Vektory
Teorie:
vektor = uspořádaná n-tice čísel
u =


u1
u2
u3

 =


1
2
3

 , u ∈ R3
sčítání - po složkách
u =


1
2
3

 , v =


2
0
1

 , u + v = w =


3
2
4


skalární součin - po složkách
u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 = 2 + 0 + 3 = 5
násobení skalárem a ∈ R
a = 5, a · u =


5 · u1
5 · u2
5 · u3

 =


5
10
15


norma (délka) vektoru: v =
√
v · v
úhel mezi vektory u, v:
cos φ =
u · v
u · v
lineární kombinace: u = a1v1 + . . . amvm, ai ∈ R, vi ∈ Rm
, i = 1, . . . , m
lineární (ne)závislost (LN): vektory ui ∈ Rm
, skaláry ai ∈ R, i = 1, . . . , m
a1u1 + a2u2 + . . . amum = 0 ⇔ a1 = a2 = . . . = am = 0
⇒ vektory jsou lineárně nezávislé
1
Příklady:
• u = (1; 2; 1) , v = (2; 3; 1) , w = (1; 3; 2)
1. sečtěte u + v + w [(4;8;4)’]
2. zjistěte jejich délku [ u =
√
6, v =
√
14, w =
√
14]
3. zjistěte, zda u, v, w tvoří množinu lineárně nezávislých vektorů, pokud
ne, vyberte z nich podmnožinu lineárně nezávislých vektorů
[netvoří, odebereme kterýkoliv]
• Máme vektory u = (1; 0; 5) a v = (2; 3; 1) . Chceme vytvořit vektor
w = (−2; −9; 17) . Jaké je třeba zvolit koeficienty lineární kombinace?
[w = au + bv, a = 4; b = −3]
• Vyberte z následujících vektorů množinu lineárně nezávislých: u1 = (1; 2; −3) , u2 =
(2; −1; 3) , u3 = (2; 4; −6) , u4 = (−3; 4; 9) , u5 = (6; 0; 1) , u6 = (4; 1; −2)
[např. u1, u2, u5]
• Vektory mohou být zadány v různých tvarech. Zapište následující ve tvaru
n-tice a zjistěte, zda jsou lineárně nezávislé:
1. x2
+ x + 3; x + 1; 2x2
+ 3x + 1; x2
− 3 [LZ]
2. A =
1 2
1 2
; B =
1 1
0 1
; C =
2 3
1 3
[LZ]
3. 1 + x; 1 − x; 2 + x − x2
[LN]
2
Matice
Teorie:
matice typu m x n: obdélníkové schéma - m řádků n sloupců
A =








a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . .
. . . .
. . . .
am1 am2 . . . amn








