2        2 4	V2 2	0	
\	72 72 2 2	—i	0	/
i
1
2
1—i 0
1
2
1i
v2
2 0
2i
0 0 0
50
í. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(—1,1, \Í2í)T]. Podle vety 5.11. je podprostor vlastních vektorů pro A3 roven
[(-1,1,—v^i)7]-Podle poznámky 5.21. zvolíme novoů realnoů ortonormální bazi
Protože A2 = i, tak cos a = 0asino; = lz toho plyne, že se jedná o otočení o úhel | kolem osy dane smerem (1,1, 0)T, můsíme ale jeSte ůrCit orientaci otoCení. Z matice zobrazení je videt, ze drůhy vektor baze se zobrazí na tretí vektor bíze a tretí vektor baze se zobrazí na vektor opaCny k drůhemů vektorů baze. OtoCení je tedy ve smerů od drůheho ke tretímů vektorů bíaze.
Tvar matice operatorů v nove bízi je
"Úloha 3: Ve standardních soůradnicích napiste matici zobrazení, ktere je otocení o íhel | kolem přímky x = 0, y — z = 0.
Řešení: Nejprve ůrcíme matici v jist e ortonormalní bazi /3, ve ktere nm matice tvar
Zobrazení je otočení kolem přímky x = 0, y — z = 0, první vektor báze f3 tedy bude jednotkový směrový vektor této přímky (0, ^,^)T. Pak (3 doplníme na ortonormální
a =
10
0 cos a 0  sin a
bazi:
^4) •("•t-t)
Matice zobrazení ve standardní bízi pak je
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
51
kde (id)Ě;/3 je matice přechodu od báze P k bázi e.
Z toho plyne
0
VI 2
V2 2
(idk/3
0
2
V2 2
1 0
0
1
0
VI Q 2 w
V2
2
0
(4>)e,e
0
VI
2
72
2
0
2
2
0
V2 2
VI
2
0
1 0 0
10
0 0 -1
0 1 0 0
2
0 ^
w 2
10
0
V2 2
V2
2
10
V2 2
V2
2
0
_V1 2
72
2
V2
2
1
2
1
2
V2 \ 2 1
72 2
72
2
Cvičení
1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru daného maticí:
A
D
G
2
5
-1
7
10 12
-1
-3 -3
-1
3
-12
-19 -24
2
3
-2
6
10
13
B
E
0
-4
-2
4
1
4
10 40 12
-5
4
-1 1
H
7
5 9
-5 0
4
C
F
4
5
6
-5
7
2
3
4
3 -1 0 110 305
4 -1 3
42 64 53
-5 -9 7
1 1 1 1
=     11    -1 -1 J =     1   -11 -1
1 -1 -1 1
2. V R3 určete podprostor vlastních vektoru pnsluSných vlastní hodnotě A
A
300 030 003
B
310 030 003
C
310 031 003
0
0
3
1
3.
0
0
0
4
52
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
3. Zjistete, zdaje dana matice podobna diagonílní matici nad poli Q, R, C. (To nastane prave tehdy, když vlastní vektory generují celí prostor.)
A
52
4 5
6 4-4
-3 -4 -4
B
1
7
5
9
-5
0
4
C
42 64
5 3 7
-5 -9
7
4. Najdete vlastní čísla a vlastní vektory matic.
A
0
2 0
B
1
	1	2	0	3	\
	-1	-2	0	-3	
	0	0	2	0	
l	1	2	0	3	/
5. Najdete vlastní císla a vlastní vektory matice linearního operatoru. U vlastního císla urcete jeho algebraickou a geometrickou nísobnost a zjistete, zda je matice podobna nejake diagonalní matici.
A
D
1
0
-1
-1
1 0
0
-3 1
40
B
0 0
2 2
-1 1
0
-2 0
-1
E
2	-1			C	=
1	2	J			
2		0	2	0	
	1	2	2	-2	
	0	0	2	0	
	0	0	1	2	
4
5
6
-5
7
2
3
4
6. Zjistete, jak zavisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matice na parametrech a, b.
A
230 410
a  b 2
B
2 3 0 4 1 0
a  b  2 + a
7. Zjistete, jak vypadají a jaka geometricka zobrazení urcují vsechny ortogonílní matice radu 2.
8. Analízou vlastních císel a vlastních vektoru najdete matici linearního operátoru ve vhodne bízi, pomocí ktere urcíte, o jakou geometrickou transformaci se jedna, je-li operator zadan ve standardní bízi maticí:
A
C
2	2	-1
2	-1	2
-1	2	2
2	-1	2
2	2	-1
1	2	2
B
D
1	1	-y/2
1	1	v2
/2	-v2	0
3	1	-Vq
1	3	
/6	-Vě	2
4
2
1
0
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
53
E
>2
2 0
-1 -1 y/2
F
/ 1    1     1     1 \
11 1 -1
1 -1 -1 1
-1 -1 11
G
1 1 1 1
1 1 -1 -1
-1 1 -1 1
-1 1 1 -1
H
3
6
2
3 6
K
3
i
1 4
3-^2 3V2
3 _3
2	2	-1	
-1	2	2	/ =
2	1	2	
0
__L
ŕ
3
L
1    -8 4 4     4 7 -8    1 4
3 1 V6
4 4 4
1         3 V6
4         4 4
V6 1
4       4 2
9. Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů zjistěte o jakou geometrickou transformaci euklidovského prostoru R3 se jedný.
A
í
\
0
2
V2 2
V2 2
1
2
_ 1
2
\
2 1
_ 1
2
1
2
1 1 V2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
0
C
3 Q -4
5 w 5
0 1 0
5 w 5
10. Najdete ortonormalní býzi tvorenou vlastními vektory a matici v teto býzi unitýrního operýtoru daneho maticý ve standardný bazi:
A
C
i
V3
(
1 + i 1
-1  1- i
(
3i
)
3i
B
D
4 + 3i      4i      -6 - 2i -4i     4 - 3i    -2 - 6i 6 +2i  -2-6i 1
i
V2
-i1 -1i
11. Ve standardných souradnicých v R3 napiste matici zobrazený, ktere je otocenŕm o uhel
n kolem pnýnky x
0, y = 0.
12. Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel | kolem přímky x + y = 0, z = 0, přičemž /(—1,1,1) = (a, b, 0), kde a + b > 0.
13. Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je symetrií podle roviny \fŽy — x = 0.
14. Lineární zobrazení v R3 je otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1, 0)T takové, že /(l, —1,0) = (0, 0, y/2). Najděte matici zobrazení ve standardní bíazi.
2
6
J
z
15. V Rn napiste matici symetrie podle roviny kolme k vektoru v v ortonormalný bazi
[V, V2, . . . , V„j.
54
í. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
16. Definujte na R3 dva skalarní soůciny (, )i a (, )2 tak, aby zobrazení jj : (R3, (, )i) —► (R3, (, )2),        X2, £3) = (x i + X2 + £3, -xi + £2, £3), bylo ortogonalní.