sčítání matic: - po složkách: A = (aij); B = (bij); A ± B = (aij ± bij)
násobení skalárem: c ∈ R; cA = (caij)
násobení matic: A typu mxn; B typu nxp; C = AB = (
n
j=1 aijbjk) typu mxp
!!NENÍ komutativní ani pro čtvercové matice!!
mocnina matice: - pouze pro čtvercové matice: An
= An−1
A
hodnost matice = její maximální počet lineárně nezávislých řádků (zn. h(A))
Čtvercová matice - pojmy: nulová matice: O; A + O = O + A = A
jednotková matice: IneboE; EA = AE = A
horní a dolní trojúhelníková matice: - prvky pouze na diagonále a nad (pod) ní
diagonální matice: - prvky pouze na diagonále
transponovaná matice: AT
= (aji)
symetrická matice: A = AT
inverzní matice: A−1
: AA−1
= A−1
A = E - určena jednoznačně pokud existuje,
existuje pokud je matice A regulární (h(A) = n)
hledáme (A|E) řádkovými úpravami upravíme na tvar (E|∗), kde ∗ = A−1
3
Systémy lineárních rovnic
Teorie:
lineární rovnice: a1x1 + . . . + anxn = b, ai koeficienty, xi neznámé
systém lineárních rovnic (SLR):
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
..............
..............
..............
am1x1 + . . . + amnxn = bm
SLR má aspoň 1 řešení => konzistentní SLR
SLR nemá řešení => nekonzistentní SLR
hledáme všechna řešení, tj. množinu řešení SLR, jednotlivá řešení zapisujeme ve
tvaru uspořádaných n-tic
řešíme početně (úpravou matice) nebo graficky (2 rovnice o 2 neznámých)
ekvivalentní SLR <=> systémy mají stejnou množinu řešení
řešení získáme pomocí EŘO:
• záměna řádků
• vynásobení řádku nenulovým číslem
• přičtení násobku jiného řádku
počet řešení:
• právě jedno
• nekonečně mnoho ¡=¿ aspoň 1 neznámý parametr
• žádné
Frobeniova věta: Systém lineárních rovnic má (aspoň jedno) řešení právě tehdy,
když h(A) = h(A|b)
Kramerovo pravidlo: xi = |Ai|
|A| , kde Ai je matice vyniklá dosazením vektoru b
místo i-tého řádku matice A
4
Příklady:
• Jsou dány matice: A =
1 2
3 4
; B =
3 −2
−7 2
; C =
1 3 −1
2 6 −2
; D =
0 −1 3
−2 2 1
1. vypočtěte A + B; A + C; C − D; A − A
[
4 0
−4 6
; nelze;
1 4 −4
4 4 −3
,
0 0
0 0
]
2. vypočtěte AB; 2A2
; AC; CD; BA
[
−11 2
−19 2
;
14 20
30 44
;
5 15 −5
11 33 −11
; nelze;
−3 −2
−1 −6
]
• Vypočtěte


1 2 1
0 1 1
0 0 2

 ·


1 3 2
0 2 1
0 0 1

[


1 7 5
0 2 2
0 0 2

]
• Určete hodnosti matic a najděte jejich inverze:
1.
1 2
3 5
[h = 2;
−5 2
3 −1
]
2.


4 2 −6
1 −1 −3
1 2 0

 ;[h=2, nelze]
1 2 3
0 1 2
;[h=2; nelze]
3.3.


4 1 3
0 −2 −3
2 1 1

 ;
• Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí matic:
1.
x + 2y = 2
3x + 5y = 1
; [x = −8; y = 5]
5
2.
4x + 2y − 6z = 4
x − y − 3z = −5
x + 2y = 1
; [nema reseni]
3.
4x + y + 3z = 10
−2y − 3z = −9
2x + y + 2z = 7
; [x = 1; y = 3; z = 1]
• Určete řešení SLR daných maticí:
1.




1 1 1 1 1
1 1 1 −1 3
2 −5 −1 1 0
1 −2 3 1 3



 [{(1; 0; 1; −1)}]
2.




1 1 1 1
1 −1 1 1
1 −1 1 −1
−1 1 1 −1



 [{(0; 0; 0; 0)}]
3.




1 1 1 1
1 −1 −1 1
−1 −1 −1 1
−1 1 1 −1



 [{(0; t; −t; 0), t ∈ R}]
4.


2 3 0 −1 1
3 2 4 2 0
1 −1 4 1 2

 [nemareseni]
5.




1 −2 3 2
3 −1 1 0
3 4 −7 −6
0 5 −8 −6



 [{(1/5(t−2); 1/5(8t−6); t), t ∈ R}]
• Řešte v závislosti na parametru a ∈ R


1 a 2 1
1 1 + a 0 2
1 a a + 2 3


[NRa = 0; a = 0 : (−a2
−3a−4
a ; a+4
a ; 2
a )]
• Řešte v závislosti na parametrech a, b ∈ R:


1 2 3
a 3 1
b 0 1


6
• Řešte Kramerovým pravidlem:


1 1 1 2
1 2 2 −1
1 2 3 3


[(5;-7;4)]
7